黎曼曲面周期映射的幾何.pdf

1、設(shè)X是一個(gè)虧格為g(≥1)的緊致黎曼曲面，則其Jacobian是一個(gè)g維復(fù)環(huán)面，甚至是一個(gè)由theta除子θx所極化的阿貝爾簇。通過(guò)這種方式，我們對(duì)每一個(gè)緊致黎曼曲面X定義了一個(gè)偶對(duì)(g(X),θx)。我們稱這個(gè)對(duì)應(yīng)為Albanese映射。記虧格為g的緊致黎曼曲面的黎曼?？臻g為Mg，g維主極化阿貝爾簇的粗糙?？臻g為Ag。那么，上面定義的Albanese映射誘導(dǎo)了一個(gè)從Mg到Ag的映射J，我們稱它為模空間Mg上的周期映射。它把每一個(gè)黎曼面

2、的同構(gòu)等價(jià)類[X]映射為Ag中的主極化阿貝爾簇的同構(gòu)等價(jià)類[(g(X)，θx)]。在本篇論文中，我們將主要研究與該周期映射J相關(guān)的?？臻gMg上的微分幾何。本研究主要內(nèi)容如下：
　　 第一章回顧了黎曼曲面的一些基本概念，給出了黎曼曲面的定義以及它們基本的拓?fù)浜蛶缀涡再|(zhì)。接著，我們敘述了黎曼．羅赫定理。并用它計(jì)算了不同全純微分形式組成的向量空間的維數(shù)。本章最后，我們?cè)诶杪嫔隙x了Bergman度量并且給出了它的曲率性質(zhì)。

3、　　 第二章首先定義了虧格為g的緊致黎曼曲面的Teichmuller空間Tg和黎曼?？臻gMg。然后，仔細(xì)分析了虧格為1的情形。緊接著，我們通過(guò)擬共形映射理論構(gòu)造出了Tg上的全純局部坐標(biāo)-Bers坐標(biāo)一從而得到了它上面的標(biāo)準(zhǔn)復(fù)結(jié)構(gòu)。這些局部坐標(biāo)將在第四章的周期映射J的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)中用到。在最后一節(jié)，我們分別解釋了Teichmiiller空間Tg上的周期映射Ⅱ和黎曼?？臻gMg上的周期映射J。
　　 第三章介紹復(fù)結(jié)構(gòu)的形變理論，特別是

4、黎曼曲面的Kodaira-Spencer理論。這為研究周期映射J的局部特征提供了理論基礎(chǔ)。
　　 第四章是本文的主要內(nèi)容和結(jié)果。首先，我們?cè)敿?xì)回顧了Ag上的一些基礎(chǔ)幾何知識(shí)。作為局部對(duì)稱簇的Ag具有一個(gè)正規(guī)的緊致化Ag。而且，Ag具有嚴(yán)格負(fù)的全純截面曲率。這個(gè)雙曲性質(zhì)某種程度上蘊(yùn)涵著周期映射J的彎曲性。在第二節(jié)里，我們利用文[42]中全純的微分形式的形變構(gòu)造給出了J的完全展開(kāi)。作為應(yīng)用，我們?cè)诘谌?jié)研究了Mg上Siegel幾何的