2023年全國(guó)碩士研究生考試考研英語(yǔ)一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁(yè)
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1、立體幾何中的向量方法 立體幾何中的向量方法(二)——求空間角和距離 求空間角和距離1. 空間向量與空間角的關(guān)系(1)設(shè)異面直線(xiàn) l1,l2 的方向向量分別為 m1,m2,則 l1 與 l2 所成的角θ滿(mǎn)足 cos θ=|cos〈m1,m2〉|.(2)設(shè)直線(xiàn) l 的方向向量和平面α的法向量分別為 m,n,則直線(xiàn) l 與平面α所成角θ滿(mǎn)足 sin θ=|cos〈m,n〉|.(3)求二面角的大小1°如圖①,AB、CD 是二面角α—l

2、—β的兩個(gè)面內(nèi)與棱 l 垂直的直線(xiàn),則二面角的大小θ=〈 , 〉 . AB →CD →2°如圖②③,n1,n2 分別是二面角α—l—β的兩個(gè)半平面α,β的法向量,則二面角的大小θ滿(mǎn)足 cos θ=cos〈n1,n2〉或-cos〈n1,n2〉 .2. 點(diǎn)面距的求法如圖,設(shè) AB 為平面α的一條斜線(xiàn)段,n 為平面α的法向量,則 B到平面α的距離 d= .|AB →·n||n|1. 判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”

3、或“×”)( )A.4 B.2 C.3 D.1答案 B解析 P 點(diǎn)到平面 OAB 的距離為d= = =2,故選 B.|OP →·n||n||-2-6+2|94. 若平面α的一個(gè)法向量為 n=(4,1,1),直線(xiàn) l 的一個(gè)方向向量為 a=(-2,-3,3),則 l 與α所成角的正弦值為_(kāi)________.答案 4 1133解析 ∵n·a=-8-3+3=-8,|n|= =3 , 16+1+1 2

4、|a|= = , 4+9+9 22∴cos〈n,a〉= = =- .n·a|n|·|a|-83 2 × 224 1133又 l 與α所成角記為θ,即 sin θ=|cos〈n,a〉|= .4 11335. P 是二面角α-AB-β棱上的一點(diǎn),分別在平面α、β上引射線(xiàn) PM、PN,如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,那么二面角α-AB-β的大小為_(kāi)_______.答案 90&

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