第二章 流體靜力學第一節(jié) 流體靜壓強及其特性

1、第二章 流體靜力學,第一節(jié) 流體靜壓強及其特性,第七節(jié) 流體平衡微分方程式,第二節(jié) 流體靜壓強的分布規(guī)律,第三節(jié) 壓強的計算基準和度量單位,第四節(jié) 液柱測壓計,第五節(jié) 靜止流體作用在平面上的總壓力,第六節(jié) 靜止流體作用在曲面上的總壓力,第一節(jié) 流體靜壓強及其特性,一、流體靜壓強的定義,二、流體靜壓強的特性,面積ΔA上的平均流體靜壓強P：,A 點 上 的 流 體 靜 壓 強 P：,一.流體靜壓強的定義,流體靜

2、壓力：作用在某一面積上的總壓力；,流體靜壓強：作用在某一面積上的平均壓強或 某一點的壓強。,,流體靜壓力與流體靜壓強的區(qū)別：,1、靜壓強的方向— 沿作用面的內(nèi)法線方向,流體靜壓強的方向,二、流體靜壓強的特性,假定圖中某點的靜壓強不是垂直于作用面，則靜壓強 p 必然可分解為兩個分量，—個與作用面相切，為切向分量，也就是切應力；另一個與作用面相垂直，為法向分量。從牛頓內(nèi)摩擦定律中可以看出，靜止流體內(nèi)部是不會出現(xiàn)切應力的，若

3、 ，則流體的平衡會遭到破壞。因而在靜止的流體中切向分量是不存在的，即 。因此，流體靜壓強只可能垂直于作用面。 又因為流體處于靜止時不能承受拉應力，拉應力的存在也會破壞流體的平衡，所以流體靜壓強的方向必然是沿著作用面的內(nèi)法線方向。,,,由于流體內(nèi)部的表面力只存在著壓力，因此流體靜力學的根本問題是研究流體靜壓強的問題。,2、在靜止流體內(nèi)部，任一點的流體靜壓強的大小與作用面的方向無關，只與該點的位置有關。,

4、流體微小四面體平衡,在靜止的或相對靜止的流體中，取出一個包括O點在內(nèi)的微小四面體OABC，如圖2-3所示，并將O點設置為坐標原點。取正交的三個邊長分別為dx、dy、dz，它們分別與坐標軸x、y、z重合。與坐標面x、y、z及傾斜面ABC垂直的面上平均壓強分別為px、py、pz及pn。,作用在各面上的流體靜壓力等于各面的平均靜壓強與該作用面面積的乘積，即,,作用在微小四面體上的質(zhì)量力在各軸向的分力等于單位質(zhì)量力在各軸向的分力與流體質(zhì)量的乘積

5、。流體的質(zhì)量等于流體密度與微小四面體體積的乘積。設單位質(zhì)量力在x、y、z軸的分力分別是，則質(zhì)量力在各軸向的分力為：,,微小四面體在上述表面力和質(zhì)量力的作用下處于平衡狀態(tài)，則外力的軸向平衡關系式為：,,微小四面體在上述表面力和質(zhì)量力的作用下處于平衡狀態(tài)，外力的軸向平衡關系式為： ，即各向分力投影之和為零：,,,x方向受力分析:,上式第（1）項展開寫成：,當四面體無限地趨于O點時，則dx趨于0，所以有：px=pn 。,類似

6、地有：px=py=pz=pn,,,,說明：,1. 靜止流體中不同點的壓強一般是不等的，一 點的各向靜壓強大小相等。,2.運動流體是理想流體時，由于μ=0，不會產(chǎn)生切應力，所以理想流體動壓強呈靜水壓強分布特性。,第二節(jié) 流體靜壓強的分布規(guī)律,一、重力作用下流體靜壓強的基本方程二、 分界面和自由面是水平面三、氣體壓強計算四、等密面是水平面,一、重力作用下流體靜壓強的基本方程,在靜止液體中，任意取出一傾斜放置的微小圓柱體，微小圓柱體長為

7、△?，端面積為dA，并垂直于柱軸線。周圍的液體對圓柱體有側(cè)面壓力及兩端面壓力。側(cè)面壓力與軸向正交，沿軸向沒有分力；軸的兩端面的壓力為P1和P2。 靜止液體受的質(zhì)量力只有重力，重力與軸線夾角為?，可以分解為平行于軸向的G·cos ?和垂直于軸向的G·sin ? 兩個分力。,傾斜微小圓柱體軸向力的平衡，就是兩端壓力P1、P2及重力的軸向分力G·cos ?三個力作用下的平衡。即,微小圓柱體斷面積dA極小，斷面

8、上各點壓強的變化可以忽略不計，可以認為斷面各點壓強相等,設圓柱上端面的壓強p1,下端面的壓強p2，端面壓力為P1＝ p1dA，P2＝ p2dA，重力G=γ△?dA，代入上式，得:,消去dA，并由于△? G·cos ?=△h，整理得壓強關系式：,傾斜微小圓柱體的端面是任意選取的。因此，可以得出普遍關系式：即靜止液體中任兩點的壓強差等于兩點間的深度差乘以容重。壓強隨深度不斷增加，而深度增加的方向就是靜止液體的質(zhì)量力——重力作用的方

9、向。所以，壓強增加的方向就是質(zhì)量力的作用方向。,用壓強關系式求靜止液體內(nèi)某一點的壓強，設液面壓強為po，液體容重為γ，該點在液面下深度為h，則：,流體靜力學基本方程式,結(jié)論：,1）僅在重力作用下，靜止流體中某一點的靜水壓強隨深度按線性規(guī)律增加。,2）僅在重力作用下，靜止流體中某一點的靜水壓強等于表面壓強加上流體的容重與該點淹沒深度的乘積。,3）自由表面下深度h相等的各點壓強均相等——只有重力作用下的同一連續(xù)連通的靜止流體的等壓面是水平面

10、。,設水箱水面的壓強為po，水中1、2點到任選基準面o—o的高度為Zl及Z2，壓強為p1及p2，將式中的深度改為高度差后得：,液體靜力學基本方程式的另一種形式,這就是液體靜力學基本方程式的另一種形式，也是我們常用的水靜壓強分布規(guī)律的一種形式。,結(jié)論：在同一種液體中，無論哪一點(Z+P/ γ)總是一個常數(shù)。,幾何意義：,位置水頭z ：任一點在基準面0-0以上的位置高度，表示單位重量流體從某一基準面算起所具有的位置勢能，簡稱位能。,壓強水頭

11、　　　 ：表示單位重量流體從壓強為大氣壓算起所具有的壓強勢能，簡稱壓能（壓強水頭），是該點在壓強作用下沿測壓管所能上升的高度。,測壓管水頭（ ）：測壓管水頭，它表示測壓管水面相對于基準面的高度。,兩水頭相加等于常數(shù)，表示同一容器的靜止液體中，所有各點的測壓管水頭均相等。因此，在同一容器的靜止液體中，所有各點的測壓管水面必然在同一水平面上。,能量意義：,表示單位重量流體的壓力能，稱為比壓力能。因為壓力為

12、p、體積為V的流體所做的膨脹功為pV，則單位重量物體所具有的壓力能為：pV/G=p/γ。比位能z和比壓力能p/γ的單位都是焦耳/牛頓。,式中z表示單位重量流體相對于某一基準面的位能，稱為比位能。從物理學得知，把質(zhì)量為m的物體從基準面提升一定高度z后，該物體所具有的位能是mgz，則單位重量物體所具有的位能為：(mgz)/(mg)=z。,稱為單位重量流體的總勢能。,重力作用下靜止流體中各點的單位重量流體的總勢能是相等的。這就是靜止流體中的

13、能量守恒定律。,二、分界面和自由面是水平面,兩種容重不同萬不混合的液體，在同一容器中處于靜止狀態(tài)，兩種液體之間形成分界面。這種分界面既是水平面又是等壓面?，F(xiàn)在，我們從反面證明如下：,圖2—9盛有γ2＞ γ1的兩種不同液體，設分界面不是水平面而是傾斜面，我們在分界面上任選1、2兩點，其深度差為△ｈ，根據(jù)壓差關系式，從分界面上、下兩方分別求壓差為：,由于液體容重不等于零，且γ2＞ γ1 。必然是△ｈ＝0，即分界面是水平面，不可能是傾斜面。

14、將△ｈ＝0代人壓差關系式，得△ｐ＝0。這就證明分界面是等壓面，所以，分界面既是水平面又是等壓面。,靜止的液體和氣體接觸的自由面，受到相同的氣體壓強，所以，自由面是分界面的一種特殊形式。它既是等壓面，也是水平面?！　⌒枰赋觯荷鲜鲆?guī)律是在同種液體處于靜止、連續(xù)的條件下推導出來的。因此，液體靜壓強分布規(guī)律只適用于靜止、同種、連續(xù)液體。,靜力學基本方程的適用條件：,1. 靜止,2. 連通(連續(xù)),3. 連通的介質(zhì)為同一均質(zhì)流體,4. 質(zhì)量力

15、僅有重力,5. 同一水平面,三、氣體壓強計算,以上規(guī)律，雖然是在液體的基礎上提出采納，但對不可壓縮氣體也仍然適用。由于氣體容重很小，在高差不大的情況下，氣柱產(chǎn)生的壓強值很小，可以忽的壓強的影響，則流體靜力學基本方程式　　　　　　　　可以簡化為： 表示空間各點氣體壓強相等．例如認為液體容器，測壓管、鍋爐等上部的氣體空間各點的壓強也是相等的。,四、等密面是水平面,在靜止非均質(zhì)流體中，取軸線水平的微小圓柱體如圖2—12。作用在靜止

16、流體上的質(zhì)量力只有重力，側(cè)面壓力垂直于軸線，所以這兩種力沿軸向均無分力。沿軸向外力的平衡，表現(xiàn)為兩端面壓力相等。兩端面的面積相等，則壓強也必然相等。即p1＝p2圓體體軸線在水平面上是任意選取的，兩點壓強相等，說明水平面上各點壓強相等，非均質(zhì)流體的水平面仍然是等壓面。,靜止均質(zhì)流體的水平面是等壓面是否也適用于靜止非均質(zhì)流體呢？,水平面上的容重是否變化呢? 在靜止非均質(zhì)流體內(nèi)部，取相距為△h的兩個水平面，在它們之間任選兩個鉛直微小住體，

17、分別計算它們的壓強差為：,兩柱體的壓強差相等，因而γa必等于γb，否則，流體就不會靜止，要流動。當兩等壓面無限接近，即△h→0時， γa和 γb就變成同一等壓面上兩點的容重，此兩點容重相等，說明水平面不僅是等壓面，而且是等容重面。容重與密度成正比，所以，等容重面也是等密度面。,第三節(jié) 壓強的計算基準和度量單位,一、壓強的兩種計算基準（絕對壓強和相對壓強）,c.真空：是指絕對壓強小于一個大氣壓的受壓狀態(tài)，是負的相對壓強。,a.絕對壓強

18、：是以絕對真空狀態(tài)下的壓強（絕對零壓強）為基準計量的壓強，用      表示。,b. 相對壓強：又稱“表壓強”，是以當?shù)毓こ檀髿鈮?at) 為基準計量的壓強。用表示 ， 可“＋”可“– ”，也可為“0”。,正 壓：相對壓強為正值（壓力表讀數(shù)）。負 壓：相對壓強為負值。真空度：負壓的絕對值(真空表讀數(shù)，用Pv表示)。,,敞開容器中靜止流體的A點相對壓強的計算,

19、相對壓強的實際意義 1．假定容器的活塞打開，容器內(nèi)外氣體壓強一致，po＝pa，相對壓強為零。,2．假定容器的壓強po＞pa ，這個超過大氣壓強的部分，對器壁產(chǎn)生的力學效應，使器壁向外擴張。如果打開活塞，氣流向外流出，流出速度與相對壓強的大小有關。,3．假定容器壓強嚴po ＜ pa 。大氣壓強的部分對器壁產(chǎn)生力學效應，使容器向內(nèi)壓縮。打開活塞，空氣一定會吸入，吸入的速度也和負的相對壓強大小有關。,二、壓強的三種度量單位,a.應力單位,這

20、是從壓強定義出發(fā)，以單位面積上的作用力來表示的，N/m2，Pa，kN/ m2 ，kPa。,b.大氣壓,標準大氣壓：1標準大氣壓(atm)=1.013X105Pa=101.3 kPa,工程大氣壓：at （1kgf/㎡）,c.液柱高度,水柱高mH20：1atm相當于,1at相當于,汞柱高mmHg：1 atm相當于,1at相當于,常用換算關系：1atm=1.03323at=101325Pa=1.01325bar=760mmHg=1

21、0332.3mmH2O1at=98070Pa=10000mmH2O=735.6mmHg,第四節(jié) 液柱測壓計,一、測壓管,測壓管：是以液柱高度為表征測量點壓強的連通管。一端與被測點容器壁的孔口相連，另一端直接 和大氣相通的直管。,適用范圍：測壓管適用于測量較小的壓強，但不適合測真空。,注意：,1.由于各種液體重度不同，所以僅標明高度尺寸不能代表壓力的大小，還必須同時注明是何種液體的液柱高度才行。,2.測壓管只適用于測量較小的壓力，一般

22、不超過10kPa。如果被測壓力較高，則需要加長測壓管的長度，使用就很不方便。,3.測壓管中的工作介質(zhì)就是被測容器(或管道)中的流體，所以測壓管只能用于測量液體的正壓，而對于測量液體的負壓以及氣體的壓力則不適用。,4.在測量過程中，測壓管一定要垂直放置，否則將會產(chǎn)生測量誤差。,二、U形測壓計,這種測壓計是一個裝在刻度板上的兩端開口的U型玻璃管。測量時，管的一端與大氣相通，另一端與被測容器相接(如圖)，然后根據(jù)U型管中液柱的高度差來計算被測

23、容器中流體的壓力。U型管內(nèi)裝有重度γ2大于被測流體重度γ1的液體工作介質(zhì)，如水、酒精、四氯化碳和水銀等。它是根據(jù)被測流體的性質(zhì)、被測壓力的大小和測量精度等來選擇的。,注意，工作介質(zhì)與被測流體相互不能摻混。,如果被測流體的壓力較高，用一個U型管則較長，可以采用串聯(lián)U型管組成多U型管測壓計。通常采用雙U型管或三U型管測壓計。,圖b,測壓管水面低于A點，以1-1為等壓面，則 故A點的負壓或真空度為： 如果需要測定氣體壓強，可以采用u形

24、管盛水，如圖c所示。因為空氣容重遠小于水，一般容器中的氣體高度又不太大，因此、可以忽略氣柱高度所產(chǎn)生的壓強。認為靜止氣體充滿的生間各點膿強相等?，F(xiàn)仍以1-1面為等壓面，則,圖a,測壓管水面高于A點，AA為正值。即,U型管差壓計用來測量兩個容器或同一容器(或管道等)流體中不同位置兩點的壓力差。測量時，把U型管兩端分別和不同的壓力測點A和B相接，如圖所示。,三、差壓計,如果測量較小的液體壓力差時，也可以采用倒置式U型管差壓計。如果被測量的流

25、體的壓力差較大，則可采用雙U型管或多U型管差壓計。,圖a為測定A、B兩處液體壓強差的空氣壓差計．由于氣柱高度不大，可以認為兩液面為等壓面，故得,需要測定的壓差較大時，采用圖b所示的水銀壓差計。根據(jù)1、2點為等壓面得,如A、B為同種液體，即γA＝γB＝ γ,如A、B為同種液體，在同一高度，ZI＝Z2，則,如果，A、B兩處為同一氣體，則,當測量很微小的流體壓力時，為了提高測量精度，常常采用微壓計。微壓計的結(jié)構(gòu)如圖所示，一般用于測定氣體壓強。

26、它是由一個大容器連接一個可以調(diào)整傾斜角度的細玻璃管組成，其中盛有重度為γ的工作液體。,四、微壓計,測壓前，微壓計兩端與大氣相通，容器與斜管內(nèi)的液面平齊。,當測量容器或管道中的某處壓力時，將微壓計上端的測壓口與被測氣體容器或管道的測點相接，若被測氣體的壓力p＞pa，則在該壓力作用下，微壓計容器中液面下降至新位置,而傾斜玻璃管中的液面上升了?長度，其上升高度h= ?·sin? 。,當測量時，?為定值，只需測得傾斜長度Z，就可得出壓

27、差。由于?＝/sin ?，當sin ?＝0.5時，?＝2h；當sin ?＝0.2時，?＝5h。說明傾斜角度越小，?比h放大的倍數(shù)就越大，側(cè)的精度就更高。,γ愈小，讀數(shù)?就越大。因此，常用容重比水更小的液體，例如酒精以提高精度。,用于測定較大的壓強。優(yōu)點：攜帶方便、裝置簡單、安裝容易、測讀方便、經(jīng)久耐用，是測量壓強的主要儀器。構(gòu)造：常用的一種彈簧測壓計見圖。原理：其內(nèi)裝有一端開口，一端封閉端面為橢圓形的鐮刀形黃銅管，開口端與被測定壓

28、強的液體連通，測壓時，由于壓強的作用，黃銅管隨著壓強的增加而發(fā)生伸展，從而帶動扇形齒輪使指針偏轉(zhuǎn)，把液體的相對壓強值在表盤上顯示出來。,五、金屬壓力表,第五節(jié)  作用在平面上的流體靜壓力,在工程實際中，有時需要解決液體對固體壁面的總作用力問題。在已知流體的靜壓力分布規(guī)律后，求總壓力的問題，實質(zhì)上就是求受壓面上分布力的合力問題。本節(jié)討論作用在平面上的總壓力及其壓力中心。,作用在平面上總壓力的計算方法有兩種：,解析法和圖解法。,一

29、、解析法,1.平面總壓力大小,設有一與水平面成α夾角的傾斜平面ab，其面積為A，左側(cè)受水壓力，水面大氣壓強為p0，在平板表面所在的平面上建立坐標，原點o取在平板表面與液面的交線上，ox軸與交線重合，oy軸沿平板向下。,設在受壓平面上任取一微元面積dA，其中心點在液面下的深度為h，作用在dA中心點上的壓強為p=p0+γh，則作用在微元面積dA上的總壓力為,dF=pdA=(p0+γh)dA=p0dA+γysinαdA,考慮相對壓強,dF=p

30、dA=γhdA=γysinαdA,整個平面由無數(shù)dA組成，則整個平板所受水靜壓力由dF求和得到。,根據(jù)平行力系求和原理，作用在平面上的水靜壓力,式中 為面積A對ox軸的靜面矩，由理論力學知，它等于面積A與其形心坐標yc的乘積，即,∴　F=γsinαycA=γhcA=pcA,上式表明：靜止液體作用在任意形狀平面上的總壓力的大小，等于該平面形心處的靜壓力與平面面積的乘積。液體總壓力的方向垂直指向受壓面的

31、內(nèi)法線方向。,2.確定總壓力的作用點——壓力中心,總壓力的作用點又稱為壓力中心。壓力中心D的位置，可根據(jù)理論力學中的合力矩定理求得，即各分力對某一軸的靜力矩之和等于其合力對同一軸的靜力矩。,微小面積dA所受水靜壓力 dF=γhdA=γysinαdA,對0x軸力矩,合力矩,總壓力F對ox軸的靜力矩為:,整個平面所受合壓力F，假設作用點距ox軸為yD，則：,根據(jù)合力矩定理,所以,式中　　　 為受壓面對ox軸的慣性矩,根據(jù)平行移軸定理：

32、,其中 為受壓面對通過平面形心并與平行于ox軸的軸的慣性矩。,∴,由于 恒為正值，故有yD＞yc。說明壓力中心D點總是低于形心C。,結(jié)論： （1）水靜壓力大小為形心處壓強乘以平面面積。 （2）水靜壓力方向垂直于受壓平面，并指向平面內(nèi)法線方向。 （3）作用點yD在形心下方，用yD= yC+ JC/ycA來算。,常見圖形的幾何特征量,例1：一鉛直船閘門門寬B=5m，閘門一側(cè)水深為H=7.5m，另

33、一側(cè)水深h=3m，求作用在此閘門上的水平合壓力及作用線位置。,解：左邊：迎水面積 形心： 作用力： 作用點： 右邊：面積　 形心,作用力：作用點： ∴ 合力作用線：假設合力的作用線距底邊為y，則：,代入數(shù)據(jù)，,例2：矩形閘門AB可繞其頂端A軸旋轉(zhuǎn)，由固定閘門上的一個重物來保持閘門的關閉。已知閘門寬1.2m，長0.9m，整個閘門和重物1000k

34、g，重心在G處，與A水平距離為0.3m，求水深多大時，閘門剛好打開（θ=60°，設水深為H）。,解：要使閘門打開，閘門迎水面所受水的總壓力對轉(zhuǎn)軸A的力矩至少應等于閘門與重物重量對A的力矩。,M水≥M物（等號為剛好打開）,面積 A= b×h,形心,∴ 力,壓力作用點：,又,∵,∴,∴,代入以上數(shù)據(jù)，得 H≥0.88m故當 H=0.88m，閘門剛好打開。,二、圖解法,1.繪制水靜壓強分布圖,使用圖解法，首先需要繪制

35、靜壓力分布圖，然后再根據(jù)它來計算總壓力。,靜壓力分布圖是依據(jù)水靜力學基本方程p=p0+γh，直接在受壓面上繪制表示各點靜壓力大小和方向的圖形。,幾種常見受壓面的靜壓力分布圖。,靜水壓強分布圖繪制規(guī)則：1）按照一定的比例尺，用一定長度的線段代表靜水壓強的大 ??； 2） 用箭頭標出靜水壓強的方向，并與該處作用面垂直。受壓面為平面的情況下，壓強分布圖的外包線為直線；當受壓面為曲線時，曲面的長度與水深不成直線函數(shù)關系，故壓強分布圖外包線

36、亦為曲線。,計算總壓力的大小,現(xiàn)在對高為H、寬為b、底邊平行于水平面的垂直矩形平面AB(如圖)，計算其總壓力，為,上式中 (2p0+γH)H/2 恰為靜壓力分布圖ABCD的面積，我們用Ω表示，則上式可寫成,P= Ω ·b,由此可見，液體作用在底邊平行于水平面的矩形平面上的總壓力，等于靜壓力分布圖的面積與矩形平面寬度的乘積。 或者說，其總壓力等于靜壓力分布圖的體積。,由于靜壓力分布圖所表示的正是力的分布情況，而總壓力則是平面上

37、各微元面積上所受液體壓力的合力。所以總壓力的作用線，必然通過靜壓力分布圖的形心，其方向垂直指向受壓面的內(nèi)法線方向。,判斷：下列壓強分布圖中哪個是錯誤的？,第六節(jié) 作用在曲面上靜止流體的總壓力,Hoover Dam胡佛水壩,Channel,圖中圓柱長為?，母線與紙面垂直。受壓曲面AB，左側(cè)受水靜壓力作用，在表面上任意取一微元面積dA取一點E，E點距水面距離為h，以E點為中，則作用在dA上的水靜壓力為：,假設dP與水平面夾角為θ，則dP在

38、水平方向和鉛直方向的分量：,水平方向,鉛直方向,從右圖可得：,——微元面在鉛直面上的投影,——微元面在水平面上的投影,∴,則,1、水平方向：,為面AB在鉛直面上的投影面積Az對水面水平軸的靜矩。,假設hc為Az的形心在水面下淹沒深度則,作用在曲面上流體壓力的水平分量是Px等于作用于該曲面鉛直投影面上的水靜壓力。,2、鉛直方向：,hdAx是以dAx為底面積，水深h為高的柱體體積；,則為整個受壓曲面AB與其在自由面的投影面CD這兩個面之間的

39、柱體ABCD的體積；,∴,——鉛直分量Pz為其壓力體的液體重量。,3、壓力體,壓力體體積的組成：,⑴受壓曲面本身；⑵通過曲面周圍邊緣所作的鉛垂面； ⑶自由液面或自由液面的延長線。,壓力體的種類：,實壓力體和虛壓力體。實壓力體Fz方向向下，虛壓力體Fz方向向上。,4、壓力體的繪制,動畫一,動畫二,動畫六,動畫五,動畫四,動畫三,4、靜水總壓力,1）作用在曲面上的靜水總壓力大?。?2）作用線與水平方向的夾角：,3. 總壓力的

40、合成  總壓力的大小利用水平分力及鉛垂分力通過求合力的方法求得。,結(jié)論：曲面上的靜水總壓力的計算,1.計算水平分力  正確繪制曲面的鉛垂投影圖，求出該投影圖的面積及形心深度，然后求出水平分力；,2.計算鉛垂分力  正確繪制曲面的壓力體。壓力體體積由以下幾種面圍成：受壓曲面本身、通過曲面周圍邊緣作的鉛垂面、液面或液面的延長線。鉛垂分力的大小即為壓力體的重量；,例1：如圖所示一擋水弧形閘門，

41、已知R=2m,θ=30度,h=5m,試求單位寬度所受的水靜總壓力的大小。,解：水平方向的壓力等于面EB上的水壓力：,鉛直方向的壓力等于壓力體CABEDC的水重。分成兩部分：,1.,2.,則：,代入數(shù)據(jù)得：,第七節(jié) 流體平衡微分方程式,一.流體平衡微分方程式,二.有勢質(zhì)量力及力的勢函數(shù),三.等壓面,一、流體平衡微分方程——歐拉平衡方程,在流體內(nèi)部取以任意點A為中心的微小正六面體，六面體的各邊分別與直角坐標軸平行，邊長分別為dx、dy、d

42、z。中心點的壓強為 p(x,y,z)=p，對其進行受力分析：,1.方程推導,靜止流體只受到質(zhì)量力和由壓力產(chǎn)生的法向表面力，這些力應該滿足的關系——流體平衡的微分方程式。,作用在六面體上的表面力只有周圍流體對它的壓力。因此先確定六面體各面上的壓強。設點A的坐標為x、y、z，壓強為p。由于壓強是坐標的連續(xù)函數(shù)，則離該點 處的壓強為 ，并且可將

43、 在 處用泰勒級數(shù)展開，即,,,,,,,,,,,,如果dy為無限小量，則在上述級數(shù)中二階及二階以上的高階小量均可略去，即等號右邊只取前兩項已經(jīng)可以滿足精度要求，則上式可以簡寫為：,,則沿y軸方向的六面體邊界面abcd和 中心點處的壓強分別為 和 。作用在這兩個面上的法向力為

44、 和 。,,,,,,當微小六面體處于平衡狀態(tài)時，ｙ方向的合力為０，即：,,同理可以寫出ｘ、ｚ方向的力平衡方程式，即：,,用 除以上x、y、z軸方向的力平衡方程式，并化簡得,,以上三個式子用矢量形式表示為,,這就是流體平衡微分方程式。它是歐拉在1755年首先提出的，所以又稱為歐拉平衡微分方程式。,2.物理意義：,1）處于平衡狀態(tài)的流體，單位

45、質(zhì)量流體所受的表面力分量與 質(zhì)量力分量彼此相等。,2）壓強沿軸向的變化率（           ）等于軸向單位體積上的質(zhì)量力的分量（X，Y，Z）。,歐拉平衡微分方程是流體靜力學最基本的方程，它 可解決流體靜力學中許多基本問題。,1.歐拉平衡微分方程適用于靜止流體、相對靜止的流體 在推導歐拉平衡微分方程的過程中，對質(zhì)量力的

46、性質(zhì)及方向并未作具體規(guī)定。 2.歐拉平衡微分方程適用于可壓縮流體、不可壓縮流體。 在推導中對整個空間的流體密度是否變化或如何變化也未加限制。 3.歐拉平衡微分方程適用于理想流體、粘性流體。 流體是處在平衡或相對平衡狀態(tài)，各流層間沒有相對運動。,說明,流體平衡微分方程的另一種形式,因為p = p(x,y,z),壓強全微分,流體平衡微分式方程兩邊乘以dx,dy,dz后相加得：,如果流體是不可壓縮的，即P為常

47、數(shù)。上式右邊的括號內(nèi)的數(shù)值必然是某一函數(shù)W(x、y、z)的全微分，即,二、有勢質(zhì)量力及力的勢函數(shù),,滿足上式的函數(shù)W(z、y點)稱為勢函數(shù)。具有這樣勢函數(shù)的質(zhì)量力稱為有勢的力。,凡滿足不可壓縮流體平衡微分方程的質(zhì)量力必然是有勢力?；蛘哒f：不可壓縮流體只有在有勢質(zhì)量力的作用下才能夠處于平衡狀態(tài)。,當質(zhì)量力只有重力時,即為流體靜力學基本方程式,三、等壓面,1.等壓面的定義：是指流體中壓強相等（p=常數(shù)）的各點所組成的面。,等壓面滿足的方程

48、,2.等壓面具有的重要特性：,1）不可壓縮流體中，等壓面與等勢面重合。,所謂等勢面就是力的勢函數(shù)W(x，y，z)=C的面。對于不可壓縮流體，等壓面也就是等勢面。,2）在平衡流體中，作用于任一點的質(zhì)量力必定垂直于通過該點的等壓面。,答案：c,A. f水f水銀；  C. f水=f水銀；  D、不一定。,例1：比較重力場（質(zhì)量力只有重力）中，水和水銀所受的單位質(zhì)量力f水和f水銀的大?。?自由

49、落體：X＝Y(jié)=0,Z=0。 加速運動：X=-a,Y=0,Z=-g。,例題2：試問自由落體和加速度a向x方向運動狀態(tài)下的液體所受的單位質(zhì)量力大?。╢X. fY. fZ）分別為多少？,39.2kpa 3m,例３. 如圖所示的密閉容器中，液面壓強p0＝9.8kPa，A點壓強為49kPa，則B點壓強為多少 ,在液面下的深度為多少 。,例1,如圖所示，       

50、0;    ，下述兩個靜力學方程哪個正確？,B,A,答案 B,例2：僅在重力作用下,靜止液體中任意一點對同一基準面的單位勢能為_______？,A. 隨深度增加而增加；    B. 隨深度增加而減少；  C. 常數(shù)；            

51、   D. 不確定。,答案：C,例3：試問圖示中A、 B、 C、 D點的測壓管高度，測壓管水頭。（D點閘門關閉，以D點所在的水平面為基準面）,D:6m，6m,C:3m，6m,B:2m，6m,A:0m，6m,例1.相對壓強是指該點的絕對氣壓與_______ 的差值。A 標準大氣壓；B 當?shù)卮髿鈮?；C 真空壓強； D 工程大氣壓。,答案：B,例2.某點的真空度為65000Pa,當?shù)卮髿鈮簽?.1M

52、Pa該點的絕對壓強為（ ）。A:65000Pa B:35000Pa C:165000Pa D:100000Pa,答案：B,3. 露天水池,水深5m處的相對壓強（）。 A:5kPa B:49kPa C:147kPa D:205kPa,例3,答案：B,例4：一密閉容器內(nèi)下部為水，上部為空氣，液面下4.2m處測壓管高度為2.2m，設當?shù)卮髿鈮簽?個工程大氣壓，則容器內(nèi)絕對壓強為幾

53、米水柱?,,A. 2m；    B. 8m； C. 1m；     D. -2m。,答案：B,例5.某點的絕對壓強等于0.4個工程大氣壓，其相對壓強為________。A.0.6工程大氣壓；B.-0.4工程大氣壓； C.-58.8kPa D.-39.2kPa,答案：C,下一頁,例6. 僅在重力作用下，靜止液體

54、的測壓管水頭線必定________.A 水平 B 線形降低 C 線形升高 D 呈曲線,答案：A,例7. 某點壓強為1.0kgf/cm^2,用國際單位表示該處的壓強為______kPa。 A.100; B.98; C.1000; D.980,答案：B,例8. 僅在重力作用下，靜止液體的_____線必為水平線。A.位置水頭； B.測壓管高度； C.壓強水頭; D.測壓管