第1章 剛體轉(zhuǎn)動動力學(xué)基礎(chǔ)

1、2024/4/1,1,第一章,剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動的力學(xué)基礎(chǔ),2024/4/1,2,§1.1 剛體的角位置與角速度描述方法,剛體 如果有某些不為零的力或力系作用在一個系統(tǒng)的某些質(zhì)點(diǎn)或所有質(zhì)點(diǎn)上，并且對于任意時刻，系統(tǒng)兩點(diǎn)之間的距離始終保持，則該系統(tǒng)稱為剛體。,剛體坐標(biāo)系 固結(jié)在剛體上的坐標(biāo)系。剛體系相對參考坐標(biāo)系的位置和運(yùn)動，可以描述剛體相對參考坐標(biāo)系的位置和運(yùn)動。,2024/4/1,3,§1.1 剛體

2、的角位置與角速度描述方法,自由剛體的運(yùn)動自由度 三個平動自由度和三個轉(zhuǎn)動自由度（即六自由度）。,2024/4/1,4,自由剛體位置和運(yùn)動的描述：用剛體上三個非共線的點(diǎn)的位置和運(yùn)動來描述。 定軸轉(zhuǎn)動剛體：剛體上的兩點(diǎn)相對于參考坐標(biāo)系固定，失去平動的自由，只能繞該軸轉(zhuǎn)動。 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動剛體：剛體上的一點(diǎn)相對于參考坐標(biāo)系固定，失去平動的自由，只能繞該點(diǎn)轉(zhuǎn)動。,§1.1 剛體的角位置與角速度描述方法,2024/4/

3、1,5,§1.1 剛體的角位置與角速度描述方法,2024/4/1,6,一 質(zhì)點(diǎn)的位置向量及其表示方法,§1.1 剛體的角位置與角速度描述方法,廣義坐標(biāo),列向量表示,方向余弦,一個空間自由質(zhì)點(diǎn)相對參考系的位置，可以用三個獨(dú)立參數(shù)來表示，也可以用多于三個的不完全獨(dú)立的參數(shù)來表示，后者必須滿足約束條件。,2024/4/1,7,二 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動剛體角位置的廣義坐標(biāo)表示,§1.1 剛體的角位置與角速度描述方法,三個非

4、共線向量的廣義坐標(biāo),自由剛體六個參數(shù)獨(dú)立,定點(diǎn)剛體三個參數(shù)獨(dú)立,2024/4/1,8,§1.1 剛體的角位置與角速度描述方法,三 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動剛體角位置的方向余弦描述,,,,,,,,,,,,,,,,采用三個正交向量作為剛體坐標(biāo)系，其方向余弦表示為：,,確定剛體坐標(biāo)系三根軸的九個方向余弦（一個3×3的矩陣），可以確定剛體的角位置。,,,2024/4/1,9,,三 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動剛體角位置的方向余弦描述,對于剛體的一個角位置，

5、有唯一的一個方向余弦矩陣，反之亦然。,§1.1 剛體的角位置與角速度描述方法,2024/4/1,10,方向余弦矩陣的應(yīng)用：坐標(biāo)變換及基本公式,討論：,,,,,2024/4/1,11,討論：,方向余弦矩陣的性質(zhì),（1）兩個方向余弦矩陣互為轉(zhuǎn)置矩陣,（2）兩個方向余弦矩陣互為逆矩陣,（3）方向余弦矩陣是正交矩陣,,約束方程,2024/4/1,12,方向余弦矩陣的約束方程,,討論：,2024/4/1,13,四 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動剛體角位置的

6、歐拉角描述,§1.1 剛體的角位置與角速度描述方法,選用三個獨(dú)立的角度來表示定點(diǎn)轉(zhuǎn)動剛體的方位。,依次三次轉(zhuǎn)動，第三次轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動軸選取不同，產(chǎn)生兩類歐拉角。,2024/4/1,14,第Ⅰ類歐拉角 (轉(zhuǎn)動順序為：Z-X-Z),,四 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動剛體角位置的歐拉角描述,2024/4/1,15,第Ⅰ類歐拉角的線性化,四 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動剛體角位置的歐拉角描述,對于無限小角度轉(zhuǎn)動，第Ⅰ類歐拉角的三個參數(shù)不再獨(dú)立。,2024/4/1,16,

7、第Ⅱ類歐拉角（轉(zhuǎn)動順序為：X-Y-Z）,四 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動剛體角位置的歐拉角描述,,2024/4/1,17,第Ⅱ類歐拉角的線性化,四 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動剛體角位置的歐拉角描述,兩類歐拉角的差別在于：在第三次轉(zhuǎn)動時，是用第一次轉(zhuǎn)動用過的軸還是用前兩次都未用過的軸。,對于無限小角度轉(zhuǎn)動，第Ⅱ類歐拉角的三個參數(shù)獨(dú)立。,2024/4/1,18,五 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動剛體角速度的歐拉角描述,,,§1.1 剛體的角位置與角速度描述方法,2024/4/1,19

8、,為了表示旋轉(zhuǎn)質(zhì)量陀螺儀動力學(xué)方程的方便，求出剛體轉(zhuǎn)動角速度在中間坐標(biāo)系中的投影：,,,,2024/4/1,20,§1.1 剛體的角位置與角速度描述方法,五 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動剛體角速度的歐拉角描述,2024/4/1,21,§1.2 常用參考坐標(biāo)系,一 慣性坐標(biāo)系,1.日心慣性坐標(biāo)系,2.地心慣性坐標(biāo)系,日心坐標(biāo)系的原點(diǎn)取在太陽的中心，三根軸指向確定的恒星。,地心坐標(biāo)系的原點(diǎn)設(shè)在地球中心處，x和y軸位于地球赤道平面并分別指

9、向確定的恒星，z軸與地球自轉(zhuǎn)軸（地球極軸）重合，并指向北極星。,,2024/4/1,22,§1.2 常用參考坐標(biāo)系,二 地球坐標(biāo)系及其旋轉(zhuǎn)角速度,坐標(biāo)系原點(diǎn)設(shè)在地球中心, 三根軸與地球相固結(jié)。,2024/4/1,23,§1.2 常用參考坐標(biāo)系,三 地理坐標(biāo)系,1. 地固地理坐標(biāo)系,原點(diǎn)選在地球上任一點(diǎn)，三根軸與地球固結(jié)，東北天指向。,2024/4/1,24,§1.2 常用參考坐標(biāo)系,2. 當(dāng)?shù)氐乩碜鴺?biāo)系

10、,原點(diǎn)設(shè)在沿地球表面運(yùn)動的物體上，軸與地固地理坐標(biāo)系的指向相同，不與地球固結(jié)。除隨地球自轉(zhuǎn)以外，還隨物體相對地球運(yùn)動，但不參與物體俯仰、傾斜等運(yùn)動。,2024/4/1,25,§1.2 常用參考坐標(biāo)系,2. 當(dāng)?shù)氐乩碜鴺?biāo)系,2024/4/1,26,§1.2 常用參考坐標(biāo)系,四 地平坐標(biāo)系,原點(diǎn)設(shè)在運(yùn)載體質(zhì)心，y軸水平并沿載體運(yùn)動方向,z軸鉛直向上。,2024/4/1,27,§1.2 常用參考坐標(biāo)系,五 載

11、體坐標(biāo)系,坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在載體質(zhì)心，三個坐標(biāo)軸與載體相固結(jié)。,2024/4/1,28,§1.2 常用參考坐標(biāo)系,六 陀螺坐標(biāo)系,2024/4/1,29,哥氏定理描述的是一般的空間自由質(zhì)點(diǎn)相對于不同參考系的速度和加速度。,§1.3 剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動的一般原理,一 哥氏定理與哥氏加速度,兩個參考系之間存在相對轉(zhuǎn)動時，質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度與兩坐標(biāo)系相對靜止時有所差別。,2024/4/1,30,兩個參考系之間相對靜止時，質(zhì)點(diǎn)的速度

12、和加速度沒有差別。,,,n系,b系,一 哥氏定理與哥氏加速度,2024/4/1,31,兩個參考系之間相對轉(zhuǎn)動時,,,,,大小變化,,b系的方位變化,一 哥氏定理與哥氏加速度,2024/4/1,32,兩個參考系之間相對轉(zhuǎn)動時,一 哥氏定理與哥氏加速度,2024/4/1,33,哥氏定理的向量表示,同一個向量相對兩個不同參考坐標(biāo)系對時間取導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。只有在兩個參考系之間無相對轉(zhuǎn)動時，二者才相等。有時稱左邊為絕對導(dǎo)數(shù)，右邊第一項為相對

13、導(dǎo)數(shù)。,,一 哥氏定理與哥氏加速度,2024/4/1,34,由哥氏定理可得到速度合成公式,,,質(zhì)點(diǎn)相對于參考系的速度。,,,坐標(biāo)系相對于參考系的速度,,,質(zhì)點(diǎn)相對于坐標(biāo)系的速度,,,附加速度,,,牽連速度,一 哥氏定理與哥氏加速度,2024/4/1,35,對速度合成公式再取一次時間導(dǎo)數(shù)，可得到加速度之間的向量合成關(guān)系：,一 哥氏定理與哥氏加速度,2024/4/1,36,一 哥氏定理與哥氏加速度,動點(diǎn)在參考坐標(biāo)系中的視加速度,動點(diǎn)

14、的愛因斯坦加速度，是動系線性加速運(yùn)動產(chǎn)生的。,動點(diǎn)在動坐標(biāo)系中的相對加速度,2024/4/1,37,一 哥氏定理與哥氏加速度,,動點(diǎn)的哥氏加速度,,動點(diǎn)的歐拉加速度,,動點(diǎn)的向心加速度,,牽連加速度,2024/4/1,38,討論：用哥氏定理研究近地表面物體,b=e 系：地球坐標(biāo)系,i 系 地心慣性系,速度,加速度,2024/4/1,39,討論：用哥氏定理研究近地表面運(yùn)動物體,e 系：地球坐標(biāo)系,i 系 地心慣性系,2024/4/1,4

15、0,二 非慣性系中的牛頓定律,慣性系中的牛頓第二定律：,根據(jù)哥氏定理：,：牽連慣性力,：哥氏慣性力,2024/4/1,41,二 非慣性系中的牛頓定律,達(dá)朗貝爾原理的一般形式,2024/4/1,42,三 轉(zhuǎn)動慣量、慣量橢球與慣性主軸,剛體對任意軸轉(zhuǎn)動慣量的表達(dá)式,2024/4/1,43,剛體對任意軸轉(zhuǎn)動慣量的表達(dá)式,三 轉(zhuǎn)動慣量、慣量橢球與慣性主軸,定義：,剛體對x軸的轉(zhuǎn)動慣量；,剛體對y軸的轉(zhuǎn)動慣量；,剛體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量；,剛

16、體對y軸和z軸的慣量積；,剛體對z軸和x軸的慣量積；,剛體對x軸和y軸的慣量積；,2024/4/1,44,三 轉(zhuǎn)動慣量、慣量橢球與慣性主軸,剛體對任意軸轉(zhuǎn)動慣量的表達(dá)式,剛體對任意轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動慣量可以用剛體對坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量、慣量積以及轉(zhuǎn)動軸的方向余弦來表示。,2024/4/1,45,討論：轉(zhuǎn)動慣量的求解,求下圖裝置對不同坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動慣量,2024/4/1,46,,求圓環(huán)與勻質(zhì)圓盤的轉(zhuǎn)動慣量,,圓環(huán),勻質(zhì)圓盤,,,,,2024/4/

17、1,47,轉(zhuǎn)動慣量矩陣,三 轉(zhuǎn)動慣量、慣量橢球與慣性主軸,2024/4/1,48,三 轉(zhuǎn)動慣量、慣量橢球與慣性主軸,慣量橢球,,P（x,y,z）,,,,,,,,,,,,,,l,,,x,y,z,o,,d,,,,,2024/4/1,49,慣量橢球,三 轉(zhuǎn)動慣量、慣量橢球與慣性主軸,過坐標(biāo)原點(diǎn)到橢球面上的任意點(diǎn)的距離，反映了剛體對該任意軸的轉(zhuǎn)動慣量。該橢球可用來描述剛體對所有過原點(diǎn)的軸的轉(zhuǎn)動慣量的情況。稱之為剛體的慣量橢球或慣性橢球。,

18、2024/4/1,50,慣性主軸,三 轉(zhuǎn)動慣量、慣量橢球與慣性主軸,如果剛體對某根軸的慣量積為零，則稱該軸為剛體的慣性主軸，對于慣量橢球的三根對稱軸，剛體的慣量積是為零，所以這三根對稱軸是剛體的慣性主軸。,2024/4/1,51,陀螺轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量,三 轉(zhuǎn)動慣量、慣量橢球與慣性主軸,轉(zhuǎn)子形狀對自轉(zhuǎn)軸對稱，自轉(zhuǎn)軸是轉(zhuǎn)子的慣性主軸；包含自轉(zhuǎn)軸的任何平面都是轉(zhuǎn)子的對稱平面，可判斷出垂直于自轉(zhuǎn)軸的任意軸均是轉(zhuǎn)子的慣性主軸。在轉(zhuǎn)子赤道平面內(nèi)的

19、任意赤道軸都是垂直于自轉(zhuǎn)軸的，故任意赤道軸也均是轉(zhuǎn)子的慣性主軸。,對于旋轉(zhuǎn)質(zhì)量陀螺儀，轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量是一個重要的參數(shù)，陀螺電機(jī)采用“內(nèi)定子、外轉(zhuǎn)子”結(jié)構(gòu)，使質(zhì)量分布遠(yuǎn)離自轉(zhuǎn)軸。而且，轉(zhuǎn)子采用金屬材料，使其具有較大的轉(zhuǎn)動慣量。,2024/4/1,52,四 角動量、角動量定理與歐拉動力學(xué)方程,質(zhì)點(diǎn)的角動量及角動量定理,2024/4/1,53,定點(diǎn)轉(zhuǎn)動剛體的角動量,四 角動量、角動量定理與歐拉動力學(xué)方程,,2024/4/1,54,四 角

20、動量、角動量定理與歐拉動力學(xué)方程,定點(diǎn)轉(zhuǎn)動剛體的角動量,慣性主軸,2024/4/1,55,剛體的角動量定理與歐拉動力學(xué)方程,四 角動量、角動量定理與歐拉動力學(xué)方程,哥氏定理,角動量定理,2024/4/1,56,剛體的角動量定理與歐拉動力學(xué)方程,四 角動量、角動量定理與歐拉動力學(xué)方程,,,剛體系取慣性主軸,2024/4/1,57,第一章小結(jié),剛體的角位置與角速度描述 方向余弦矩陣的定義、性質(zhì)及求??； 歐拉角的定義