向量與矩陣范數(shù)

1、1,本講內容,向量范數(shù),矩陣范數(shù),向量范數(shù)的定義 常見的向量范數(shù) 向量范數(shù)的性質,矩陣范數(shù)的定義 F-范數(shù)與算子范數(shù) 矩陣范數(shù)的性質、算子范數(shù)的性質,2,向量范數(shù),設函數(shù) f : Rn ? R，若 f 滿足,f(x) ? 0，? x?Rn , 等號當且僅當 x = 0 時成立 f(?x) = |?| · f(x) ， ? x?Rn , ? ??R f(x+y) ? f(x) + f(y),則稱 f 為 Rn 上

2、的（向量）范數(shù)，通常記為 || · ||,例： ，是 Rn 上向量范數(shù),,向量范數(shù),3,向量范數(shù),常見的向量范數(shù),③ 無窮范數(shù)（最大范數(shù)）,② 2-范數(shù),① 1-范數(shù),4,范數(shù)性質,范數(shù)的性質,(1) 連續(xù)性,設 f 是 Rn 上的任意一個范數(shù)，則 f 關于 x 的每個分量是連續(xù)的,(2) 等價性,設 || · ||s 和 || ·

3、; ||t 是 Rn 上的任意兩個范數(shù)，則存在常數(shù) c1 和 c2 ，使得對任意的 x?Rn 有,證明：板書,5,范數(shù)性質,(3) Cauchy-Schwarz 不等式,(4) 向量序列的收斂性,,6,矩陣范數(shù),設函數(shù) f : Rn?n ? R，若 f 滿足,f(A) ? 0，? A? Rn?n , 且 f(A) = 0 ? A = 0 f(?A) = |?| · f(A) ， ? A?Rn , ? ??R f(A+B

4、) ? f(A) + f(B) f(AB) ? f(A)f(B),則稱 f 為 Rn?n 上的（矩陣）范數(shù)，通常記為 || · ||,,矩陣范數(shù),7,矩陣范數(shù),常見的矩陣范數(shù),(1) F-范數(shù) (Frobenious 范數(shù)),(2) 算子范數(shù) (從屬范數(shù)、誘導范數(shù)),其中 || · || 是 Rn 上的任意一個范數(shù),8,算子范數(shù),常見的算子范數(shù),③ 無窮范數(shù)（行范數(shù)）,② 2-范數(shù)（譜范數(shù)）,① 1-范數(shù)（列范數(shù)）

5、,證明：③ ② 板書，① 為作業(yè),例：設 計算,9,矩陣范數(shù)性質,矩陣范數(shù)的性質,(1) 連續(xù)性：設 f 是 Rn?n 上的任一矩陣范數(shù)，則 f 關于 A 的每個分量是連續(xù)的,(2) 等價性：設 || · ||s 和 || · ||t 是 Rn?n 上的任意兩個矩陣范數(shù)，則存在常數(shù) c1 和 c2 ，使得對任意的 A? Rn?n 有,(3) 若 A 是對稱矩陣

6、，則,10,定理：設 || · || 是 Rn 上的任一向量范數(shù)，其對應的算子范數(shù)也記為 || · || ，則有,算子范數(shù)性質,算子范數(shù)的性質,定理：設 || · || 是任一算子范數(shù)，則,定理：對任意 ?>0, 總存在一算子范數(shù) || · ||? ，使得 ||A||? ? ?(A) + ?,11,算子范數(shù)性質,定理：設 ||