復(fù)變函數(shù)課件2-3

1、第三節(jié) 初等函數(shù),一、指數(shù)函數(shù),二、對(duì)數(shù)函數(shù),三、乘冪 ab 與冪函數(shù),四、三角函數(shù)和雙曲函數(shù),五、反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù),六、小結(jié)與思考,,,,,,,,2,一、指數(shù)函數(shù),1.指數(shù)函數(shù)的定義:,3,指數(shù)函數(shù)的定義等價(jià)于關(guān)系式:,4,2. 加法定理,證,5,例1,解,6,7,例2,解,求出下列復(fù)數(shù)的輻角主值:,8,9,10,例3,解,11,二、對(duì)數(shù)函數(shù),1. 定義,12,其余各值為,特殊地,,13,例4,解,注意: 在實(shí)變函數(shù)中, 負(fù)數(shù)

2、無對(duì)數(shù), 而復(fù)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)是實(shí)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的拓廣.,14,例5,解,15,例6,解,16,17,2. 性質(zhì),18,證 (3),[證畢],19,三、乘冪 與冪函數(shù),1. 乘冪的定義,注意:,20,21,特殊情況:,22,23,例7,解,答案,課堂練習(xí),24,例8,解,25,2. 冪函數(shù)的解析性,它的 各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的,,26,它的 各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的,,27,四、三角函數(shù)和雙曲函

3、數(shù),1. 三角函數(shù)的定義,將兩式相加與相減, 得,現(xiàn)在把余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的定義推廣到自變數(shù)取復(fù)值的情況.,28,29,例9,解,30,有關(guān)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的幾組重要公式,正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都是解析函數(shù).,31,(注意：這是與實(shí)變函數(shù)完全不同的),32,其他復(fù)變數(shù)三角函數(shù)的定義,33,例10,解,,,34,例11,解,35,例12,解,36,37,2. 雙曲函數(shù)的定義,38,它們的導(dǎo)數(shù)分別為,并有如下公式:,它們都是以

4、 為周期的周期函數(shù),,39,例13,解,40,五、反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù),1. 反三角函數(shù)的定義,兩端取對(duì)數(shù)得,41,同樣可以定義反正弦函數(shù)和反正切函數(shù), 重復(fù)以上步驟, 可以得到它們的表達(dá)式:,2. 反雙曲函數(shù)的定義,42,例14,解,43,六、小結(jié)與思考,復(fù)變初等函數(shù)是一元實(shí)變初等函數(shù)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的自然推廣, 它既保持了后者的某些基本性質(zhì), 又有一些與后者不同的特性. 如:,1. 指數(shù)函數(shù)具有周期性,2. 負(fù)數(shù)無對(duì)數(shù)的結(jié)論