[學(xué)習(xí)]復(fù)變函數(shù)與積分變換課件2.3初等函數(shù)

1、§2.3 初等函數(shù),復(fù)變函數(shù)中的初等函數(shù)是實(shí)數(shù)域中初等函數(shù)的推廣，它們,兩者是一樣的。,§2.3 初等函數(shù),的定義方式盡可能保持一致。,本節(jié)主要從下面幾個(gè)方面來(lái)討論復(fù)變函數(shù)中的初等函數(shù)：,映射關(guān)系等等。,定義、定義域、運(yùn)算法則、連續(xù)性、解析性、單值性以及,特別是當(dāng)自變量取實(shí)值時(shí)，,特別要注意與實(shí)初等函數(shù)的區(qū)別。,一、指數(shù)函數(shù),記為 或,都通過(guò)指數(shù)函數(shù)來(lái)定義。,(2) 借助歐拉公式，

2、指數(shù)函數(shù)可以這樣來(lái)記憶：,(3) 但事實(shí)上，從定義本身來(lái)看， 應(yīng)理解為僅僅是一種,記號(hào)或者規(guī)定，僅僅作為代替 的符號(hào)使用。,一、指數(shù)函數(shù),性質(zhì),(1) 是單值函數(shù)。,事實(shí)上，對(duì)于給定的復(fù)數(shù),定義中的 均為單值函數(shù)。,事實(shí)上，在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)有,(2) 除無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)外，處處有定義。,當(dāng) 時(shí)，,當(dāng)

3、 時(shí)，,(3),因?yàn)?性質(zhì),事實(shí)上，由 有,(6) 是以 為周期的周期函數(shù)。,事實(shí)上，,一、指數(shù)函數(shù),,,,(w),,,,,一、指數(shù)函數(shù),(6) 映射關(guān)系：,性質(zhì),二、對(duì)數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。,記作,即,計(jì)算,令,,二、對(duì)數(shù)函數(shù),顯然對(duì)數(shù)函數(shù)為多值函數(shù)

4、。,主值(枝),記為,故有,分支(枝),特別地，當(dāng) 時(shí),,的主值 就是實(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)。,對(duì)于任意一個(gè)固定的 k，稱 為 的,一個(gè)分支(枝)。,二、對(duì)數(shù)函數(shù),性質(zhì),或者指數(shù)函數(shù),由反函數(shù)求導(dǎo)法則可得,進(jìn)一步有,(在集合意義下),二、對(duì)數(shù)函數(shù),性質(zhì),主值,(2),主值,解,主值,可見(jiàn)，在復(fù)數(shù)域內(nèi)，負(fù)實(shí)數(shù)是可以求對(duì)數(shù)的。,解,主值

5、,,,可見(jiàn)，當(dāng) z 為正實(shí)數(shù)時(shí)， 與實(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)是一致的。,(2),三、冪函數(shù),稱為復(fù)變量 z 的冪函數(shù)。,還規(guī)定：當(dāng) a 為正實(shí)數(shù)，且 時(shí)，,但不要將這種“規(guī)定”方式反過(guò)來(lái)作用于指數(shù)函數(shù)，,?,即,討論,此時(shí)， 處處解析，且,此時(shí)， 除原點(diǎn)外處處解析，且,三、冪函數(shù),討論,其中，m 與 n 為互質(zhì)的整數(shù)，且,(5) 當(dāng) 為無(wú)理數(shù)或復(fù)數(shù)( )時(shí)，,此時(shí)， 除原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸外處

6、處解析，,一般為無(wú)窮多值。,此時(shí)， 除原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸外處處解析。,且,三、冪函數(shù),解,解,可見(jiàn)，不要想當(dāng)然地認(rèn)為,四、三角函數(shù),啟示,由歐拉公式,有,余弦函數(shù),正弦函數(shù),定義,四、三角函數(shù),性質(zhì),周期性、可導(dǎo)性、奇偶性、零點(diǎn)等與實(shí)函數(shù)一樣；,各種三角公式以及求導(dǎo)公式可以照搬；,有界性(即 )不成立。,(略),,,五、反三角函數(shù),記為,同理可得,六、雙曲函數(shù)與反雙曲函