[教育學]6-8微分中值定理與導數(shù)應用內(nèi)容提要典型例題

1、§8 微分中值定理與導數(shù)的應用,返回,二、典型例題,一、內(nèi)容提要,,習題課,,一、內(nèi)容提要,1. 理解羅爾(Rolle) 定理和拉格朗日(Lagrange)定理.,2. 了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理.,3. 理解函數(shù)的極值概念,掌握用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào),性和求極值的方法.,5. 會用洛必達(L,Hospital)法則求不定式的極限.,4. 會用導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性,會求拐點;,會求解最大值和最小值

2、的應用問題.,會描繪函數(shù)的圖形(包括水平,鉛直和斜漸近線);,Rolle定理,Lagrange中值定理,,常用的泰勒公式,Cauchy中值定理,Taylor中值定理,,,,,,,,,,,1.微分中值定理及其相互關系,羅爾定理,拉格朗日中值定理,,,,柯西中值定理,,泰勒中值定理,,,2. 微分中值定理的主要應用,(1) 研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài),(3) 證明恒等式或不等式,(4) 證明有關中值問題的結(jié)論,(2) 證明方程根的存在

3、性,利用,一般解題方法:,證明含一個中值的等式或根的存在,,若結(jié)論中涉及到含中值的兩個不同函數(shù),可考慮用,若已知條件中含高階導數(shù),,若結(jié)論中含兩個或兩個以上的中值,,3.有關中值問題的解題方法,(1),可用原函數(shù)法找輔助函數(shù).,(2),柯西中值定理.,中值定理.,(3),(4),有時也可考慮,多考慮用泰勒公式,,逆向思維,,設輔助函數(shù).,多用羅爾定理,,必須多次應用,對導數(shù)用中值定理.,(1) 研究函數(shù)的性態(tài):,增減,,極值,,凹凸,,

4、拐點,,漸近線,,(2) 解決最值問題,目標函數(shù)的建立,最值的判別問題,(3)其他應用:,求不定式極限;,幾何應用;,證明不等式;,研究方程實根等.,4.導數(shù)應用,二、典型例題,例 證明方程,在(0,1)內(nèi)至少有一實根,[分析],如令,不便使用介值定理,,用 Rolle 定理來證,證,令,則,且,故由Rolle 定理知,例,Rolle 定理的推廣形式,①,證,由Rolle 定理知,②,證一,則由題設知,故由①知,而,證二,若,則結(jié)

5、論顯然成立,下設,不妨設有,必存在最大值M,即,故由Fermat 定理知,③,證一,類似于②證一，作變換,證二,作變換,證三,若,則結(jié)論顯然成立,下設,不妨設有,必存在最小值m,即,故由Fermat 定理知,④,證明與③類似,,,在,內(nèi)可導,且,證明:,在,內(nèi)有界.,證,再取異于,的點,在以,為端點的區(qū)間上用,定數(shù),對任意,即證.,例,取點,拉氏定理,,例,且,試證存在,證 欲證,因 f(x)在[a ,b]上滿足拉氏中值定理條件,,故有

6、,將①代入②,化簡得,故有,①,②,即要證,例,證,由介值定理,,（1）,（2）,注意到,由（1）, （2）有,（3）,（4）,（3）+ （4）, 得,例,證,法一,用單調(diào)性,設,即,由,,證明不等式,可知,,即,法二,用Lagrange定理,設,Lagrange定理,由,得,即,例,問方程,有幾個實根,解,同時也是最大值,分三種情況討論,①,由于,方程有兩個實根，分別位于,②,方程僅有一個實根，即,③,方程無實根,例 證明不等式,證