[高等教育]中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2終

1、★★★★4.求下列函數(shù)的最大值、最小值：（1）；（2）；312824??????xxxy]20[cossinπxxy??（3）；（4）。151??????xxxy]21[)1ln(2xy???知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路思路：求函數(shù)在閉區(qū)間上最值的基本方法是先求的點(diǎn)或者不存在的點(diǎn)，然后求這些點(diǎn))(xf0y??y?處的函數(shù)值及其閉區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較函數(shù)值，最大的即是在該閉區(qū)間上的最大值，最小的)(xf即是在該閉區(qū)間上的最小值。)(xf解

2、：（1）在上令，得，；]31[?34160yxx????01?x22?x∵，，，，5)1(???y2)0(?y14)2(??y11)3(?y∴比較可得的最小值為，最大值為。312824??????xxxy14)2(??y11)3(?y（2）在上，令，得，；]20[πcossin0yxx????41πx?452πx?∵，，，，1)0(?y2)4(?πy2)45(??πy1)2(?πy∴比較可得的最小值為，最大值為。]20[cossinπx

3、xy??2)45(??πy2)4(?πy（3）在上，，得；]15[?211021xyx??????43?x∵，，，65)5(????y45)43(?y1)1(?y∴比較可得的最小值為，最大值為。151??????xxxy65)5(????y45)43(?y（4）在上令，得；]21[?2201xyx????0?x∵，，，2ln)1(??y0)0(?y5ln)2(?y∴比較可得的最小值為，最大值為。]21[)1ln(2xy???0)0(?y

4、5ln)2(?y★★★★★★5.求下列數(shù)列的最大項(xiàng)：（1）；（2）。??????nn210??nn知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路思路：求數(shù)列的最大項(xiàng)最小項(xiàng)問題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值問題；若)(nf)(xf)1[??xa圖356知識(shí)點(diǎn)：求最值問題。思路思路：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)函數(shù)模型，根據(jù)實(shí)際意義，確定自變量范圍，在所確定的范圍上求最值。特別地，在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)駐點(diǎn)，且是函數(shù)的極值點(diǎn)，則當(dāng)是極大值)(xf0x0x)(xf)(0xf

5、時(shí)，就是在該區(qū)間上的最大值；當(dāng)是極小值時(shí)，就是在該區(qū)間上的)(0xf)(xf)(0xf)(0xf)(xf最小值；在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)駐點(diǎn)，且在該區(qū)間上確實(shí)存在最值，則就)(xf0x)(xf)(0xf是在該區(qū)間上的最值。)(xf解：設(shè)截去的小正方形的邊長為，則根據(jù)題意，得x，；令，得（舍去），2)2()(xaxxV??)20(ax?0)6)(2(????xaxadxdV2ax?；∵，∴可得，當(dāng)一個(gè)邊長為的正方形的四角上截去6ax?3

6、272)6(0)2(0)0(aaVaVV???a一塊邊長為的小方塊，才能使盒子的容量最大。6a★★★★7.欲制造一個(gè)容積為的圓柱形有蓋容器，問如何設(shè)計(jì)可使材料最??？V解：設(shè)圓柱形容器的底為，高為，則表面積，又，∴得rh222πrπrhS??hπrV2?，??????rπrrVrS022)(2令，得唯一的駐點(diǎn)；22()40VSrπrr?????32Vrπ?又由，知，34()4VSrπr????32()120VrπSrπ?????∴為的極小