3.5 數(shù)列的綜合應(yīng)用

1、§3.5 數(shù)列的綜合應(yīng)用,1. 解答數(shù)列應(yīng)用題的基本步驟(1)審題——仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意.(2)建?！獙⒁阎獥l件翻譯成數(shù)學(xué)（數(shù)列）語(yǔ)言，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，弄清該數(shù)列的結(jié)構(gòu)和特征.(3)求解——求出該問(wèn)題的數(shù)學(xué)解.(4)還原——將所求結(jié)果還原到原實(shí)際問(wèn)題中.2. 數(shù)列應(yīng)用題常見模型(1)等差模型：如果增加（或減少）的量是一個(gè)固定量時(shí)，該模型是等差模型，增加（或減少）的量就是公差.(2

2、)等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí)，該模型是等比模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比.（3）分期付款模型：設(shè)貸款總額為a，年利率為r,等額還款數(shù)為b,分n期還完，則,基礎(chǔ)自測(cè),農(nóng)民收入由工資性收入和其他收入兩部分構(gòu)成.2003年該 地區(qū)農(nóng)民人均收入為3 150元（其中工資性收入為1 800元，其他收入為1 350元），預(yù)計(jì)該地區(qū)自2004年起的5年內(nèi)（包括2004年），農(nóng)民的工資性收入將以每年6%的年增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，

3、其他收入每年增加160元.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，2008年該地區(qū)農(nóng)民人均收入介于 （ ）A.4 200元~4 400元 B.4 400元~4 600元C.4 600元~4 800元 D.4 800元~5 000元 解析 到2008年農(nóng)民的工資性收入變?yōu)? 800（1+6%）5≈ 2 409（元）， 其他收入變?yōu)? 350+5×160=2 150（元），

4、故2008年收入為4 559元.,B,2. （2009·廣西河池模擬）設(shè)f(n)=2+24+27+…+23n+1 (n∈N*)，則f(n)等于（ ）A. B. C. D. 解析 本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等知識(shí).由題意發(fā) 現(xiàn)，f(n)是一個(gè)以2為首項(xiàng)，公比q=23=8,項(xiàng)數(shù)為n+1的等比 數(shù)列的和.由公式

5、可得,B,3. 若互不相等的實(shí)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，c,a,b成等比數(shù)列， 且a+3b+c=10，則a的值為 （ ） A.4 B.2 C.-2 D.-4 解析 由互不相等的實(shí)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，可設(shè)a=b- d,c=b+d,由a+3b+c=10,可得b=2,所以a=2-d,c=2+d,又c,a,b 成等比數(shù)列可得(2-d)2=2

6、(2+d),解得d=6或d=0（舍去）， 所以a=-4.,D,4. 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn，若Sn+1,Sn,Sn+2成 等差數(shù)列，則公比 （ ） A.q=-2 B.q=1 C.q=-2或q=1 D.q=2或q=-1 解析 由題意可得2Sn=Sn+1+Sn+2，當(dāng)q≠1時(shí)，

7、 解之得q=-2或q=1,當(dāng)q=1時(shí)不成立.,A,即2=q+q2,5. (2009·新鄭模擬）某種細(xì)胞開始有2個(gè)，1小時(shí)后分裂成4 個(gè)并死去1個(gè)，2小時(shí)后分裂成6個(gè)并死去1個(gè)，3小時(shí)后分裂 成10個(gè)并死去1個(gè)，…，按此規(guī)律，6小時(shí)后細(xì)胞存活的個(gè) 數(shù)是 （ ）A.63 B.65 C.67 D.71

8、解析 方法一 設(shè)n小時(shí)后細(xì)胞個(gè)數(shù)為an, 則a1=2×2-1=3,a2=2×3-1=5, a3=2×5-1=9,a4=2×9-1=17, a5=2×17-1=33,a6=2×33-1=65. 方法二 設(shè)n小時(shí)后細(xì)胞個(gè)數(shù)為an， 則a1=3,an=2an-1-1 (n≥2), ∴an-1=2(an-1-1). ∴{a

9、n-1}是公比為2的等比數(shù)列，a1-1=2. ∴an-1=2·2n-1=2n，∴an=2n+1， ∴a6=26+1=65.,B,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，a1=1,an+1=2Sn+1 (n≥1).(1)求{an}的通項(xiàng)公式； （2）等差數(shù)列{bn}的各項(xiàng)為正，其前n項(xiàng)和為Tn，且 T3=15，又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比數(shù)列，求Tn. 【思維啟迪】（1）運(yùn)用公式

10、 （2）注意等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的相互關(guān)系. 解（1）由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1 (n≥2),,題型一 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用,n=1,,n≠2.,求an.,兩式相減得an+1-an=2an,an+1=3an (n≥2).又a2=2S1+1=3,∴a2=3a1.故{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，∴an=3n-1.（2）設(shè){bn}的公差為d,由T3=15,b1+b2+b3=1

11、5,可得b2=5,故可設(shè)b1=5-d,b3=5+d,又a1=1,a2=3,a3=9,由題意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2，解得d1=2,d2=-10.∵等差數(shù)列{bn}的各項(xiàng)為正，∴d>0,∴d=2,b1=3, 探究拓展 本題重在考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求前n項(xiàng)和的基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算技能.,（12分）已知f(x)=logax(a>0且a≠1)，設(shè)f(a1),f(a2),

12、…,f(an) (n∈N*)是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列. (1)設(shè)a為常數(shù)，求證：{an}成等比數(shù)列； （2）若bn=anf(an),{bn}的前n項(xiàng)和是Sn,當(dāng) 時(shí),求Sn.【思維啟迪】利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)得出an的表達(dá)式，再 利用表達(dá)式解決其他問(wèn)題. （1）證明 f(an)=4+(n-1)×2=2n+2, 即logaan=2n+2,2分 可得an=a2n+2.

13、 為定值. 所以｛an ｝為等比數(shù)列. ,題型二 數(shù)列與函數(shù)的綜合,(2)解 bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2.當(dāng) 時(shí)，bn=(2n+2) =(n+1)2n+2.7分Sn=2·23+3·24+4·25+…+(n+1)·2n+2 ①2Sn=2

14、·24+3·25+4·26+…+n·2n+2+(n+1)·2n+3②①-②得-Sn=2·23+24+25+…+2n+2-(n+1)·2n+3=16+2n+3-24-n·2n+3-2n+3=-n·2n+3.∴Sn=n·2n+3. 12分,探究拓展 數(shù)列與函數(shù)和綜合問(wèn)題主要有以下兩類：①已知函

15、數(shù)條件，解決數(shù)列問(wèn)題，此類問(wèn)題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問(wèn)題；②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問(wèn)題，解決此類問(wèn)題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對(duì)式子化簡(jiǎn)變形.,假設(shè)某市2008年新建住房400萬(wàn)平方米，其中有250 萬(wàn)平方米是中低價(jià)房,預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi),該市每年新 建住房面積平均比上一年增長(zhǎng)8%.另外每年新建住房中,中 低價(jià)房的面積均比上一年增加50萬(wàn)平方米.那么,到哪

16、一年 底， （1）該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積（以2008年為累計(jì)的第一年）將首次不少于4 750萬(wàn)平方米？ （2）當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比 例首次大于85%？(參考數(shù)據(jù)：1.084≈1.36,1.085≈1.47, 1.086≈1.59),題型三 數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用,【思維啟迪】（1）要求學(xué)生會(huì)把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題：(2)an>0.85bn,bn=400×1.08n

17、-1.解 （1）設(shè)中低價(jià)房的面積形成的數(shù)列為{an}，由題意可知{an}是等差數(shù)列，其中a1=250,d=50,則an=250+(n-1)·50=50n+200令25n2+225n≥4 750,即n2+9n-190≥0,而n是正整數(shù)，∴n≥10.∴到2017年底，該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于4 750萬(wàn)平方米.,（2）設(shè)新建住房面積形成數(shù)列{bn}，由題意可知{bn}是等比數(shù)列，其

18、中b1=400,q=1.08,則bn=400·(1.08)n-1.由題意可知an>0.85bn,即50n+200>400·(1.08)n-1·0.85.當(dāng)n=5時(shí)，a50.85b6,∴滿足上述不等式的最小正整數(shù)n為6.∴到2013年底，當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.探究拓展 解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是如何把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)反復(fù)讀

19、題，列出有關(guān)信息，轉(zhuǎn)化為數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題，這也是數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用的具體體現(xiàn).,方法與技巧1.深刻理解等差（比）數(shù)列的性質(zhì)，熟悉它們的推導(dǎo)過(guò)程是 解題的關(guān)鍵.兩類數(shù)列性質(zhì)既有類似的部分，又有區(qū)別，要 在應(yīng)用中加強(qiáng)記憶.同時(shí)，用好性質(zhì)也會(huì)降底解題的運(yùn)算 量，從而減小差錯(cuò).2.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式要分兩種情況:公比等于1和公比不 等于1.最容易忽視公比等于1的情況，要注意這方面的練習(xí).3.在等差數(shù)列與

20、等比數(shù)列中，經(jīng)常要根據(jù)條件列方程（組） 求解，在解方程組時(shí)，仔細(xì)體會(huì)兩種情形中解方程組的方 法的不同之處.,4.數(shù)列的滲透力很強(qiáng)，它和函數(shù)、方程、三角形、不等式等 知識(shí)相互聯(lián)系，優(yōu)化組合，無(wú)形中加大了綜合的力度.解決 此類題目，必須對(duì)蘊(yùn)藏在數(shù)列概念和方法中的數(shù)學(xué)思想有 所了解，深刻領(lǐng)悟它在解題中的重大作用，常用的數(shù)學(xué)思 想方法有：“函數(shù)與方程”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類討 論”、“等價(jià)轉(zhuǎn)換”等.5.在現(xiàn)實(shí)

21、生活中，人口的增長(zhǎng)、產(chǎn)量的增加、成本的降低、 存貸款利息的計(jì)算、分期付款問(wèn)題等，都可以利用數(shù)列來(lái) 解決，因此要會(huì)在實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型，并用它解 決實(shí)際問(wèn)題.失誤與防范1.數(shù)列的應(yīng)用還包括實(shí)際問(wèn)題,要學(xué)會(huì)建模,對(duì)應(yīng)哪一類數(shù)列, 進(jìn)而求解.2.在有些情況下，證明數(shù)列的不等式要用到放縮法.,1.已知數(shù)列{an}、{bn}滿足：a1=2,b1=1,且 (1)令cn=an+bn，求數(shù)列{cn}的

22、通項(xiàng)公式； （2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式Sn. 解（1）當(dāng)n≥2時(shí)， ∴cn=cn-1+2，即cn-cn-1=2 (n≥2) ∴數(shù)列{cn}為等差數(shù)列，首項(xiàng)c1=a1+b1=3,公差d=2. ∴cn=3+（n-1）×2=2n+1,①,②,（2）當(dāng)n≥時(shí)，,①-②得：∴數(shù)列{an-bn}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1-b1=1，公比

23、 ③由（1）知：an+bn=2n+1,④③+④得,①-②得：∴數(shù)列{an-bn}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1-b1=1，公比 ③由（1）知：an+bn=2n+1,④③+④得,2.已知數(shù)列{an}滿足a1=2,且點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x 的圖象上，其中n=1,2,3,…. （1）證明：數(shù)列{lg(1+an)}是等比數(shù)列； （2）

24、設(shè)Tn=（1+a1）（1+a2）…（1+an），求Tn及數(shù)列{an} 的通項(xiàng). （1）證明 由于(an,an+1)在函數(shù)f(x)的圖象上， ∴an+1+1=（an+1）2. ∵a1=2，∴an+1>1, ∴l(xiāng)g（an+1+1）=2lg（an+1）. ∴數(shù)列{lg(an+1)}是公比為2的等比數(shù)列.,（2）解 由（1）知lg(an+1)=2n-1lg(1+a1)∴Tn=(1+

25、a1)(1+a2)…(1+an),3.某國(guó)采用養(yǎng)老儲(chǔ)備金制度.公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老 儲(chǔ)備金，數(shù)目為a1，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增 加d(d>0),因此，歷年所交納的儲(chǔ)備金數(shù)目a1,a2,…是 一個(gè)公差為d的等差數(shù)列.與此同時(shí)，國(guó)家給予優(yōu)惠的計(jì)息 政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利.這就是說(shuō)，如果 固定年利率為r(r>0)，那么，在第n年末，第一年所交納的 儲(chǔ)備金就變?yōu)閍1(1+r

26、)n-1，第二年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)?a2(1+r)n-2,…….以Tn表示到第n年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額. (1)寫出Tn與Tn-1(n≥2)的遞推關(guān)系式； （2）求證：Tn=An+Bn,其中{An}是一個(gè)等比數(shù)列， {Bn}是一個(gè)等差數(shù)列.,(1)解 我們有Tn=Tn-1(1+r)+an(n≥2).（2）證明 T1=a1,對(duì)n≥2反復(fù)使用上述關(guān)系式，得Tn=Tn-1(1+r)+an=Tn-

27、2(1+r)2+an-1(1+r)+an=…=a1(1+r)n-1+a2(1+r)n-2+…+an-1(1+r)+an.①在①式兩端同乘1+r，得(1+r)Tn=a1(1+r)n+a2（1+r）n-1+…+an-1(1+r)2+an(1+r).②②-①,得rTn=a1(1+r)n+d［(1+r)n-1+(1+r)n-2+…+(1+r)］-an,即如果記則 Tn=An+Bn,其中{An}是

28、以 為首項(xiàng)，以1+r（r>0）為公比的等比數(shù)列；{Bn}是以 為首項(xiàng)， 為公差的等差數(shù)列.,1.B 2.B 3.C 4.D5.已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),數(shù)列{bn}滿足bn=lnan，b3=18,b6=12,則數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和的最大值等于 （ ）A.126 B.130 C.132 D.134解析 ∵

29、{an}是各項(xiàng)不為0的正項(xiàng)等比數(shù)列, ∴bn=lnan是等差數(shù)列. 又∵b3=18,b6=12,∴b1=22,d=-2, ∴(Sn)max=-112+23×11=132.,C,6.(2008·衡水調(diào)研）設(shè)y=f(x）是一次函數(shù),f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比數(shù)列,則f(2)+f(4)+…+f(2n)等于（ ）A.n(n+4)B.n(2n+3)C.2n(2n+3

30、)D.2n(n+4) 解析 ∵f(x)是一次函數(shù)，且f(0)=1, ∴設(shè)f(x)=kx+1, f(1)=k+1,f(4)=4k+1,f(13)=13k+1. ∵f(1),f(4),f(13)成等比數(shù)列， ∴（4k+1）2=(k+1)(13k+1),3k2=6k. ∵k≠0,∴k=2,即f(x)=2x+1. ∴f（2），f（4），f（6），…，f（2n）構(gòu)成以5為首 項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)

31、列.,B,7.11 985 8.4 9019.設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1及公差d都為整數(shù),前n項(xiàng)和為Sn. （1）若a11=0,S14=98,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （2）若a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的數(shù)列{an}的通 項(xiàng)公式. 解 （1）由S14=98，得2a1+13d=14,又a11=a1+10d=0. 解得 a1=20,d=-2,因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式是

32、 an=22-2n,（n=1,2,3,…）,（2）由 得即解得 又d∈Z,故d=-1.∴10<a1≤12,a1∈Z，故a1=11或a1=12.所以，所有可能的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=12-n和an=13-n,（n=1,2,3…）.,10.（1） （2）證明 由 知對(duì)任意正整數(shù)n,an都

33、不是 的整數(shù)倍. 所以sinan≠0,從而bn=sinansinan+1sinan+2≠0. 于是,（n=1,2,3,…）,又,{bn}是以 為首項(xiàng)，-1為公比的等比數(shù)列.11.（1）an=2n (2)存在最大正整數(shù)k=5使 恒成 立.12.(2008·大慶模擬）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且 a1=1,nan+1=(n+2)Sn (n∈N*).

34、 (1)求證：數(shù)列 為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn；,（n=1,2,3,…）,（3）若數(shù)列{bn}滿足： (n∈N*),求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.（1）證明 將an+1=Sn+1-Sn代入已知nan+1=(n+2)Sn;整理得 (n∈N*).又由已知所以數(shù)列 是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.（2）解 由（1）的