積分號(hào)外求極限

1、安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2012屆畢業(yè)論文第1頁(yè)共12頁(yè)積分號(hào)外求極限問(wèn)題探討積分號(hào)外求極限問(wèn)題探討摘要對(duì)于含有積分式的函數(shù)特別是積分麻煩或原函數(shù)求不出來(lái)的函數(shù)用通常的方法不易求出其極限文章介紹了求含有積分式函數(shù)極限的方法即利用積分中值定理、Riemam引理和含參積分的連續(xù)性定理以及上下極限、夾逼準(zhǔn)則和洛必達(dá)法則來(lái)求解還運(yùn)用到了擬合法、隔離法等等.掌握相關(guān)的定義及性質(zhì)并能運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒ň湍芎茌p松的解決積分的極限問(wèn)題.關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞積

2、分與極限交換次序極限一致收斂1引言引言在數(shù)學(xué)分析中極限的概念占有突出的地位計(jì)算函數(shù)的極限也成為教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn).通常人們利用極限的分析定義、“兩邊夾”定理、無(wú)窮小量替換、初等函數(shù)的連續(xù)性、極限的四則運(yùn)算性質(zhì)等方法求函數(shù)的極限但這些方法都是針對(duì)一般函數(shù)的對(duì)于含有積分式的函數(shù)特別是對(duì)積分麻煩或原函數(shù)求不出來(lái)的函數(shù)這些方法就不適用了還可以探討積分號(hào)與極限號(hào)交換的條件及其運(yùn)用.2一些相關(guān)概念一些相關(guān)概念定義定義1設(shè)｛｝為數(shù)列為定數(shù).若對(duì)任給的正數(shù)

3、總存在正整數(shù)使得當(dāng)時(shí)naa?NnN?有則稱數(shù)列｛｝收斂于定數(shù)稱為數(shù)列｛｝的極限并記作naa???naaana或讀作“當(dāng)趨于無(wú)限大時(shí)｛｝的極限等于或趨于limnnaa???naa???n??nnaana”.a若數(shù)列｛｝沒(méi)有極限則稱｛｝不收斂或稱｛｝為發(fā)散數(shù)列.nanana定義定義2（定積分）（定積分）設(shè)閉區(qū)間上有個(gè)點(diǎn)依次為它??ab1n?01naxxxb??????們把分成個(gè)小區(qū)間…….這些分點(diǎn)或這些閉子區(qū)間構(gòu)成對(duì)??abn??1iiix

4、x???12i?n的一個(gè)分割記為或.小區(qū)間的長(zhǎng)度為??ab??01nTxxx????12n????i?并記稱為分割的模.1iiixxx??????1maxiinTx????T設(shè)函數(shù)在上有定義為某一實(shí)數(shù).若對(duì)的任意分割??fx??abJ00????????ab只要有則稱??::112iiiTinin?????????T????1niiifxJ?????????fx在上的定積分或黎曼積分.記為??ab.????01limnbiiaTiJfx

5、dxfx????????安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2012屆畢業(yè)論文第3頁(yè)共12頁(yè)積分區(qū)間無(wú)限的反常積分——無(wú)窮積分①在上有定義且對(duì)均有若極限??fx??a??:AaA??????.fRaA?存在則稱在上的反常積分收斂（或存在）且記其極限值為??limAaAfxdx??????fx??a??此時(shí)也稱在上是可積的.若原式中的極限不存????limAaaAfxdxfxdx???????@??fx??a??在（包括極限為無(wú)窮的情形）則稱在

6、上的（反常）積分發(fā)散也即??fx??a??發(fā)散.類似的可定義的發(fā)散.??afxdx?????bfxdx???②設(shè)是定義在上的函數(shù)對(duì)有若存在極限??fx??????AB?????fRBA?其中為某個(gè)實(shí)數(shù)則稱在上的（反常）積????limlimCABCBAfxdxfxdx????????C??fx??????分存在或收斂且記極限值為若式中的極限有??????limlimCABCBAfxdxfxdxfxdx??????????????@一個(gè)不

7、存在（包括極限為無(wú)窮的情形）則稱在上的（反常）積分??fx??????發(fā)散.??fxdx?????注斂散性極其數(shù)值與式中所取的點(diǎn)無(wú)關(guān).??fxdx?????C⑵無(wú)界函數(shù)的積分——瑕積分約定約定在點(diǎn)若對(duì)有定義且是無(wú)界的則稱0xx???????00000fxxxxx???????在或0x為的瑕點(diǎn)也稱在處無(wú)窮間斷.??fx??fx0xx?①設(shè)在上有定義且對(duì)在點(diǎn)為的瑕點(diǎn)??fx??ab????0fRab??????xb???fx若極限存在則稱在

8、上（關(guān)于）的瑕積分收斂或存在其極限??0limbafxdx????????fx??abb值為此瑕積分的值并記為；否則稱反常積分發(fā)散或????0limbbaafxdxfxdx???????@??fxdx?????不存在.類似地可定義瑕點(diǎn)為時(shí)的瑕積分.a②設(shè)且積分均為瑕積分其中為的瑕acb??????bdacfxdxfxdx??xab???fx點(diǎn)；或?yàn)榈蔫c(diǎn).若式中兩個(gè)積分均收斂則稱在上的瑕積分收斂或xc???fx??fx??ab存在且記；