第七章隨機變量的數(shù)字特征

1、第七章 隨機變量的數(shù)字特征,前面討論了隨機變量的分布函數(shù)，我們看到分布函數(shù)能夠完整地描述隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律。然而在許多實際問題中，隨機變量的分布并不容易求得，并且有時不需要去完全考察隨機變量的變化情況，而只需要知道隨機變量的某些特征，因而不需要求出它的分布函數(shù)。 例如 1、在評定某一地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時，在許多場合只要知道該地區(qū)的平均產(chǎn)量； 2、在研究水稻的品種優(yōu)劣時，時常是關(guān)心稻穗的平均稻谷粒數(shù)；,3、在檢查一批棉

2、花的質(zhì)量時，既需要注意纖維的平均長度，又需要注意纖維長度與平均長度的偏離程度，平均長度較大、偏離程度較小，質(zhì)量就較好。 從上面的例子看到，與隨機變量有關(guān)的某些數(shù)值，雖然不能完整地描述隨機變量，但能描述隨機變量在某些方面的重要特征。隨機變量的數(shù)字特征就是用數(shù)字表示隨機變量的分布特點，在理論和實踐上都具有重要的意義。,第七章 隨機變量的數(shù)字特征,第七章 隨機變量的數(shù)字特征,數(shù)學(xué)期望 方差和標準差 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) 切

3、比雪夫不等式及大數(shù)定理 中心極限定理,7.1 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,一、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望,從平均數(shù)說起，設(shè)以數(shù)據(jù)集,{2，3，2，4，2，3，4，5，3，2},為總體，求其平均數(shù)（設(shè)為μ）,μ=（2+3+2+4+2+3+4+5+3+2）/10,=（2×4+3×3+4×2+5×1）/10,=2×4/10+3×3/10+4×2/10+5×1/10,=3

4、,概括得：,7.1 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,一、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望,下面我們逐步分析如何由分布來求“均值”：（1）算術(shù)平均：如果有n個數(shù)x1,x2,…,xn ，那么求這n個數(shù)的算術(shù)平均，只需將此n個數(shù)相加后除以n，即 （2）加權(quán)平均：如果這n個數(shù)中有相同的，不妨設(shè)其中有ni 個取值為xi(i=1,2,…,k)，列表為,7.1 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,一、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望,其實，這個“加權(quán)”平均的權(quán)數(shù)ni/n 就是

5、出現(xiàn)數(shù)值 xi的頻率，而頻率在 n 很大時，就穩(wěn)定在其概率附近。,（3）對于一個離散隨機變量 X，如果其可能取值為x1,x2,…,xn ，若將這n個數(shù)相加后除以n作為“均值”，則肯定是不妥的，原因在于X 取各個值的概率是不同的，概率大的出現(xiàn)的機會就大，在計算中其權(quán)數(shù)就應(yīng)該大。,用取值的概率作為一種“權(quán)數(shù)”作加權(quán)平均是十分合理的。,7.1 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,1.定義 設(shè)離散隨機變量X的分布律為,一、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望,為隨機變量X

6、的數(shù)學(xué)期望，或稱為該分布的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值。,若級數(shù) 不收斂,則稱X的期望不存在。,如果,則稱,x1 x2 … xn …,p1 p2 … pn …,7.1 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,一、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望,(1) X的期望E(X)是一個數(shù)，它形式上是X的可能值的加權(quán)平均，其權(quán)重是其相應(yīng)的概率，實質(zhì)上它體現(xiàn)了X取值的真正平均，為此我們又稱它為X的均值。因為它完全由X的分布所決定，所以又稱為分

7、布的平均值。,(2) E(X)作為刻劃X的某種特性的數(shù)值，不應(yīng)與各項的排列次序有關(guān)。所以，定義中要求級數(shù)絕對收斂。,注釋,所以A 的射擊技術(shù)較B的好.,,例:有A，B 兩射手，他們的射擊技術(shù)如表所示，試問哪一個射手本領(lǐng)較好？,解 A射擊平均擊中環(huán)數(shù)為,B射擊平均擊中環(huán)數(shù)為,例: 設(shè)有某種產(chǎn)品投放市場，每件產(chǎn)品投放可能發(fā)生三種情況：按定價銷售出去，打折銷售出去，銷售不出去而回收。根據(jù)市場分析，這三種情況發(fā)生的概率分別為0.6，0.3

8、，0.1。在這三種情況下每件產(chǎn)品的利潤分別為10元，0元，－15元（即虧損15元）。問廠家對每件產(chǎn)品可期望獲利多少？,解: 設(shè)X表示一件產(chǎn)品的利潤（單位元），X是隨機變量，且X的分布律為,依題意，所要求的是X的數(shù)學(xué)期望,E(X)=10×0.6+0×0.3+(-15)×0.1=4.5(元),7.1 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,2.幾種典型的離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望,一、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望,i. X服從參數(shù)為p

9、的(0,1)分布：,ii. 若X?B(n,p),則E(X)=np；,證明：X的分布律為,E(X)=0×(1-p)+1×p=p；,,X,,0,,1,,,,P,,q,,p,,,,,,,,,,,,,,,,,7.1 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,2.幾種典型的離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望,一、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望,iii.若X?P(λ)，則E(X)=λ。 證明：X的分布律為,7.1 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望,

10、1.定義 設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x)， 如果 則稱 為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，記為E(X).,例:設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為,試求X的數(shù)學(xué)期望,解,7.1 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望,2.幾種典型的連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望,i.若X?R(a,b),則 E(X)=(a+b)/2.,證：X的概率密度為,7.1 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望,2.幾種典

11、型的連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望,證：X的概率密度為,ii. 若X?N(µ,σ2)，則 E(X)=μ.,特別地，若X?N(0,1)，則E(X)=0.,7.1 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,2.幾種典型的連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望,二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望,證：X的概率密度為,iii.若X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，則 E(X)=1/λ .,7.1 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,三、隨機變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,定理 設(shè)Y是隨機變量X的函數(shù):Y=g(X)(

12、g是連續(xù)函數(shù))， (1) X是離散型隨機變量，它的分布律為P{X=xk}=pk ，k=1，2，…， 若 絕對收斂， 則有,(2)  X是連續(xù)型隨機變量，它的概率密度為f(x)， 若 絕對收斂， 則有,例 已知隨機變量X的分布律如下求解,,,0.2 0.1 0.1 0.3 0.3,,-2 -1

13、 0 1 2,,,,,,,,,,0.2 0.1 0.1 0.3 0.3,,,,,,0.1 0.4 0.5,,0 1 4,,,,對相同的值合并，并把對應(yīng)的概率相加，可得,所以,或,的數(shù)學(xué)期望。,的分布律為,例：某公司生產(chǎn)的機器其無故障工作時間X有密度函數(shù),公司每出售一臺機器可獲利1600元,若機器售出后使用1.2萬小時之內(nèi)出故障,則應(yīng)予以更換,這時每臺虧損1200元

14、;若在1.2到2萬小時之間出故障,則予以維修,由公司負擔(dān)維修費400元;在使用2萬小時以后出故障,則用戶自己負責(zé).求該公司售出每臺機器的平均獲利.,解:,設(shè)Y表示售出一臺機器的獲利.則,7.1 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,三、隨機變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,定理:設(shè)Z是隨機變量X,Y的函數(shù)Z=g(X,Y) (g是連續(xù)函數(shù)).,(1)設(shè)二維隨機變量(X,Y)的分布律為,(2)設(shè)二維隨機變量(X,Y)的分布密度為f(x,y),若,若,則,則,例:

15、 設(shè)（X,Y）的聯(lián)合分布律如下，Z=XY，求E(Z).,解,,X,Y,,,1 2 3,,,,,,,0,1,0.1,0.15 0.25,,0.25 0.15 0.1,,,,,,,,,,,,,,例：設(shè)(X，Y)服從A上的均勻分布,其中A為由x軸，y軸及直線x+y/2=1圍成的平面三角形區(qū)域,求E(XY),解：,7.1 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),1.

16、若C是常數(shù),則 E(C)=C.,2.設(shè)X,Y是兩個隨機變量,若E(X),E(Y)存在,則對任意的實數(shù)a、b, E(aX+bY)存在,且有 E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y),3.設(shè)X,Y是互相獨立的隨機變量,則有 E(XY)=E(X)E(Y)性質(zhì)2、3都可推廣到有限個互相獨立的隨機變量之積 的情況.,7.1 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),性質(zhì)2 E(aX

17、+bY)=aE(X)+bE(Y),證明 (1)設(shè)離散型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律和邊緣分布律分別為,P{X=xi,Y=yj}=pij, i,j=1,2,…P{X=xi}=pi., i=1,2,…P{Y=yj}=p.j, j=1,2,…,則,7.1 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),性質(zhì)2 E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y),(2)設(shè)連續(xù)型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度和邊緣概率密度分別為f(

18、x,y)和fX(x), fY(y),則,7.1 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),性質(zhì)3 如X,Y是互相獨立,則 E(XY)=E(X)E(Y),證明 (1)設(shè)離散型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律和邊緣分布律分別為,P{X=xi,Y=yj}=pij, i,j=1,2,…P{X=xi}=pi., i=1,2,…P{Y=yj}=p.j, j=1,2,…,則,7.1 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,四、數(shù)學(xué)期望的性

19、質(zhì),性質(zhì)3 如X,Y是互相獨立,則 E(XY)=E(X)E(Y),(2)設(shè)連續(xù)型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度和邊緣概率密度分別為f(x,y)和fX(x), fY(y),則,例：將n個球隨機地放入M個盒子中去，設(shè)每個球放入各個盒子是等可能的，求有球盒子數(shù)X的期望,解：,記,i=1,2,…,M,則,因而,例: 拋擲6顆骰子，X表示出現(xiàn)的點數(shù)之和，求E(X).,從而由期望的性質(zhì)可得,練習(xí),7.2 方差和標準差,引例 有兩批鋼筋(每批1

20、0根)它們的抗拉強度為：,第一批 110,120,120,125,125,125,130,130,135,140,第二批 90,100,120,125,125,130,135,145,145,145,可以計算出兩批數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是126, 但直觀上第二批數(shù)據(jù)與平均數(shù)126有較大的偏離,因此, 欲描述一組數(shù)據(jù)的分布,單單有中心位置的指標是不夠的,尚需有一個描述相對于中心位置的偏離程度的指標.,通?？捎肊[X-E(X)]2描述相對

21、于期望的偏離,7.2 方差和標準差,一、方差的定義,定義 設(shè)X是一個隨機變量，若E[X-E(X)]2存在，則稱 E[X-E(X)]2 為X的方差，記為D(X) ， 即: D(X)=E[X-E(X)]2注釋：(1)方差是隨機變量X與其 “中心”E(X)的偏差平方的平均。它表達了X的取值與其期望值E(X)的偏離程度。若 X 取值較集中，則D(X)較小，反之，若取值較分散，則D(X)較大。 (2)應(yīng)用上，常用

22、量 ，稱為標準差或均方差，記為 ?(X)= 。,7.2 方差和標準差,二、方差的計算公式,方差實際上是隨機變量X的函數(shù)g(Y)=[X-E(X)]2的數(shù)學(xué)期望.于是,(1)對于離散型隨機變量X,若P{X=xk}=pk,k=1,2,…則,(2)對于連續(xù)型隨機變量X,若其概率密度為f(x),則,7.2 方差和標準差,二、方差的計算公式,(3) D(X)=E(X2)-[E(X)]2 證明：D(X)

23、=E[X-E(X)]2 =E(X2-2X·E(X)+[E(X)]2),=E(X2)-2E(X)·E(X)+[E(X)]2,=E(X2)-[E(X)]2,7.2 方差和標準差,三、常見分布的方差,1. （0-1）分布的方差,定理：若P{X=0}=q,P{X=1}=p,則 D(X)=pq.,證明,,X,,0,,1,,,,P,,q,,p,,,,,,,,,,,,,,,,,7.2 方差和標準差,三、常見分布的方差,2. 二項

24、分布的方差,定理:若隨機變量X服從二項分布X~B(n,p),則 D(X)=npq.,證明,7.2 方差和標準差,三、常見分布的方差,3. 泊松分布的方差,定理：設(shè)隨機變量X服從泊松分布X~P(λ),則 D(X)=λ.,證明,7.2 方差和標準差,三、常見分布的方差,4. 均勻分布的方差,定理:設(shè)隨機變量X服從均勻分布X~R(a,b),則 D(X)=(b-a)2/12.,證明,7.2 方差和標準差,三

25、、常見分布的方差,5. 指數(shù)分布的方差,,定理:設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為λ 的指數(shù)分布,則,證明,7.2 方差和標準差,三、常見分布的方差,6. 正態(tài)分布的方差,定理:設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布X~N(μ,σ2) , 則 D(X)=σ2,證明,7.2 方差和標準差,常見分布的期望和方差表,7.2 方差和標準差,四、方差的性質(zhì),假定以下所遇到的隨機變量的方差存在: (1) 設(shè)C是常數(shù)，則 D(C)=0

26、；(2) 設(shè)X是隨機變量，a是常數(shù)，則D(aX)=a2D(X),從而 D(aX+b)=a2D(X)；(3) 設(shè)X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，則有 D(X?Y)=D(X)+D(Y)；,(2) 證: D(aX+b)=E{[(aX+b)-E(aX+b)]2} = E{[(aX+b)-E(aX)-b]2} = E{[aX-E(aX)]2}

27、 =E{[a(X-E(X))]2 } =a2E{[X-E(X)]2} =a2D(X),7.2 方差和標準差,由于X，Y相互獨立，X－E(X)與Y－E(Y)也相互獨立，由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)， 2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=2E[X-E(X)]?E[Y-E(Y)]=0 于是得 D(X+Y)=D(X)+D(Y).,四、方差的性質(zhì),(3)證: D(X

28、+Y)=E{[(X+Y)-E(X+Y)]2} =E{[(X-E(X))+(Y-E(Y))]2} =E{[X-E(X)]2}+E{[Y-E(Y)]2} +2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]},這一性質(zhì)可以推廣到任意有限多個相互獨立的隨機變量之和的情況。,7.2 方差和標準差,四、方差的性質(zhì),若,相互獨立，,為常數(shù),則,若X ,Y 相互獨立,,,,,例 設(shè)X

29、1,X2,…,Xn獨立同分布，E(X)=μ,D(X1)=σ2.,記,若用X1,X2,…,Xn表示對某物件重量的n次重復(fù)測量的誤差,而σ2為測量誤差大小的度量，公式 表明n次重復(fù)測量的平均誤差是單次測量誤差的1/n，換言之，重復(fù)測量的平均精度比單次測量的精度高.,證明:,證,注,已知 X 的 概率密度函數(shù)為,其中 A ,B 是常數(shù)，且 E (X ) = 0.5.,求 A ,B. 設(shè) Y = X 2, 求 E

30、(Y ),D (Y ),練習(xí),解 (1),,,,,(2),,,,求,.,練一練,解 因為 相互獨立，所以,而,所以,解 X的密度函數(shù)為,練一練,設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求,所以,7.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),引 言,對于二維隨機變量(X,Y)來說,數(shù)學(xué)期望E(X)、E(Y)只反映了X與Y各自的平均值,方差只反映了X與Y各自離開均值的偏離程度,它們對X與Y之間相互關(guān)系不提供任何信息.,但二維隨機變量(X,Y

31、)的概率密度f(x,y)或分布律pij全面地描述了(X,Y)的統(tǒng)計規(guī)律,也包含有X與Y之間關(guān)系的信息.我們希望有一個數(shù)字特征能夠在一定程度上反映這種聯(lián)系.,7.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),一、協(xié)方差,定義：設(shè)二隨機變量(X,Y)的數(shù)學(xué)期望(E(X),E(Y))存在,若E[(X-E(X))(Y-E(Y))]存在,則稱它為隨機變量X與Y的協(xié)方差,記為cov(X,Y),即cov(X,Y)= E[(X-E(X))(Y-E(Y))],若X，Y為連續(xù)型

32、隨機變量,(1)用定義求：若X，Y為離散型隨機變量,計算,7.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),一、協(xié)方差,① 協(xié)方差有計算公式Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y),(2)用公式求,證 由協(xié)方差的定義及數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，得,7.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),一、協(xié)方差,② 任意兩個隨機變量X與Y的和的方差 D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y),(2)用公式求,證 由方差公式及協(xié)方差的定義，得,

33、例,設(shè)（X，Y）有聯(lián)合分布律,,,,,,Y,,X,01,∑,,∑,0,1,1/4,1/4,1/3,1/6,7/12,5/12,1/2,1/2,1,求 cov(X，Y）.,解,E（X）=0×1/2+1×1/2=1/2,E（Y）=0×7/12+1×5/12=5/12,E（XY）=1×1/6=1/6,cov(X,Y)=E（XY）- E（X）E（Y）,=1/6-5/24,=1/24,例: 設(shè)(

34、X，Y)～N(μ1, μ2 ,σ12, σ22,ρ)，求cov(X,Y),Y～N(μ2,σ22)，,解: X～N(μ1,σ12),,E(X)=μ1, D(X)=σ12；,E(Y)=μ2, D(X)=σ22；,令,7.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),一、協(xié)方差,(1) Cov(X,Y)= Cov(Y,X)；,(3) Cov(aX+b,cY+d)=acCov(X,Y)，,a,b,c,d為常數(shù)；,(2) Cov(X,X)= D(X)；,性質(zhì),證 Co

35、v(X,Y)= E[(X-E(X))(Y-E(Y))] = E[(Y-E(Y)) (X-E(X))] = Cov(Y,X),證 Cov(aX+b,cY+d)=E[(aX+b-E(aX+b))(cY+d-E(cY+d))] =E{[a(X-E(X))][c(Y-E(Y))]} =acE{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

36、 =acCov(X,Y),7.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),二、相關(guān)系數(shù),定義:設(shè)二維隨機變量(X,Y)的方差D(X)>0,D(Y)>0,協(xié)方差Cov(X,Y)均存在,則稱,為隨機變量X與Y的相關(guān)系數(shù)或標準協(xié)方差.,一般地，數(shù)學(xué)期望為0，方差為1的隨機變量的分布稱為標準分布，故ρXY又稱為標準協(xié)方差。,7.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),二、相關(guān)系數(shù),性質(zhì),1. |ρXY|≤1；,3. |ρXY|=1， 稱之

37、為X與Y完全相關(guān)，其充要條件為,存在常數(shù)a,b使得P{Y=aX+b}=1.,2. ρXY=0，稱之為X與Y不相關(guān)；,意義: |ρXY|=1當(dāng)且僅當(dāng)Y跟X幾乎有線性關(guān)系。這在一定程度上說明了相關(guān)系數(shù)的概率意義。ρXY并不是刻畫X，Y之間的“一般”關(guān)系，而只是刻畫X，Y之間線性相關(guān)的程度。,說明： 假設(shè)隨機變量X，Y的相關(guān)系數(shù)ρXY存在，當(dāng)X與Y相互獨立時, ρXY=0,即X與Y不相關(guān)，反之若X與Y不相關(guān)，X與Y卻不一定相

38、 互獨立。,7.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),二、相關(guān)系數(shù),,,,,,,,o,X,Y,,,,,o,,,o,o,X,X,X,Y,Y,Y,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0<ρ<1,-1<ρ<0,ρ =1,ρ =-1,相關(guān)情況示意圖,解 X與Y的分布律分別為,例：二維隨機變量（X,Y）的聯(lián)合分布律如下表，求,，,解,例 設(shè)(X,Y)服從二元正態(tài)分布N(μ1,μ2 ,σ12,σ22,ρ) ，則,因為

39、 (X,Y)~ N(μ1,μ2 ,σ12,σ22,ρ) 且 ，所以,證 (1) 必要性,X~ N(μ1,σ12),Y~ N(μ2,σ22),所以,故X與Y相互獨立,證 (2) 充分性,因為X,Y相互獨立。所以, f(x,y)=f(x)f(y),所以 ρ=0,小結(jié)：結(jié)論1：X與Y相互獨立 ? ρXY=0 ? X與Y不相關(guān)； 反之，ρXY=0 不能推出X與Y相互獨立。結(jié)論2：對任意X與Y，以下結(jié)論等價ρX

40、Y=0 ? Cov(X,Y)=0 ? E(XY)=E(X)E(Y) ? D(X+Y)=D(X)+D(Y)。結(jié)論3：若(X，Y)～N(μ1, μ2 ,σ12, σ22,ρ)，則X與Y相互獨立 ? ρXY=0 ? X與Y不相關(guān)。,7.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),7.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),三、隨機變量的矩,定義:設(shè)X和Y是隨機變量,(1)若E(Xk)(k=1,2,…)存在,則稱它為X的k階原點矩,簡稱k階矩.(2)若E{[X-

41、E(X)]k} (k=1,2,…)存在,則稱它為X的k階中心矩.,例如：,期望是一階原點矩，方差D（X）是二階中心矩,(3)對正整數(shù)k與l，稱E(XkYl)為X和Y的k+l階混合矩；(4)若E{[X-E(X)]k[Y-E(Y)]l}存在，稱它為X和Y的k+l 階混合中心矩。,7.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),三、隨機變量的矩,推廣 對于n維隨機向量(X1,X2,…,Xn),把向量(X1,X2,…,Xn)用列向量形式表示并記為X，即

42、X=(X1,X2,…,Xn)?。 定義 設(shè)X=(X1,X2,…,Xn)? 為n維隨機向量,并記μi=E(Xi)，,則稱μ=(μ1,μ2,…,μn)?為向量X的數(shù)學(xué)期望或均值，稱矩陣,為向量X的協(xié)方差矩陣。,7.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),cij=Cov(Xi,Xj)=E{[Xi -E(Xi)][Xj -E(Xj )]},,例: 設(shè)(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ),求X和Y的協(xié)方差矩陣.,解,7.4 切比雪夫不等式及大數(shù)律,(

43、1) 事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即隨著試驗次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定于某個常數(shù).,(2) 在實踐中人們還認識到大量測量值的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性.,現(xiàn)象：,概率論中用來闡明大量隨機現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定理，稱為大數(shù)律（law of large number),7.4 切比雪夫不等式及大數(shù)律,一、伯努利大數(shù)律,設(shè) X1,X2,…是相互獨立的隨機變量序列,具有相同的數(shù)學(xué)期望E(Xk)=μ和方差D(Xk)=σ2(k=1,2,

44、…),則對于任意給定的ε>0,恒有,其中,若上式對任何ε>0成立，則稱 依概率p收斂于μ，且可表示為,7.4 切比雪夫不等式及大數(shù)律,一、伯努利大數(shù)律,例如:,意思是:當(dāng),,,a,,,,,,,,,,,,,,,,而,意思是:,時,Xn落在,內(nèi)的概率越來越大.,,當(dāng),7.4 切比雪夫不等式及大數(shù)律,切比雪夫(Chebyshev)不等式: 設(shè)隨機變量X具有數(shù)學(xué)期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2 ,則對于任意正數(shù)ε,有

45、,二、切比雪夫(Chebyshev)不等式,7.4 切比雪夫不等式及大數(shù)律,證明 (1)設(shè)X的概率密度為f(x),則有,(2)設(shè)離散型隨機變量X的分布律為P{X=xk}=pk,則有,二、切比雪夫(Chebyshev)不等式,切比雪夫（Chebyshev)不等式的應(yīng)用,在隨機變量X的分布未知的情況下，只利用X的期望和方差，即可對X的概率分布進行估值。,例 已知正常男性成人血液中，每毫升白細胞數(shù)的平均值是7300，均方差是700，

46、利用切比雪夫不等式估計每毫升血液含白細胞數(shù)在5200~9400之間的概率。,解 設(shè)X表示每毫升血液中含白細胞個數(shù)，則,則,而,所以,練一練,設(shè)隨機變量X的方差為2.5，利用切比雪夫不等式估計概率,例:在供暖的季節(jié),住房的平均溫度為20度,標 準差為2度,試估計住房溫度與平均溫度的 偏差的絕對值小于4度的概率的下界.,解,7.4 切比雪夫不等式及大數(shù)律,三、切比雪夫(Chebyshev)大數(shù)定律,設(shè) X1,X2

47、,…是相互獨立的隨機變量序列,具有數(shù)學(xué)期望E(Xi) 和方差 D(Xi) [i=1,2,...].若存在常數(shù) C,使得D(Xi)≤C(i=1,2,…),則對于任意給定的 ε>0, 恒有,證明,7.5 中心極限定理,客觀背景：客觀實際中，許多隨機變量是由大量相互獨立的偶然因素的綜合影響所形成，每一個微小因素，在總的影響中所起的作用是很小的，但總起來，卻對總和有顯著影響，這種隨機變量往往近似地服從正態(tài)分布。,例如對某物的長度進行測量,

48、在測量時有許多隨機因素影響測量的結(jié)果.如溫度和濕度等因素對測量儀器的影響,使測量產(chǎn)生誤差X1;測量者觀察時視線所產(chǎn)生的誤差X2;測量者心理和生理上的變化產(chǎn)生的測量誤差X3;…顯然這些誤差是微小的、隨機的,而且相互沒有影響.測量的總誤差是上述各個因素產(chǎn)生的誤差之和,即∑Xi.,概率論中有關(guān)論證獨立隨機變量的和的極限分布是正態(tài)分布的一系列定理稱為中心極限定理。,7.5 中心極限定理,一般地,在研究許多隨機因素產(chǎn)生的總影響時,很多可以歸結(jié)為研

49、究相互獨立的隨機變量之和的分布問題,而通常這種和的項數(shù)都很大.因此,需要構(gòu)造一個項數(shù)越來越多的隨機變量和的序列:,我們關(guān)心的是當(dāng)n→∞時,隨機變量和∑Xi的極限分布是什么?,7.5 中心極限定理,設(shè)隨機變量X1,X2,…,Xn是n個相互獨立且每個都服從(0-1)分布(P{Xi=0}=1-p,P{Xi=1}=p),現(xiàn)在來求,Yn= X1+X2+…+Xn,這里每個Xi只能取0，1，,的分布,Yn只能取0，1，…，n,即Yn服從B（n,p）,

50、7.5 中心極限定理,設(shè)X1,X2,…,Xn同分布，且Xi~B(1,p)，則,推論：,如果X與Y獨立，且X~B(m,p), Y~B(n,p),則 X+Y~ B(m+n,p),即二項分布具有可加性.,一、棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理,(De Moivre-Laplace中心極限定理):設(shè)X1，X2，…是一個獨立同分布的隨機變量序列,且Xi~B(1,p)(i=1,2,…), Yn= X1+X2+…+Xn,則

51、對任意一個x，-∞<x-< +∞總有,二項分布的極限分布是正態(tài)分布，即：當(dāng)n很大時，可以認為Yn近似服從正態(tài)分布N（np,np(1-p)）,例 設(shè)一車間里400臺同型號的機器，工作時每臺機器需要用電為Q瓦.由于工藝關(guān)系，每臺機器并不連續(xù)開動，開動的時間只占工作總時間的3/4.假定各機器工作是相互獨立，問應(yīng)該供應(yīng)多少瓦電力才能以99%的的概率保證該車間的機器正常工作？,解 令X為400臺機器中同時工作的機器數(shù),則 X~B（4

52、00，3/4），,設(shè)應(yīng)供應(yīng)x瓦電力,例 現(xiàn)有一大批種子，其中良種占1/6，今在其中任選6000粒，試問在這些種子中良種所占的比例與1/6之差小于1%的概率是多少？,解 設(shè)取出的種子中的良種粒數(shù)為X，則,所求概率為,7.5 中心極限定理,二、獨立同分布的中心極限定理,設(shè)隨機變量X1,X2,…,Xn,…相互獨立，服從同一分布,且具有數(shù)學(xué)期望和方差 E(Xk)=µ，D(Xk)=σ2≠0,(k=1,2,…) 對于任意實數(shù)x，

53、總有,它的分布函數(shù)Fn(x),,定理的應(yīng)用：對于獨立的隨機變量序列 ，不管 服從什么分布，只要它們是同分布，且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，那么，當(dāng)n充分大時，這些隨機變量之和 近似地服從正態(tài)分布,例:為了測定一臺機床的質(zhì)量,把它分解成75個部件來稱量.假定每個部件的稱量誤差(單位:kg)服從區(qū)間(-1,1)上的均勻分布,且每個部件的稱量誤

54、差相互獨立,試求機床重量的總誤差的絕對值不超過10kg的概率.,解 設(shè)第i個部件的稱量誤差為Xi(i=1,2,…,75),由題意知Xi相互獨立且都服從區(qū)間（-1，1）上的均勻分布，并有,E(Xi)=0,,D(Xi)=1/3,(i=1,2,..,75).,由獨立同分布的中心極限定理，可以近似地認為,于是，所求概率為,一加法器同時收到20個噪聲電壓Vk(k=1,2,…,20),它們相互獨立且都在區(qū)間[0,10]上服從均勻分布,噪聲電壓總和