[學(xué)習(xí)]概論與統(tǒng)計(jì)課件第四章_隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、第四章、隨機(jī)變量的數(shù)字特征,第一節(jié)：數(shù)學(xué)期望第二節(jié)：方差第三節(jié)：協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)第四節(jié)：矩、協(xié)方差矩陣,,在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.,然而，在實(shí)際問(wèn)題中，概率分布一般是較難確定的. 而在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.,例： 在評(píng)定某地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時(shí)，最關(guān)心的 是平均產(chǎn)量；

2、考察居民的家庭收入情況，我們既知家庭的年平均收入， 又要研究貧富之間的差異程度；,,因此，在對(duì)隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的 .而所謂的數(shù)字特征就是用數(shù)字表示隨機(jī)變量的分布特點(diǎn)。,在這些數(shù)字特征中，最常用的是,數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)、原點(diǎn)矩和中心矩,第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望,離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),引例：某射手射擊10次，

3、 射擊成績(jī)?nèi)缦拢?1.1 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,則他每次射擊平均命中的環(huán)數(shù)為：,若令 fi 表示頻率，則上式可表示為,由概率的統(tǒng)計(jì)定義知道，在大量試驗(yàn)下， 頻率 fi,概率 pi，,以頻率為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均值,,從而,,,,第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望,定義1.1：設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的概率函數(shù)為 P (X =xk ) = pk k=1, 2, …,若級(jí)

4、數(shù) 絕對(duì)收斂，,則稱此級(jí)數(shù)的和為 X 的數(shù)學(xué)期望。,簡(jiǎn)稱期望或均值。,記作 EX，即,如果級(jí)數(shù) 發(fā)散，則稱 X 的數(shù)學(xué)期望不存在。,說(shuō)明,級(jí)數(shù) 的和應(yīng)與求和次序無(wú)關(guān)，因而要求絕對(duì)收斂.,以概率為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均值,,離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的求法----用定義,例1：已知隨機(jī)變量 X 分布如表 所示, 求: EX.,EX = 6×0

5、.7 + 5.4×0.1 + 5×0.1 + 4×0.06 + 0×0.04 = 5.48,解：,例2：擲一枚均勻的骰子，用 X 表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求 EX.,解：,X 的概率函數(shù)為,P(X=k)=1/6 ，,k=1, 2, 3, 4, 5, 6,EX=,例3 （0-1）分布的數(shù)學(xué)期望,X服從0-1分布，其概率分布為,若X 服從參數(shù)為 p 的0-1分布， 則EX = p,概率函數(shù)為：

6、,例4 泊松分布的數(shù)學(xué)期望,,若X 服從參數(shù)為 λ 的泊松分布， 則EX = λ,例5 二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望,設(shè) X ~ B(n, p)，概率函數(shù)為,若X 服從參數(shù)為 n,p 的二項(xiàng)分布， 則EX = np,記為,定義1.2：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度為 f (x)，,若積分 絕對(duì)收斂，則稱積分 為 X 的數(shù)學(xué)期望。,1.2 連

7、續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,數(shù)學(xué)期望的求法----用定義,例1:計(jì)算在區(qū)間[a, b]上服從均勻分布的隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望.,解：,均勻分布的數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間 [a , b] 的中點(diǎn).,X 的密度函數(shù)為,例2：設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為? 的指數(shù)分布, 求 X 的數(shù)學(xué)期望.,解：,X 的密度函數(shù)為,例3：設(shè) X ~ N (? ,? 2), 求 X 的數(shù)學(xué)期望.,解：,正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望為? .,,由于,1.3 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

8、,設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，我們需要計(jì)算的不是X的期望，而是X的某個(gè)函數(shù)的期望，比如說(shuō)g(X)的期望. 那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？,一種方法是，因?yàn)間(X)也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來(lái). 一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把E[g(X)]計(jì)算出來(lái).,那么是否可以不先求g(X)的分布而只根據(jù)X的分布求得E[g(X)]呢？,下面的定理指出，答案是肯定的.,使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g(X)

9、的分布，一般是比較復(fù)雜的 .,一維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的求法,定理1.1：設(shè) X 是一隨機(jī)變量, Y = g(X)，g(x) 是連續(xù)函數(shù),,(2) 若 X 為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為 f ( x )，,(1) 若 X 為離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為,例1：設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布列為,求：EX2，E(2X-1).,解：,解：,解：,二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的求法,定理1.2：設(shè) (X, Y) 是二維隨機(jī)變量, 隨機(jī)變量 Z = g

10、(X, Y), g(x, y)是二元連續(xù)函數(shù)，,(1) 若 (X, Y ) 為二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布為,(2)若 (X ,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量, 其聯(lián)合密度函數(shù)為 f ( x , y ) , 且,解：,求：E(X- Y)，EXY.,例1：設(shè) (X, Y) 的聯(lián)合分布為,E(X- Y) =,(0-1)×0.1 +(0-2)×0.2 +(0-3)×0.3,E(XY) =,(0 ? 1

11、)×0.1 +(0 ? 2)×0.2 +(0 ? 3)×0.3+(1 ? 1)×0.2 +(1 ? 2)×0.1 +(1 ? 3)×0.1= 0.7,+(1-1)×0.2 +(1-2)×0.1 +(1-3)×0.1,= -1.7,解：,例2：設(shè) (X,Y) 的聯(lián)合密度為,求：E(-3X+2Y), EXY.,EXY,E(-3X+2Y),（1）設(shè)(

12、X , Y )為二維離散型隨機(jī)變量，其分布律為 P (X = x i ，Y= y j ) = p i j (i , j = 1, 2, ? ),其邊緣分布律為,定理1.3,則,(2)若 (X ,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量, f ( x , y ) , f X(x) , f Y(y) 分別為(X ,Y)的概率密度與邊緣概率密度，則,解：,例(P92例10）：設(shè) (X,Y) 的聯(lián)合密度為,求

13、：Z=X，Z=XY，Z=max(X,Y)的數(shù)學(xué)期望.,EZ=EXY,EZ=EX,EZ=E[max(X,Y)],性質(zhì)1：常數(shù)的期望就是這個(gè)常數(shù)本身, 即 E(C) = C.,1.4 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),證： 常量 C 可看作僅取一個(gè)值 C 的隨機(jī)變量,且取值 C 的概率為 1,即 X 的分布為 P(X = C) = 1, 其數(shù)學(xué)期望為,推論：E(EX) = EX,E(C) = C ? 1 = C,性質(zhì)2：隨機(jī)變量 X 與常量 C 之和的數(shù)學(xué)期

14、望等于 X 的期望與 這個(gè)常量 C 的和，即 E(X + C) = EX + C.,證：,X為離散型時(shí):,X為連續(xù)型時(shí):,設(shè) X 的分布為 pk , 則,設(shè) X 密度函數(shù)為 f(x) , 則,性質(zhì)3：常量 C 與隨機(jī)變量 X 的乘積的期望等于 C 與 X 的期望的乘積，即 E(CX) = CEX.,證：,性質(zhì)4：隨機(jī)變量的線性函數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于這個(gè)隨機(jī)變量期 望的同一線性函數(shù)，即 E(kX

15、+b) = kEX + b.,證： E(kX+b) = E(kX) + b = kEX + b,X為離散型時(shí):,X為連續(xù)型時(shí):,設(shè) X 的分布為 pk , 則,設(shè) X 密度函數(shù)為 f(x) ,則,性質(zhì)5：兩個(gè)隨機(jī)變量之和(差)的數(shù)學(xué)期望等于這兩個(gè)隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望之和(差) , 即 E (X ? Y) = EX ? EY.,證：,(X, Y)為離散型時(shí): 設(shè) (X, Y) 的聯(lián)合分布為 pij , 邊緣分布分別為 pi(1) 和 pj(2

16、) , 則,(X, Y)為連續(xù)型時(shí)：設(shè) (X, Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)為 f (x, y), 邊緣密度函數(shù)分別為 f X (x)和 f Y (y), 則,推論: 設(shè)隨機(jī)變量 Xi (i=1, 2, …, n), 有,更一般地，有對(duì)任意常數(shù) Ci (i=1, 2, …, n) 及隨機(jī)變量 Xi (i=1, 2, …, n), 有,特別地，,即 n 個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均數(shù)仍是一個(gè)隨機(jī)變量，其期望值等于這 n 個(gè)隨機(jī)變量期望的算術(shù)平均數(shù)。,

17、性質(zhì)6：兩個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量乘積的數(shù)學(xué)期望等于它們數(shù)學(xué)期望的乘積, 即 E(XY) = EX · EY,證：,(X, Y)為離散型時(shí):設(shè) (X, Y) 的聯(lián)合分布為 pij , 邊緣分布分別為 pi(1) 和 pj(2) , 則,(X, Y)為連續(xù)型時(shí)：設(shè) (X, Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)為 f (x, y), 邊緣密度函數(shù)分別為 f X (x)和 f Y (y), 則,數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用舉例,例1：設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布列為,求

18、：E(2X-1).,解：,解：,或,EX = 9?0.3+10?0.5+11?0.2 = 9.9,例3：兩相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 X, Y 的分布如下面兩表所示。,EY2 = 62?0.4+72?0.6 = 43.8,求：E(X+Y) 、 E(XY) 和 EY 2,E(XY) = EX ?EY = 9.9?6.6 = 65.34,E(X +Y) = EX + EY = 9.9+6.6=16.5,EY = 6?0.4+7?0.6 = 6.6,

19、解：,因 X 與 Y 相互獨(dú)立，所以,解：利用性質(zhì)：,求：E(X-Y).,例4：設(shè) (X, Y) 的聯(lián)合分布為,EX =0?0.6+1?0.4=0.4,EY =1?0.3+2?0.3 +3?0.4=2.1,E(X-Y)=EX- EY=0.4-2.1=-1.7,X與Y的分布為：,按公式解：,E(X- Y) =,(0-1)×0.1 +(0-2)×0.2 +(0-3)×0.3,+(1-1)×0.2 +(

20、1-2)×0.1 +(1-3)×0.1,= -1.7,例5 一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開(kāi)出，旅客有10個(gè)車站可以下車。如到達(dá)一個(gè)車站沒(méi)有旅客下車就不停車。以X表示停車次數(shù)，設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的，并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立，求X的數(shù)學(xué)期望.,若設(shè),則 X= X1+X2+…+X10,i=1,2，…，10,因?yàn)槿我宦每筒辉诘趇站下車的概率為9/10 ，所以，20位旅客都不在第i站下車的概率為

21、(9/10)20 ，而在第i站有人下車的概率為1-(9/10 )20 ，即,于是,所以,小結(jié)： 本題是將X分解成數(shù)個(gè)隨機(jī)變量之和,然后利用隨機(jī)變,量和的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的和來(lái)求數(shù)學(xué)期望的,,此方法具有一定的意義.,這一節(jié)，我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征.,接下來(lái)的一節(jié)中，我們將學(xué)習(xí)隨機(jī)變量另一個(gè)重要的數(shù)字特征：,方差,第二節(jié) 方差,,上一節(jié)我們介紹了隨機(jī)

22、變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征.,但是在一些場(chǎng)合，僅僅知道平均值是不夠的.,由此可見(jiàn),研究隨機(jī)變量與其均值的偏離程度是十分必要的.那么,用怎樣的量去度量這個(gè)偏離程度呢?容易看到,這個(gè)數(shù)字特征就是我們這一節(jié)要介紹的,方差,能度量隨機(jī)變量與其均值E(X)的偏離程度. 但由于上式帶有絕對(duì)值,運(yùn)算不方便,通常用量,來(lái)度量隨機(jī)變量X與其均值E(X)的偏離程度.,2.1方差的定義,定義：如果隨機(jī)變量

23、X 的數(shù)學(xué)期望 EX 存在，稱 X - EX 為 隨機(jī)變量 X 的離差.,定義2.1：設(shè) X 是隨機(jī)變量，且 EX 存在，若 E(X-EX)2存在，則稱 E(X-EX)2 是 X 的方差，記作 DX 或 VarX，即,離差平方的數(shù)學(xué)期望,,DX=VarX=E(X-EX)2,若X的取值比較分散，則方差DX較大.,方差刻劃了隨機(jī)變量的取值對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的離散程度 .,若X的取值比較集中，則方差DX較??；,因此，DX是刻畫X

24、取值分散程度的一個(gè)量，它是衡量X取值分散程度的一個(gè)尺度。,若X的取值比較分散，則方差DX較大.,方差刻劃了隨機(jī)變量的取值對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的離散程度 .,若X的取值比較集中，則方差DX較??；,因此，DX是刻畫X取值分散程度的一個(gè)量，它是衡量X取值分散程度的一個(gè)尺度。,X為離散型，分布率P{X=xk}=pk,由定義知，方差是隨機(jī)變量 X 的函數(shù) g(X)=[X-E(X)]2 的數(shù)學(xué)期望

25、 .,方差的計(jì)算,X為連續(xù)型，X概率密度f(wàn)(x),計(jì)算方差的一個(gè)簡(jiǎn)化公式:,證： DX = E(X-EX)2,= E{X2 - 2XEX + (EX)2},= EX2 - E(2XEX) + E[(EX)2],= EX2 - 2EX?E(X) + (EX)2,= EX2 - (EX)2,DX = EX 2 - (EX)2,展開(kāi),利用期望性質(zhì),解：,EX = 0.2,EX2 = (-10)2?0.2+(-5)2?0.2+12?0.2

26、+52?0.2+102?0.2 =50.2,DX = EX2 - (EX)2 = 50.2 - 0.22 = 50.16,例1：X 有如下分布律:求：DX .,解：,p,+ 1?p =,? q,0,p q,p - p2 = p(1 - p) =,EX2 - (EX)2 =,EX =,P{X=0} = q,0 – 1分布,設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 p 的 0 –1 分布，其概率函數(shù) P(X=k) = pkq1

27、-k, q = 1-p , k = 0, 1,P{X=1} = p,,EX2 = 02 ? q + 12 ? p = p,DX =,常見(jiàn)分布的數(shù)學(xué)期望和方差,因此,0-1分布,概率函數(shù)為：,泊松分布,因此,泊松分布,或用性質(zhì)求EX2：,二項(xiàng)分布,設(shè) X ~ B(n, p)，概率函數(shù)為,npq,n2p2+npq- (np)2=,EX2-(EX)2=,DX=,因此,二項(xiàng)分布,幾何分布的概率函數(shù)為： X ~ P(X=k) = (

28、1-p) k-1p (k = 1, 2, …),幾何分布,因此,指數(shù)分布,例4:計(jì)算在區(qū)間[a , b] 上服從均勻分布的隨機(jī)變量 X 的方差.,解：,X 的密度函數(shù)為,因此,均勻分布,指數(shù)分布,因此,指數(shù)分布,正態(tài)分布,,因此,正態(tài)分布,2.2 方差的性質(zhì),性質(zhì)1：常量的方差等于零. 即:設(shè) C 為常數(shù), 則 DC = 0.,證: D(C)=E(C-EC)2=E(C-C)2=0,性質(zhì)2： 隨機(jī)變量與常量之和的方差等于隨機(jī)變量

29、的方差本身.即： D(X+C) = DX,證： D(X+C) =,性質(zhì)3： 常量與隨機(jī)變量乘積的方差, 等于常量的平方與隨機(jī)變量方差的乘積. 即：D(CX) = C2DX,證： D(CX) = E{CX - E(CX)}2,性質(zhì)4： 設(shè) k, b 為常數(shù), 則：D(kX+b) = k2DX,E{X+C-E(X+C)}2,= E{X+C-EX-C)2,= E(X- EX)2,=DX,= E{CX - CEX}2,= E{C(X - EX)

30、}2,= E{C2(X - EX)2},= C2DX,性質(zhì)5： 設(shè)X與Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則 D(X?Y) = DX+DY? 2E{(X-EX)(Y-EY)}當(dāng)X與Y相互獨(dú)立時(shí)，有 D(X?Y) = DX+DY,證： D(X?Y),= E{X?Y - E(X?Y)}2,= E{(X-EX) ? (Y-EY)}2,= E{(X-EX)2 + (Y-

31、EY)2 ? 2(X-EX)(Y-EY)},= DX + DY ? 2E{(X-EX)(Y-EY)},= DX + DY ? 2E(XY – XEY – YEX + EXEY),= DX + DY ? 2{E(XY) -E(XEY) - E(YEX) + E(EXEY)},= DX + DY ? 2{E(XY) - EX?EY },= DX+DY,性質(zhì)5 可以推廣到任意有限個(gè)隨機(jī)變量的情況.,若X1, X2 , … , X n 相互獨(dú)立

32、，則有D(X1 ? X2 ? … ? X n) = DX1+DX2+...+DX n,,性質(zhì)6：隨機(jī)變量 X 的方差 DX = 0 的充分必要條件是 P(X = EX) = 1,設(shè) X 是任一隨機(jī)變量, 數(shù)學(xué)期望和方差分別為 EX、DX, 且 DX > 0, 令隨機(jī)變量,則,,X 的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量.,P99 Ex2,方差性質(zhì)的應(yīng)用舉例,例: 設(shè)X~B(n,p)，證明：E

33、X=np，DX=npq.,且 Xi 服從參數(shù)為 p 的 0-1 分布，,作 n 重貝努里實(shí)驗(yàn), 每次試驗(yàn)中事件 A 發(fā)生的概率為 p, 隨機(jī)變量 X 表示“n重貝努里試驗(yàn)中事件 A 發(fā)生的次數(shù)”, 則 X~B(n, p).,假設(shè)第 i 次試驗(yàn)時(shí)事件 A 發(fā)生的次數(shù)為 X i ,,因此有 EXi = p , DXi = pq ,,X1, X2, …, X n 獨(dú)立,,則 X = X 1+ X 2 + … + X n ,,例: 設(shè)X~N(μ

34、,σ2)，求：DX.,解 令隨機(jī)變量,又EY=0,,所以，,例如,,常見(jiàn)隨機(jī)變量的分布及其期望值和方差,0 – 1 分布,二項(xiàng)分布,幾何分布,普哇松分布,P(X=k) = (1-p) k -1p (k =1,2,…),P(X=k) = pkq1-k (k = 0, 1),p,pq,常見(jiàn)隨機(jī)變量的分布及其期望值和方差,均勻分布,指數(shù)分布,正態(tài)分布,例1: 假定每個(gè)人的生日在各個(gè)月份的機(jī)會(huì)是相同的，求 3

35、個(gè)人的生日在第一季度的平均人數(shù).,解：,每個(gè)人的生日在第一季度的概率,用 X 表示三個(gè)人中生日在第一季度的人數(shù)，,則 X ~ B(3, ) ,,例2: 設(shè) X 的概率函數(shù)為 ， 求 EX 及 DX .,解：,即 X 服從參數(shù)為 的幾何分布，,例3: 設(shè) X 的密度函數(shù)為

36、 求 E(2X+1) 及 D(2X+1) .,解：,X 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，,E(2X+1) = 2×EX+1 = 5,D(2X+1) = 4×DX = 16,例4: 設(shè) X 的密度函數(shù)為

37、 ， 求 EX 及

38、 DX .,解：,則 X ~ N(1 , 1/2) ,,EX = 1, DX = ½.,第三節(jié) 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù),前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，對(duì)于二維隨機(jī)變量（X，Y），我們除了討論X與Y的數(shù)學(xué)期望和方差以外，還要討論描述X和Y之間關(guān)系的數(shù)字特征，這就是本講要討論的,協(xié)方差和相關(guān)系數(shù),3.1 協(xié)方差,定義3.1 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X, Y) , 若 E[(X- EX)(Y- EY)] 存在, 稱它為X

39、與 Y 的協(xié)方差. 記作 Cov(X, Y), 即,顯然： Cov(X, X) = DX,Cov(X, Y)= E[(X - EX)(Y - EY)],協(xié)方差的定義,D(X?Y)=DX+DY?2E{(X-EX)(Y-EY)},說(shuō)明,證明： Cov(X, Y) = E[(X-EX)(Y-EY)] = E( XY – XEY – YEX + EXEY ) = E(XY) – E(XEY) – E(YEX) +

40、 E(EXEY) = EXY - EXEY,1o 若 X 與Y 獨(dú)立，則,Cov(X ,Y) = 0,2o 對(duì) X與 Y 有: D(X ? Y) =DX+DY ? 2Cov(X ,Y),協(xié)方差的計(jì)算公式,Cov(X, Y) = EXY - EXEY,性質(zhì)4： Cov(X1+ X2, Y) =Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y),協(xié)方差的性質(zhì),性質(zhì)2： Cov(X,Y) = Cov(Y, X),性質(zhì)3： Cov(

41、aX, bY) = abCov(X,Y),設(shè) a , b , c 都是常數(shù)，,Cov(X,Y) = E [(X- EX)(Y- EY)],性質(zhì)5： D(X ± Y) = DX + DY ± 2Cov(X,Y),性質(zhì)1： Cov(X, X) = DX,D(aX ± bY) = a2DX + b2DY ± 2abCov(X,Y),性質(zhì)6：若X 與 Y 獨(dú)立， 則Cov(X,Y)= 0 .,例1：設(shè)二維

42、隨機(jī)變量 (X, Y) 的聯(lián)合分布如右表所示, 求 Cov(X, Y).,解: X, Y 的邊緣分布：,EX = (-1)?3/8 + 0?2/8 + 1?3/8 = 0,,Cov(X, Y) = E(XY) - EXEY = 0,但 P(X= 0, Y= 0) ? P(X=0) P(Y=0), X與Y不獨(dú)立.,X 與Y 獨(dú)立,Cov(X, Y) = 0,,,EY = 0,= 0,？,解：由定理1.3，得,例2：設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量 (

43、X, Y) 的聯(lián)合密度為：　　　　　　　　　　　　 　　求： Cov(X, Y).,定義3.11：對(duì)于二維隨機(jī)變量 (X, Y), Cov(X, Y)存在, 且DX > 0, DY > 0, 則稱　　　　　 為 X 與 Y 的相關(guān)系數(shù),記作 ?X,Y 或簡(jiǎn)記作 ? .即：,3.2 相關(guān)系數(shù),Cov(aX,aY) = a2Cov(X,Y),相關(guān)系數(shù)的定義,例1：已知 DX = 25 , DY

44、 = 36 , ? = 0.4 ,求 D(X+Y) , D(X-Y) , D(2X+3Y).,解:,D(X + Y) = DX + DY + 2Cov(X , Y) = 25 + 36 + 2×12 = 85,D(X - Y) = DX + DY - 2Cov(X , Y) = 25 + 36 - 2×12 = 37,D(2X +3

45、Y) = 4DX + 9DY + 12Cov(X , Y) = 100 + 324 + 12×12 = 568,例2：設(shè)二維隨機(jī)變量 (X , Y) 的聯(lián)合分布如右表所示, 求 ? X ,Y,解：可求出X ,Y的邊緣分布：,EX = 1?0.3+2?0.7 = 1.7 , EY = -0.2,Cov(X ,Y) = E(XY) - EX EY = - 0.5 -1.7?(- 0

46、.2) = - 0.16,相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),性質(zhì) 1：設(shè)隨即變量 X 與 Y 的相關(guān)系數(shù)為 ? , 則 |? |? 1.,性質(zhì) 2：設(shè) ? 是 X 與 Y 的相關(guān)系數(shù)，則 |? | = 1 的充要條件是 X 與 Y 以概率 1 存在線性關(guān)系. 即存在常數(shù) a , b, 使得 P (Y = aX + b) = 1,|? | = 1,? = 1 完全正相關(guān),稱 X 與 Y 完全線性相關(guān),,,? = -1 完全負(fù)相關(guān),|? |?

47、1,,X 與 Y 之間線性相關(guān)的程度將隨著 |? | 的減少而減弱。,|? | = 0,,稱 X 與 Y 不相關(guān)或零相關(guān).,,相關(guān)系數(shù) ? 是刻劃隨機(jī)變量之間線性關(guān)系強(qiáng)弱的特征數(shù),即 X 與 Y 不線性相關(guān).,注1: ? = 0 表明 X 與 Y 無(wú)線性關(guān)系 , 而不是 X 與 Y無(wú)任何關(guān)系(獨(dú)立).,分析：,獨(dú)立,,無(wú)任何關(guān)系,,,無(wú)線性關(guān)系,無(wú)非線性關(guān)系,,? = 0,注2：對(duì)隨即變量 X 與 Y ，下列結(jié)論

48、是不相關(guān)的等價(jià)命題：,注3: X 與 Y 獨(dú)立 ，則 X 與 Y 不相關(guān)（ ? = 0 ）. 但反之不一定成立.,特別地：若 (X, Y) ~ N( ?1, ?2, ?12, ?22, ?) 時(shí),,例: 設(shè)隨機(jī)變量 ? ~[ 0 , 2? ] 上的均勻分布, 又有 X = sin ? , Y = cos ? , 求：? XY .,解：? 的密度函數(shù)為:,∴ ? X Y = 0,結(jié)論：

49、? X Y = 0, 即 X 與 Y 不相關(guān)，但明顯有 X2 + Y 2 = 1 ， 這說(shuō)明了 X 與 Y 存在非線性關(guān)系，這時(shí) X 與 Y 不獨(dú)立.,小結(jié),這一節(jié)我們介紹了協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、,相關(guān)系數(shù)是刻劃兩個(gè)變量間線性相關(guān)程度的一個(gè)重要的數(shù)字特征.,注意獨(dú)立與不相關(guān)并不是等價(jià)的.,當(dāng)(X,Y) 服從二維正態(tài)分布時(shí)，有,第四節(jié) 矩、協(xié)方差矩陣,原點(diǎn)矩 中心矩協(xié)方差矩陣,(1)原點(diǎn)矩,定義4.1：

50、隨機(jī)變量 X 的 k 次冪的數(shù)學(xué)期望叫做隨機(jī)變量 X 的 k 階原點(diǎn)矩，記作 ?k，即：,? k = EX k (k = 1, 2, … ),1 階原點(diǎn)矩就是數(shù)學(xué)期望 EX.,設(shè)X是離散型隨機(jī)變量, 概率函數(shù)為P(X = x i) = pi, (i =1, 2, …),則,設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為 f (x)，則,注意,4.1 矩,定義：隨機(jī)變量 X 的離差 X - EX 的 k 次冪的數(shù)學(xué)期望叫做隨機(jī)變量 X 的 k 階中

51、心矩，記作 ? k，即：,(2)中心矩,? k = E(X- EX) k (k= 1, 2, … ),顯然：,設(shè)X是離散型隨機(jī)變量, 概率函數(shù)為P(X = x i) = pi, (i =1, 2, …),則,設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為 f (x)，則,(3)混合矩,協(xié)方差Cov(X,Y)是X和Y的二階混合中心矩.,稱它為 X 和 Y 的 k+L 階混合（原點(diǎn)）矩.,稱它為X 和 Y 的 k+L 階混合中心矩.,可見(jiàn)，,4.2

52、 協(xié)方差矩陣,將二維隨機(jī)變量（X1,X2）的四個(gè)二階中心矩,排成矩陣的形式:,稱此矩陣為（X1,X2）的協(xié)方差矩陣.,類似定義n 維隨機(jī)變量(X1,X2, …,Xn) 的協(xié)方差矩陣.,為(X1,X2, …,Xn) 的協(xié)方差矩陣,基本要求:1 理解數(shù)學(xué)期望、方差的概念及背景，并掌握它們的性質(zhì)與 計(jì)算，會(huì)求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差.2 要熟記兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、幾何分布、普哇松分布、均 勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望與