走進(jìn)圓中的幾何變換

1、走進(jìn)圓中的幾何變換走進(jìn)圓中的幾何變換在近幾年的各地中考中，幾何變換作為一種數(shù)學(xué)思想與方法，不斷地被命題者青睞與關(guān)注，在現(xiàn)行的初中數(shù)學(xué)課本中，主要存在平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱(即翻折)三種幾何變換.它們最大的特征都是不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形位置的變換。而圓作為初中階段最核心最重要的內(nèi)容，越來(lái)越被作為呈現(xiàn)知識(shí)和能力的載體。為此，讓我們結(jié)合各地中考試題，一同走進(jìn)圓中的變換世界，感受它的魅力與亮點(diǎn)。一、利用平移構(gòu)造一、利用平移構(gòu)造例1：如圖

2、，⊙P內(nèi)含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于點(diǎn)C，且OPAB若陰影部分的面積為?9，則弦AB的長(zhǎng)為（）A3B4C6D9思路點(diǎn)撥：思路點(diǎn)撥：兩圓內(nèi)含，陰影部分的面積為?9，如果將⊙P向左平移，與⊙O構(gòu)造同心圓，此時(shí)陰影部分的圖形為環(huán)形（如圖2），則此時(shí)⊿COB已構(gòu)造成直角三角形。解析：解析：環(huán)形的面積為222222()()9RrRrOBOC???????????；則弦AB=2BC=2223OBOC???=6；故此題選C。點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：通過(guò)對(duì)小圓的

3、左移，構(gòu)造出兩圓為同心圓的特殊位置，并進(jìn)而形成了一個(gè)圓環(huán)的陰影部分，由切線的性質(zhì)并進(jìn)而構(gòu)造出圓的垂徑定理、勾股定理等需要知識(shí)。二、利用翻折構(gòu)造二、利用翻折構(gòu)造例2：如圖，⊙O的半徑為2，C1是函數(shù)y=12x2的圖象，C2是函數(shù)y=12x2的圖象，則陰影部分的面積是.思路點(diǎn)撥：思路點(diǎn)撥：圖中陰影部分是由三種不規(guī)則的圖形的構(gòu)成，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，如果借助翻折變換的數(shù)學(xué)思想方法，便可將X軸下方的陰影部分翻折上去，與另兩部分陰影剛好構(gòu)造成半圓形，

4、此時(shí)的陰影部分面積剛好半圓形的面積，此題便可快速解決。解析：解析：陰影部分的面積為半圓形的面積=21222????。點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：翻折問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱變換，把握翻折的兩部分是全等圖形、重合圖形，通過(guò)翻折，將非特殊圖形轉(zhuǎn)化為特殊圖形（半圓形），解題的關(guān)鍵是面積的割補(bǔ)及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。三、利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造三、利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造例3：（1）如圖1，圓內(nèi)接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE為⊙O的半徑，OD⊥BC于點(diǎn)F，OE⊥AC于點(diǎn)G.求證：

5、陰影部分四邊形OFCG的面積是△ABC面積的31.（2）如圖2，若∠DOE保持120角度不變.求證：當(dāng)∠DOE繞著O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，由兩條半徑和△ABC的兩條邊圍成的圖形（圖中陰影部分）面積始終是△ABC（例1圖1）BACPO（例1圖2）BACO面積的31.思路點(diǎn)撥：思路點(diǎn)撥：如圖，連OA，OC，則由于∠DOE=∠AOC=120，也就是⊿FOC繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120得到⊿EOA，此時(shí)陰影部分的面積為⊿AOC的面積，而⊿AOC的面積是整個(gè)三角形

6、⊿ABC的面積的三分之一。解析解析：（１）證明：過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H.∵等邊△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，OD⊥BC，OH⊥AB，OE⊥AC∴∠B=∠C=60，∠BHO=∠BFO=∠CFO=∠CGO=90，BH=BF=CF=CG，OH=OF=OG∴∠FOH=∠FOG=18060=120，∴四邊形ＢＤＯＨ≌四邊形ＣＦＯＧ同理：四邊形ＢＤＯＨ≌四邊形ＡＨＯＧ∴四邊形ＢＤＯＨ≌四邊形ＣＦＯＧ≌四邊形ＡＨＯＧ∴AHOGBHOFCFOG=S=S

7、S四邊形四邊形四邊形，又∵ABCAHOGBHOFCFOGCFOGSSS=3SS??四邊形四邊形四邊形四邊形∴ABCCFOG1S=S3?四邊形（２）證明：過(guò)圓心Ｏ分別作ＯＭ⊥ＢＣ，ＯＮ⊥ＡＣ，垂足為Ｍ、Ｎ.則有∠OMF=∠ONG=90，OM=ON，∠MON=∠FOG=120∴∠MON∠FON=∠FOG∠FON，即∠MOF=∠NOG∴△MOF≌△NOG，∴ABCCFOGCMON1=S=S3S?四邊形四邊形∴若∠DOE保持120角度不變，當(dāng)∠