初中幾何代數(shù)化教學的思考_——基于圓中角轉(zhuǎn)化問題

1、初中幾何代數(shù)化教學的思考 —— —基于圓中角轉(zhuǎn)化問題羅燕婷（廈門外國語學校瑞景分校， 福建 廈門， 361008）DOI： 10.16681/j.cnki.wcqe.202206059作者簡介： 羅燕婷 （1995— ） ， 女， 漢族， 福建三明人， 二級教師。研究方向： 數(shù)學教育。摘要： 為了提升學生數(shù)學素養(yǎng)， 文章基于圓中角轉(zhuǎn)化問題， 對初中幾何代數(shù)化教學進行了思考， 并提出了相關(guān)建議， 包括深化理解， 把握聯(lián)系； 豐富策略， 擴

2、展思維； 滲透思想， 提升素養(yǎng)。關(guān)鍵詞： 圓中角轉(zhuǎn)化； 幾何代數(shù)化； 初中數(shù)學中圖分類號： G633.6 文獻標志碼： A 文章編號： 2095- 6401(2022)06- 0186- 04《義務(wù)教育數(shù)學課程標準 （2011 年版） 》 （以下簡稱《課程標準》 ） 指出： “建立數(shù)感、 符號意識和空間觀念， 初步形成幾何直觀和運算能力， 發(fā)展形象思維與抽象思維是數(shù)學目標之一。符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數(shù)、 數(shù)量關(guān)系和變化

3、規(guī)律； 知道使用符號可以進行運算和推理， 得到的結(jié)論具有一般性。” [1]在涉及圓的初中幾何教學過程中，教師可以滲透代數(shù)設(shè)元思想，培養(yǎng)學生的符號意識， 以數(shù)助形， 加強學生的符號意識，培養(yǎng)學生幾何直觀素養(yǎng)。下面本文擬基于圓中角轉(zhuǎn)化問題， 對初中幾何代數(shù)化教學加以思考。一、 問題起源（一） 呈現(xiàn)例 1： 如圖 1 所示， 四邊形 ABCD 內(nèi)接于⊙O， AB=AC， BD⊥AC， 垂足為 E， 點 F 在 BD 的延長線上， 且 DF=D

4、C， 連接 AF、 CF， 求證∠BAC=2∠DAC。圖 1 示意圖（二） 分析本題是福建省 2019 年的一道中考題， 作為一道以圓為背景的幾何綜合壓軸題， 該題題目簡約， 圖形復(fù)雜，問題層層遞進。其中， 第一小問屬于常規(guī)的有關(guān)圓中角的轉(zhuǎn)化問題， 考查學生對圓的基本性質(zhì)和角的認識及轉(zhuǎn)化能力。在進行圓周角定理教學過程中， 筆者將該題第一小問作為課堂教學問題， 本以為學生能夠快速得出答案， 結(jié)果卻出乎筆者意料， 全班有很大一部分學生沒能快

5、速求解出來或書寫過程煩瑣、 復(fù)雜。那么， 問題出在哪里呢？這是因為學生在圓周角之間繞來繞去， 無法聚焦基本圖形。對此， 筆者在教學過程中， 先進行讀題、 識圖、 標記，讓學生從結(jié)論出發(fā)， 求兩個角的兩倍數(shù)量關(guān)系。具體而言， 筆者先通過問題進行引領(lǐng) “問題 1： ∠BAC、 ∠DAC 是圓中什么位置的角？ 如何轉(zhuǎn)化， 轉(zhuǎn)化哪一個角？ 問題 2： 請同學們思考， ∠BAC=2∠DAC 意味要構(gòu)造角的數(shù)量關(guān)系， 那么如何構(gòu)造關(guān)于角的等量關(guān)系？

6、 聚焦在哪些基本圖形？” 對此， 讓學生識別∠BAC、 ∠DAC 是圓周角， 可以通過同弧所對的圓周角相等進行轉(zhuǎn)化， 也就是∠DAC=∠DBC，再從題目條件聚焦在∠BAC 所在的等腰三角形△ABC 上， 接著利用 AB=AC 得到∠ABC=∠ACB， 然后通過設(shè)∠DAC=x， 三角 形 內(nèi) 角 和 的 180°等 量 關(guān) 系 得 到∠BAC=2x， 所以∠BAC=2∠DAC， 如圖 2 所示圖 2 示意圖概言之， 在平面幾何教

7、學過程中， 如果教師可以將代數(shù)方法滲透其中， 引導(dǎo)學生根據(jù)已知條件和圖形的特征，通過設(shè)元， 聚焦基本圖形， 深挖蘊含在基本圖形或是題目條件中的隱含條件， 并基于以往的直觀感知和知識積累，利用圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系構(gòu)造方程模型， 那么所有問題最終都會迎刃而解。二、 深度探究（一） 設(shè)元法人教版九年級上冊數(shù)學教材中 “圓” 安排在第 24 章，要求學生探索圓周角及其所對弧的關(guān)系， 了解并證明圓周角定理及其推論： 圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓

8、心角度數(shù)的一半； 直徑所對的圓周角是直角； 90°的圓周角所對的弦是直徑； 圓內(nèi)接四邊形的對角互補。 這部分知西部素質(zhì)教育 2022 年 3 月第 8 卷第 6 期萬方數(shù)據(jù)點并垂直于這條半徑的直線是圓的切線。切線與過切點的直徑之間的關(guān)系和切線的判定， 多數(shù)是以證明題的形式或是判定之后再證明出現(xiàn)的。這部分題目往往將圓與其他知識整合， 進行綜合考查， 如三角形、 全等、 相似、 銳角三角函數(shù)、 坐標系等。這道例題綜合考查了等腰三角

9、形的性質(zhì)， 直徑所對的圓周角是直角， 由此， 通過角位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化可得到∠ABD+∠D=90°的數(shù)量關(guān)系。此題就是通過將幾何問題代數(shù)化， 通過引入?yún)?shù)， 設(shè)而不求， 整體代換， 得到∠ABD+∠D=x+y=90°， 這能方便計算和厘清思路。在整個過程中， 將數(shù)形結(jié)合， 先讀題識圖標量，分析思路， 聚焦到基本圖形等腰三角形△DAF、 直角三角形△CBF， 然后利用圖形的基本性質(zhì)， 等腰三角形三線合一和三角形內(nèi)角和 18

10、0°設(shè)元， 轉(zhuǎn)化或構(gòu)造等量關(guān)系進行求解， 就能很好地將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。圖 6 示意圖 圖 7 示意圖數(shù)學知識并不是孤立、 單一存在的， 而是相互之間聯(lián)系形成一個知識體系。在日常教學中， 要想促進學生思考， 提升學生數(shù)學綜合解題能力， 綜合訓(xùn)練不可缺少。因此在平常教學中， 教師要做有心人， 要將相關(guān)的知識點通過數(shù)學問題組合在一起，讓學生能夠舉一反三， 融會貫通， 并將相應(yīng)的題型進行梳理， 將解題技巧進行總結(jié)， 如幾何問題

11、代數(shù)化， 或者運用代數(shù)的方法和思想進行求解， 實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合， 抓住問題的本質(zhì)， 將知識的運用融為一體， 靈活運用， 避免死記硬背， 這有利于訓(xùn)練學生綜合思維能力， 優(yōu)化學生的思維品質(zhì)。三、 建議初中幾何問題的研究往往是研究幾何要素和相關(guān)要素之間的關(guān)系。在日常教學活動中， 教師用整體視角解析教學內(nèi)容及其蘊含的思想方法， 可以解決 “教什么”的問題， 且有助于在教學中明確內(nèi)容的知識體系和蘊含的思想方法， 發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)， 進而有助于

12、突出重點， 落實數(shù)學的育人任務(wù)[2]。對于圓的研究， 要著眼于問題的解決， 梳理知識體系， 包括圓心、 半徑、 與圓有關(guān)的線段 （直徑、 弦、 切線等） 、 角 （如圓心角、 圓周角等） 及彼此間的關(guān)系。對于圓中角轉(zhuǎn)化的問題， 可以弧定角， 在變中尋找不變量， 聚焦基本圖形， 重視幾何圖形的性質(zhì)，尤其是蘊含在基本圖形中的數(shù)量關(guān)系，接著通過設(shè)元，以數(shù)助形進行突破， 從而解決問題。《課程標準》 對 “圓” 的要求主要是認識， 弱化了證明部分

13、， 但是各地區(qū)中考試題依舊會考查圓的相關(guān)證明， 這是由初中生思維發(fā)展的自然規(guī)律決定的， 因為初中生正在經(jīng)歷由具體事例往抽象概括發(fā)展這一過程， 讓其體會通過合情推理探索數(shù)學結(jié)論， 運用演繹推理加以證明， 可使其具備相應(yīng)的幾何推理能力。中考試題對 “圓” 的考查基本符合 《課程標準》 的要求， 即在考查基礎(chǔ)知識的同時， 兼顧對學生思維能力的考查， 基于此， 在日常教學中， 數(shù)學教學活動要注重課程目標的整體實現(xiàn)。（一） 深化理解， 把握聯(lián)系近

14、幾年的中考試題越來越注重對學生基本知識的考查， 以及基本技能和數(shù)學能力的考查， 主要通過數(shù)學概念、定理的綜合， 讓學生靈活運用相應(yīng)的數(shù)學公式和數(shù)學定理對問題進行拆分、 整理、 求解。對于初中幾何中有關(guān)角的問題向代數(shù)轉(zhuǎn)化這類問題也不例外， 對此， 教師需要加強例題教學及習題課設(shè)計。常規(guī)的習題課教學往往以教師為主， 即教師僅僅對相關(guān)的知識點進行回顧， 然后配套相應(yīng)練習， 在學生完成教師課前搜集整理的一系列習題后，教師再進行講解評析， 要求學

15、生聆聽糾錯。在整個學習過程中， 學生一直在被動地學習， 機械地做題， 片面地鞏固一系列解題的技能技巧， 很少對問題的產(chǎn)生、 證明過程予以關(guān)注。對此， 教師在設(shè)計習題時， 應(yīng)該以題型方式進行呈現(xiàn)， 突出這節(jié)課的重點， 突破難點， 即不僅僅只是側(cè)重單一知識點的強化， 而是引導(dǎo)學生形成發(fā)現(xiàn)、 提出問題的意識和習慣， 從而培養(yǎng)和提升學生發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造的能力。（二） 豐富策略， 擴展思維著名數(shù)學家華羅庚先生倡導(dǎo)讀書要先 “由薄到厚” ，再 “由厚到

16、薄” 。 數(shù)學知識本身是由簡到繁變化發(fā)展的。 教師應(yīng)通過課堂引導(dǎo)學生梳理聯(lián)想， 再現(xiàn)規(guī)律結(jié)論， 探究新發(fā)現(xiàn)， 生成新問題， 參與知識的變化發(fā)展， 將其系統(tǒng)化、 整體化[3]。幾何是初中數(shù)學重要的組成部分， 一般幾何問題有眾多解題方法， 其中幾何問題的代數(shù)轉(zhuǎn)化求解是其中的一種擴展性解題方法。在有關(guān)圓的幾何綜合問題中，角的轉(zhuǎn)化往往是其中關(guān)鍵的步驟， 按照有限條件進行幾何推理雖然也可以達到求解目的， 但部分題型用代數(shù)方法進行推理更加簡潔， 而

17、在時間寶貴的考場上提高解題效率是十分重要的。因此，教師在日常教學中要注意開展問題的多解探析， 引導(dǎo)學生歸納、 總結(jié)題型及相應(yīng)的解題策略。其中數(shù)形結(jié)合的教學方式， 從 “形” 解析， 代 “數(shù)”推理， 可使幾何問題從代數(shù)角度得到解析， 由此充分串聯(lián)各領(lǐng)域的知識， 使學生體驗它們彼此的內(nèi)在聯(lián)系與邏輯關(guān)系， 進而促進學生應(yīng)用、 分析、 創(chuàng)造等高階思維能力的突破與提升， 擴展學生的解題思維。（三） 滲透思想， 提升素養(yǎng)深度學習是培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)