ch7、空間解析幾何與向量代數(shù)

1、1Ch8、多元函數(shù)微分法及其應用1、多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念1、多元函數(shù)的定義、多元函數(shù)的定義（以二元函數(shù)為例）定義定義1：設為面上的點集，若對中任一點，變量總有唯一確定的值與DxoyD)(yxz之對應，則稱是的二元函數(shù)，記為。zyx)()(yxzzyxfz??或①二元函數(shù)的定義域為面上的二維區(qū)域，二元函數(shù)的幾何圖形為曲面。xoy)(yxfz?例如，對二元函數(shù)，其定義域為面上的221yxz?????1)(22???yxyxD

2、xoy圓域，其圖形為上半球面。②特別地，自變量與無關。xy2、多元函數(shù)的極限、多元函數(shù)的極限定義定義2：稱為二重極限。Ayxfyyxx???)(lim00定理定理1：二重極限以任何方式趨于時，均趨于????Ayxfyyxx)(lim00)(yx)(00yx)(yxf。A推論：推論：若當沿不同路徑趨于時，趨于不同值，則不存)(yx)(00yx)(yxf)(lim00yxfyyxx??在。例1、，證明不存在。22)(yxxyyxf??)(l

3、im00yxfyx??證：證：當沿趨于時，，)(yx)0(?yx軸)00(000lim)(lim)(lim22000000???????????xxyxfyxfyxyxyx當沿趨于時，，)(yxxy?)00(21lim)(lim)(lim220000???????????xxxxyxfyxfxyxxyxyx故不存在。)(lim00yxfyx??或證：或證：當沿趨于時，)(yxkxy?)00(，22200001)(lim)(lim)(li

4、mkkkxxkxxyxfyxfxyxkxyxyx????????????3當固定在處有增量時，函數(shù)有偏增量y00xxy在而x?)(yxfz?)(00yxxf??，若極限存在，則稱之為在)(00yxfxyxfyxxfx??????)()(lim00000)(yxfz?處對的偏導數(shù)，記為或。)(00yxx)()(0000yxyxxfxz????)()(0000yxfyxzxx若在區(qū)域內(nèi)每一點處對的偏導數(shù)均存在，則此偏導數(shù)為)(yxfz?D)

5、(yxx的函數(shù)，稱為對的偏導(函)數(shù)，記為或。yx)(yxfz?xxfxz????)(yxfzxx類似地可定義對的偏導數(shù)以及二元以上函數(shù)的偏導數(shù)。)(yxfz?y2、計算方法、計算方法在計算對(或)的偏導數(shù)時，只須將另一變量(或)看成常量即可。)(yxfz?xyyx例1、求偏導數(shù)①②yxz?222zyxr???解：解：①xxyzyxxzyyln1???????②，同理rxxzyxxr???????221222rzzrryyr??????

6、例2、已知(為常量)，證明：RTPV?R1??????????PTTVVP證：證：RVPTRPVTPRTVPRTVVRTVPVRTP?????????????2故12????????????????PVRTRVPRVRTPTTVVP3、偏導數(shù)的幾何意義、偏導數(shù)的幾何意義——曲面)(yxfz?——曲面被平面)(0yxfz?)(yxfz?所截得的曲線0yy?——該曲線在點處的切線對軸的斜率)(00yxxz??)(00yxx4、偏導數(shù)存在與連