點差法求解中點弦問題

1、1點差法求解中點弦問題點差法求解中點弦問題點差法就是在求解圓錐曲線并且題目中交代直線與圓錐曲線相交被截的線段中點坐標(biāo)的時候，利用直線和圓錐曲線的兩個交點，并把交點代入圓錐曲線的方程，并作差。求出直線的斜率，然后利用中點求出直線方程。用點差法時計算量較少，解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時非常有效，但有一個弊端，不能保證直線與圓錐曲線一定有兩個交點，故有時要用到判別式加以檢驗。【定理定理1】在橢圓在橢圓（＞＞0）中，若直線）中，若直線與橢圓相

2、交于與橢圓相交于M、N兩點，點兩點，點是弦是弦12222??byaxabl)(00yxPMNMN的中點，弦的中點，弦MNMN所在的直線所在的直線的斜率為的斜率為，則，則.lMNk2200abxykMN???證明：設(shè)M、N兩點的坐標(biāo)分別為、，則有，)(11yx)(22yx???????????)2(.1)1(1222222221221????byaxbyax)2()1(?得.02222122221????byyaxx又.221212121

3、2abxxyyxxyy????????.2221211212xyxyxxyyxxyykMN????????.22abxykMN????【定理定理2】在雙曲線在雙曲線（＞0，＞0）中，若直線）中，若直線與雙曲線相交于與雙曲線相交于M、N兩點，點兩點，點12222??byaxabl是弦是弦MNMN的中點，弦的中點，弦MNMN所在的直線所在的直線的斜率為的斜率為，則，則.)(00yxPlMNk2200abxykMN??證明：設(shè)M、N兩點的坐標(biāo)

4、分別為、，則有)(11yx)(22yx???????????)2(.1)1(1222222221221????byaxbyax，得)2()1(?.02222122221????byyaxx.2212121212abxxyyxxyy???????又.22000021211212xyxyxxyyxxyykMN????????.2200abxykMN???【定理定理3】在拋物線在拋物線中，若直線中，若直線與拋物線相交于與拋物線相交于M、N兩點

5、，點兩點，點是弦是弦MNMN)0(22??mmxyl)(00yxP的中點，弦的中點，弦MNMN所在的直線所在的直線的斜率為的斜率為，則，則.lMNkmykMN??03∴點P的軌跡方程為：xy=0（﹣＜x＜）；3、（2013秋?啟東市校級月考）中心在原點，焦點坐標(biāo)為（0，5）的橢圓被直線3x﹣y﹣2=0截得的弦的中點的橫坐標(biāo)為，則橢圓方程為=1【解答】解：設(shè)橢圓=1（a＞b＞0），則a2﹣b2=50①又設(shè)直線3x﹣y﹣2=0與橢圓交點為A

6、（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中點（x0，y0）∵x0=，∴代入直線方程得y0=﹣2=﹣，由，得，∴AB的斜率k==﹣?=﹣?=3∵=﹣1，∴a2=3b2②聯(lián)解①②，可得a2=75，b2=25，∴橢圓的方程為：=1故答案為：=14、例1（09年四川）已知橢圓（＞＞0）的左、右焦點分別為、，離心率12222??byaxab1F2F，右準(zhǔn)線方程為.22?e2?x(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)過點的直線與該橢圓相交于M、N兩點，且，