高階等差數(shù)列

1、高階等差數(shù)列高階等差數(shù)列點(diǎn)擊數(shù)：764次錄入時(shí)間：20081169:51:00編輯：金子明一、基本知識(shí)1.定義：對(duì)于一個(gè)給定的數(shù)列an，把它的連結(jié)兩項(xiàng)an1與an的差an1an記為bn，得到一個(gè)新數(shù)列bn，把數(shù)列bn你為原數(shù)列an的一階差數(shù)列，如果cn=bn1bn，則數(shù)列cn是an的二階差數(shù)列依此類推，可得出數(shù)列an的p階差數(shù)列，其中pN2.如果某數(shù)列的p階差數(shù)列是一非零常數(shù)列，則稱此數(shù)列為p階等差數(shù)列3.高階等差數(shù)列是二階或二階以上等

2、差數(shù)列的統(tǒng)稱4.高階等差數(shù)列的性質(zhì)：(1)如果數(shù)列an是p階等差數(shù)列，則它的一階差數(shù)列是p1階等差數(shù)列(2)數(shù)列an是p階等差數(shù)列的充要條件是：數(shù)列an的通項(xiàng)是關(guān)于n的p次多項(xiàng)式(3)如果數(shù)列an是p階等差數(shù)列，則其前n項(xiàng)和Sn是關(guān)于n的p1次多項(xiàng)式5.高階等差數(shù)列中最重要也最常見的問題是求通項(xiàng)和前n項(xiàng)和，更深層次的問題是差分方程的求解，解決問題的基本方法有：(1)逐差法：其出發(fā)點(diǎn)是an=a1(2)待定系數(shù)法：在已知階數(shù)的等差數(shù)列中，其

3、通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn是確定次數(shù)的多項(xiàng)式(關(guān)于n的)，先設(shè)出多項(xiàng)式的系數(shù)，再代入已知條件解方程組即得(3)裂項(xiàng)相消法：其出發(fā)點(diǎn)是an能寫成an=f(n1)f(n)(4)化歸法：把高階等差數(shù)列的問題轉(zhuǎn)化為易求的同階等差數(shù)列或低階等差數(shù)列的問題，達(dá)到簡(jiǎn)化的目的二、例題精講例3.求和：Sn=13222432…n(n2)(n1)2解：Sn是是數(shù)列n(n2)(n1)2的前n項(xiàng)和，因?yàn)閍n=n(n2)(n1)2是關(guān)于n的四次多項(xiàng)式，所以an是四階等

4、差數(shù)列，于是Sn是關(guān)于n的五次多項(xiàng)式k(k2)(k1)2=k(k1)(k2)(k3)2k(k1)(k2)，故求Sn可轉(zhuǎn)化為求Kn=和Tn=k(k1)(k2)(k3)=[k(k1)(k2)(k3)(k4)(k1)k(k1)(k2)(k3)]，所以Kn==Tn==從而Sn=Kn2Tn=例4.已知整數(shù)列an適合條件：(1)an2=3an13anan1n=234…(2)2a2=a1a32(3)a5a4=9a1=1求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn解：設(shè)b