復合函數(shù)知識總結及例題

1、1復合函數(shù)問題一、復合函數(shù)定義：一、復合函數(shù)定義：設y=f(u)的定義域為A，u=g(x)的值域為B，若AB，則y關于x函數(shù)的?y=f［g(x)］叫做函數(shù)f與g的復合函數(shù)，u叫中間量.二、復合函數(shù)定義域問題：二、復合函數(shù)定義域問題：(1)、已知、已知的定義域，求的定義域，求的定義域的定義域fx()??fgx()思路：設函數(shù)的定義域為D，即，所以的作用范圍為D，又f對作用，作用范fx()xD?fgx()圍不變，所以，解得，E為的定義域。D

2、xg?)(xE???fgx()例1.設函數(shù)的定義域為（0，1），則函數(shù)的定義域為_____________。fu()fx(ln)解析：函數(shù)的定義域為（0，1）即，所以的作用范圍為（0，1）fu()u?()01，f又f對lnx作用，作用范圍不變，所以01??lnx解得，故函數(shù)的定義域為（1，e）xe?()1，fx(ln)例2.若函數(shù)，則函數(shù)的定義域為______________。fxx()??11??ffx()解析：先求f的作用范圍，由，

3、知fxx()??11x??1即f的作用范圍為，又f對f(x)作用所以，即中x應??xRx???|1fxRfx()()???且1??ffx()滿足即，解得xfx???????11()xx??????????1111xx????12且故函數(shù)的定義域為??ffx()??xRxx?????|12且（2）、已知、已知的定義域，求的定義域，求的定義域的定義域??fgx()fx()思路：設的定義域為D，即，由此得，所以f的作用范圍為E，又f對x作??

4、fgx()xD?gxE()?用，作用范圍不變，所以為的定義域。xEE?，fx()例3.已知的定義域為，則函數(shù)的定義域為_________。fx()32???x??12，fx()解析：的定義域為，即，由此得fx()32????12，??x??12，??3215???x，所以f的作用范圍為，又f對x作用，作用范圍不變，所以???15，??x??15，3因為函數(shù)在區(qū)間(cd)上是減函數(shù)，所以即，)(ufy?)()(21ufuf?))(())(

5、(21xgfxgf?故函數(shù)在區(qū)間）上是增函數(shù).))((xgfy?ba(（2）復合函數(shù)單調性的判斷復合函數(shù)單調性的判斷復合函數(shù)的單調性是由兩個函數(shù)共同決定。為了記憶方便，我們把它們總結成一個圖表：)(ufy?增↗減↘)(xgu?增↗減↘增↗減↘))((xgfy?增↗減↘減↘增↗以上規(guī)律還可總結為：“同向得增，異向得減”或“同增異減”.（3）、復合函數(shù)）、復合函數(shù)的單調性判斷步驟：的單調性判斷步驟：))((xgfy?ⅰ確定函數(shù)的定義域；ⅱ將

6、復合函數(shù)分解成兩個簡單函數(shù)：與。)(ufy?)(xgu?ⅲ分別確定分解成的兩個函數(shù)的單調性；ⅳ若兩個函數(shù)在對應的區(qū)間上的單調性相同（即都是增函數(shù)，或都是減函數(shù)），則復合后的函數(shù)為增函數(shù)；若兩個函數(shù)在對應的區(qū)間上的單調性相異（即一個是增函數(shù)，而另一個是減函))((xgfy?數(shù)），則復合后的函數(shù)為減函數(shù)。))((xgfy?（4）例題演練）例題演練例1、求函數(shù)的單調區(qū)間，并用單調定義給予證明奎屯王新敞新疆)32(log221???xxy解：定