第二章 極限

1、第一節(jié)數列的極限教學目的：理解數列極限的概念、計算，為研究微積分作好工具準備教學重點：數列的極限定義與計算教學難點：數列極限概念的理解教學內容：1.數列的極限極限概念是由于求某些實際問題的精確解答而產生的。例如，我國古代數學家劉徽（公元3世紀）利用圓內接正多邊形來推算圓面積的方法——割圓術，就是極限思想在幾何學上的應用。設有一圓，首先作內接正六邊形，把它的面積記為；再作內接正十二邊形，其面積1A記為；再作內接正二十四邊形，其面積記為；循

2、此下去，每次邊數加倍，一般地把2A3A內接正邊形的面積記為。這樣，就得到一系列內接正多邊形的面積：126??n??NnAn?，，，，，，??nAAAA321它們構成一列有次序的數。當越大，內接正多邊形與圓的差別就越小，從而以作為圓nnA面積的近似值也越精確。但是無論取得如何大，只要取定了，終究只是多邊形的面nnnA積，而還不是圓的面積。因此，設想無限增大（記為，讀作趨于無窮大），即內??nn接正多邊形的邊數無限增加，在這個過程中，內接正

3、多邊形無限接近于圓，同時也無限nA接近于某一確定的數值，這個確定的數值就理解為圓的面積。這個確定的數值在數學上稱為上面這列有次序的數（所謂數列）當時的極限。在圓面，，，，，，??nAAAA321??n積問題中我們看到，正是這個數列的極限才精確地表達了圓的面積。在解決實際問題中逐漸形成的這種極限方法，已成為高等數學中的一種基本方法，因此有必要作進一步的闡明。先說明數列的概念。如果按照某一法則，有第一個數，第二個數，…這樣依次序1x2x排列

4、著，使得對應著任何一個正整數有一個確定的數，那么，這列有次序的數nnx??，，，，，nxxxx321就叫做數列。數列中的每一個數叫做數列的項，第項叫做數列的一般項。例如：nnx性質1（極限的唯一性）數列不能收斂于兩個不同的極限。??nx性質2（收斂數列的有界性）如果數列收斂，那么數列一定有界。??nx??nx性質3（收斂數列與其子數列間的關系）如果數列收斂于，那么它的任一子??nxa數列也收斂，且極限也是。a小結：本節(jié)講述了函數在各種趨