極限-2

1、非客觀題非客觀題1.1函數(shù)函數(shù)例1:設…..求證21)(xxxf??))(()(2xffxf?))(()(1xffxfnn??21)(nxxxfn??解題思路解題思路:是歸納定義的因此可以用歸納法嘗試證明結論.)(xfn解:用歸納法.設21)(kxxxfk??則222221)1(1111)(1)())(()(xkxkxxkxxxfxfxffxfkkkk???????????例2:(88105)設并且求及其定義域.2)(xexf?xxf?

2、?1))((?0)(?x?)(x?解題思路解題思路:這是一個復合函數(shù)問題.可以設從題目條件分析和的關系找出)(xu??ux答案.解:令則.于是由題設得到.解這個方程)(xu???))((xf?2)(ueuf?xeu??12得到.又因所以舍去負號得到為了使得)1ln(xu????u0)(?x?)1ln(xu??開方運算有意義必須且只須使.于是.0?x)0()1ln()(???xxx?例3:已知求的表達式.2)1()(2xxfxf???)(

3、xf解題思路解題思路:題目所給條件是關于和的一個線性組合等式若令)(xf)1(xf?xu??1則得到關于和的另一個線性組合等式.由兩個等式就可以求出的表達)(xf)1(xf?)(xf式.解:令得到xu??12)1()()1(2uufuf????即2)1()()1(2xxfxf????此式與題目所給條件聯(lián)立就解出313231)(2???xxxf例4:(1)設的圖形關于直線對稱求證)()(???????xxfyax?)()2(xfxaf??

4、(2)如果的圖形關于直線和都對稱求證)()(???????xxfyax?bx?)(ba?是周期等于的周期函數(shù).)(xf)(2ab?證:(1)如果的圖形關于直線對稱則對于任意實數(shù)有)()(???????xxfyax?x注釋注釋:在用極限定義直接證明數(shù)列極限(或者函數(shù)極限)的過Aann???limAxfxx??)(lim0程中初學者經(jīng)常出現(xiàn)的問題主要有以下幾點:(1)對于待考察的表達式不作適當放大或者放大不充分使得證明過程繁瑣.例||Aan

5、?如考察下例:例3:求證0221lim2?????nnn有些讀者這樣證明:為了使0???????????221022122nnnn即?1222???nn只需使22122????nn解此不等式得到?n))12(442(212?????或者))12(442(212??????n因此如果令?N)])12(442(21[2?????(表示實數(shù)整數(shù)部分)那么只要就有][xxNn?????????221022122nnnn于是.證畢.0221lim