巧用圓系方程 簡化解題過程

1、巧用圓系方程簡化解題過程四川省眉山中學(xué)校謝維勇在解析幾何中，符合特定條件的某些圓構(gòu)成一個圓系，一個圓系所具有的共同形式的方程稱為圓系方程。常用的圓系方程有如下幾種：⑴以為圓心的同心圓系方程⑵過直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程⑶過兩圓和圓的交點(diǎn)的圓系方程此圓系方程中不包含圓，直接應(yīng)用該圓系方程，必須檢驗(yàn)圓是否滿足題意，謹(jǐn)防漏解。當(dāng)時，得到兩圓公共弦所在直線方程為了避免利用上述圓系方程時討論圓，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為過圓和兩圓公共弦所在直線交點(diǎn)的圓系方程在遇

2、到過直線與圓，圓與圓交點(diǎn)的圓有關(guān)問題時，靈活選取上述各種圓系方程，可簡化繁雜的解題過程。現(xiàn)不妨舉兩例簡要說明。例1：已知圓與直線相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的值。分析：此題最易想到設(shè)出，由得到，利用設(shè)而不求的思想，聯(lián)立方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出關(guān)于的方程，最后驗(yàn)證得解。倘若充分挖掘本題的幾何關(guān)系，不難得出在以為直徑的圓上。而剛好為直線與圓的交點(diǎn)，選取過直線與圓交點(diǎn)的圓系方程，可極大地簡化運(yùn)算過程。解：過直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程為：，

3、即………………….①依題意，在以為直徑的圓上，則圓心（）顯然在直線上，則，解之可得又滿足方程①，則故例2：求過兩圓和的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程。分析：本題若先聯(lián)立方程求交點(diǎn)，再設(shè)所求圓方程，尋求各變量關(guān)系，求半徑最值，雖然可行，但運(yùn)算量較大。自然選用過兩圓交點(diǎn)的圓系方程簡便易行。為了避免討論，先求出兩圓公共弦所在直線方程。則問題可轉(zhuǎn)化為求過兩圓公共弦及圓交點(diǎn)且面積最小的圓的問題。解：圓和的公共弦方程為，即過直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程為，即