導(dǎo)數(shù)專題一極限

1、專題一：極限專題一：極限1.1數(shù)列的極限數(shù)列的極限目標：目標：理解數(shù)列極限的概念；會計算一些簡單數(shù)列的極限。重點：重點：會計算一些簡單數(shù)列的極限難點：難點：數(shù)列極限的理解一、引入：一、引入：1.戰(zhàn)國時代哲學(xué)家莊周所著的《莊子天下篇》引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭奎屯王新敞新疆”也就是說一根長為一尺的木棒，每天截去一半，這樣的過程可以無限制地進行下去奎屯王新敞新疆（1）可以求出第天n剩余的木棒長度(尺)；（2）前天截下的木棒

2、的總長度(尺)奎屯王新敞新疆分析變化趨勢.na12n?nnb112n??2.觀察下面數(shù)列的變化趨勢??218141211n???????nxnn0211??1313212111nn???????????nnnxn11????1141312111nn??????????????nnxnn0111共同點：存在常數(shù)，當無限增大時，無限接近于。這一類數(shù)列統(tǒng)稱為“收斂數(shù)列”，則annxaa為數(shù)列的極限。不具備這一條件的數(shù)列則為發(fā)散數(shù)列。如數(shù)列，，

3、均為發(fā)散數(shù)列。????n1???n定義定義1：一般地，如果當項數(shù)無限增大時，無窮數(shù)列的項無限趨近于某個常數(shù)（即nnanaa無限趨近于），那么就說數(shù)列以為極限，或者說是數(shù)列的極限記作，naa?0naaanalimnnaa???讀作“當趨向于無窮大時，的極限等于”奎屯王新敞新疆nnaa“”表示“趨向于無窮大”有時也記作：當時，n??nlimnnaa???n??na?a理解：理解：數(shù)列的極限的直觀描述方式的定義，只是對數(shù)列變化趨勢的定性說明，

4、而不是定量化的定義.“隨著項數(shù)的無限增大，數(shù)列的項無限地趨近于某個常數(shù)”的意義有兩個方面：一方面，數(shù)列的nnaa項趨近于是在無限過程中進行的，即隨著的增大越來越接近于；另一方面，不是一般地naannaana趨近于，而是“無限”地趨近于，即隨的增大而無限地趨近于0.aanaa?n問題：問題：如何用數(shù)學(xué)的語言描述數(shù)列的收斂或發(fā)散？收斂或發(fā)散的數(shù)列有什么樣的性質(zhì)？如果數(shù)列收斂，如何求其極限？......對于收斂的數(shù)列，當充分大時，充分接近于，

5、即可以充分的小。如數(shù)列??nannaanaa?，觀察可得：；此時；即當充分大時，??111nn??????1111nnann??????1?an可以充分的小，或要使足夠的小，只要讓充分大即可。??111|111|nnann??????11nan??n如要使，顯然只要；如果要，只要；如果要求110.1nan???10?n110.01nan???100?n，只要，......110.0001nan???10000?n一般，對于任意小的正數(shù)，

6、要使，只要；記，則當時，必?11nan?????1?n]1[??NNn?有，從而有。?1?n11nan????定義定義2：，，當時，若有，則稱數(shù)列收斂，并且以為極限，0???0??NNn????axn??nxa記作：（或）。axnn???lim?????naxn注：①的任意小性，的存在性，且不是唯一的，一般越小，越大；?N???NN??N②的圖示：axnn???lim以上描述極限的方式稱為語言，是對數(shù)列極限的精確數(shù)學(xué)描述，有很高的理論價

7、值，還可以N??用來討論驗證一些極限問題。二、幾個重要極限：二、幾個重要極限：（1）；（2）（是常數(shù)）；（3）(為常數(shù))。01lim???nnCCn???limClim0nna???a1a?當時，；當或時，不存在。1a?lim1nna???1a??1a?limnna??三、典型例題：三、典型例題：例1判斷下列數(shù)列是否有極限，若有，寫出極限；若沒有，說明理由。（1）1，，，…，，…；2131n1（2），，，…，，…；2132431?nn（

8、3）－2，－2，－2，…，－2，…；（4）－0.1，0.01，－0.001，…，，…；n)1.0(?（5）－11，－1，…，，…；n)1(?1??A2??A2??AA1??A1N2Nnnx例1分別就自變量趨向于∞和－∞的情況討論函數(shù)的變化趨勢.x2xy?例2(1)討論當無限趨近于1（）時的變化趨勢:112???xxyx1?x當從左側(cè)趨近于1時，即時，211(1)1xyxxx??????x1x??2y?當從右側(cè)趨近于1時即時，x1x??2

9、y?即（左極限左極限），（右極限右極限）2111(1)21limlimxxxxx?????????2111(1)21limlimxxxxx?????????∴2111(1)21limlimxxxxx???????(2)分段函數(shù)當?shù)淖兓厔?1(0)()0(0)1(0)xxfxxxx???????????0x?①從的左邊無限趨近于，則的值無限趨近于－1.即x00()fx0lim()1xfx????②從的右邊無限趨近于，則的值無限趨近于1.

10、即x00()fx0lim()1xfx???可以看出，并且都不等于00lim()lim()xxfxfx?????(0)0f?象這種情況，就稱當時，的極限不存在極限不存在0x?()fxA組練習：組練習：1.判斷下列函數(shù)的極限：（1）（2）（3）⑷（5）（6）xx)21(lim???xx10lim???21limxx??4lim??x)cos(sin2lim22xxxx????xx1lim0?2.求下列函數(shù)在處的極限0x?（1）（2）奎屯王新

11、敞新疆xxx0lim??)(xf2200010xxxxx?????????1.3極限的四則運算極限的四則運算目標：目標：掌握數(shù)列與函數(shù)極限的四則運算法則，并會求簡單的函數(shù)的極限奎屯王新敞新疆重點：重點：運用函數(shù)極限的運算法則求極限。難點：難點：正確認識極限思想和方法是從有限中認識無限，從近似中認識精確，從量變中認識質(zhì)變的一種辯證唯物主義的思想奎屯王新敞新疆一、教學(xué)內(nèi)容：一、教學(xué)內(nèi)容：1.數(shù)列極限的運算法則數(shù)列極限的運算法則:如果那么li

12、mlimBbAannnn??????BAbannn?????)(limBAbannn?????)(limBAbannn.).(lim???)0(lim????BBAbannn特別：特別：若為常數(shù)，則Clim()limnnnnCacaCA??????AA推廣：推廣：上面法則可以推廣到有限有限多個數(shù)列的情況奎屯王新敞新疆如，若，，有極限，則??na??nb??nc奎屯王新敞新疆nnnnnnnnnncbacba?????????????lim

13、limlim)(lim2.函數(shù)極限的運算法則：函數(shù)極限的運算法則：如果，BxgAxfooxxxx????)(lim)(lim那么lim[()()]lim()lim()oooxxxxxxfxgxfxgxAB????????lim[()()]lim()lim()oooxxxxxxfxgxfxgxAB???????A奎屯王新敞新疆lim()()lim(0)()lim()oooxxxxxxfxfxABgxgxB??????也就是說，如果兩個函數(shù)

14、都有極限，那么這兩個函數(shù)的和、差、積、商組成的函數(shù)極限，分別等于這兩個函數(shù)的極限的和、差、積、商（作為除數(shù)的函數(shù)的極限不能為0）.說明：說明：當是常數(shù)，是正整數(shù)時:Cn)(lim)]([limxfCxCfooxxxx???nxxnxxxfxfoo)](lim[)]([lim???這些法則對于的情況仍然適用.??x00lim()kkxxxxkN???1lim0()kxkNx????二、典型例題：二、典型例題：例1.求下列極限（1）（2）)

15、3(lim22xxx??112lim231????xxxx解：（1）22222lim(3)limlim34610xxxxxxx?????????（2）32323211111111lim(21)lim2limlim1212lim11lim(1)limlim12xxxxxxxxxxxxxxxxx?????????????????????求某些函數(shù)在某一點處的極限值時，只要把代入函數(shù)的解析式中，就得到極限值。這種方0xx?0xx?法叫代入法代