初二.整數(shù)的整除性

1、73[文件]sxjsck0015.doc[科目]數(shù)學(xué)[關(guān)鍵詞]初二整數(shù)[標(biāo)題]整數(shù)的整除性[內(nèi)容]整數(shù)的整除性整數(shù)的整除性1整數(shù)的整除性的有關(guān)概念、性質(zhì)（1）整除的定義：對(duì)于兩個(gè)整數(shù)a、d（d≠0），若存在一個(gè)整數(shù)p，使得成立，則稱(chēng)d整除a，或a被d整除，記作d|a。pda??若d不能整除a，則記作da，如2|6，46。（2）性質(zhì)1）若b|a，則b|(a)，且對(duì)任意的非零整數(shù)m有bm|am2）若a|b，b|a，則|a|=|b|3）若b|

2、a，c|b，則c|a4）若b|ac，而（a，b）=1（（a，b）=1表示a、b互質(zhì)，則b|c；5）若b|ac，而b為質(zhì)數(shù)，則b|a，或b|c；6）若c|a，c|b，則c|（manb），其中m、n為任意整數(shù)（這一性質(zhì)還可以推廣到更多項(xiàng)的和）例1（1987年北京初二數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）x，y，z均為整數(shù)，若11｜（7x2y5z），求證：11｜（3x7y12z）。證明∵4(3x7y12z)3(7x2y5z)=11(3x2y3z)而11｜11(3x2y

3、3z)且11｜(7x2y5z)∴11｜4(3x7y12z)又(114)=1∴11｜(3x7y12z).2.整除性問(wèn)題的證明方法(1)利用數(shù)的整除性特征（見(jiàn)第二講）例2（1980年加拿大競(jìng)賽題）設(shè)72｜的值。baba679試求解72=89，且（8，9）=1，所以只需討論8、9都整除的值。baba679時(shí)若8｜，則8｜，由除法可得ｂ＝２。ba679b79若9｜，則9｜（a6792），得a=3。ba679（2）利用連續(xù)整數(shù)之積的性質(zhì)①任意兩個(gè)

4、連續(xù)整數(shù)之積必定是一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)之一積，因此一定可被2整除。②任意三個(gè)連續(xù)整數(shù)之中至少有一個(gè)偶數(shù)且至少有一個(gè)是3的倍數(shù)，所以它們之積一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被23=6整除。這個(gè)性質(zhì)可以推廣到任意個(gè)整數(shù)連續(xù)之積。例3（1956年北京競(jìng)賽題）證明：對(duì)任何整數(shù)n都為整數(shù)，且用3除1212323???nnn75例6(1985年合肥初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)設(shè)有n個(gè)實(shí)數(shù)x1x2…，xn，其中每一個(gè)不是1就是1，且.0.113221??

5、????xxxxxxxxnnn?試證n是4的倍數(shù).證明設(shè)(i=12…，n1)，1??iiixxy1xxynn?則yi不是1就是1，但y1y2…yn=0，故其中1與1的個(gè)數(shù)相同，設(shè)為k，于是n=2k.又y1y2y3…yn=1，即（1）k=1，故k為偶數(shù)，∴n是4的倍數(shù).其他方法：整數(shù)a整除整數(shù)b，即b含有因子a.這樣要證明a整除b采用各種公式和變形手段從b中分解出因子a就成了一條極自然的思路.例7(美國(guó)第4屆數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題)使n3100能被

6、n10整除的正整數(shù)n的最大值是多少解n3100=(n10)(n210n100)900.若n100能被n10整除則900也能被n10整除.而且當(dāng)n10的值為最大時(shí)相應(yīng)地n的值為最大.因?yàn)?00的最大因子是900.所以n10=900n=890.例8(上海1989年高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽)設(shè)a、b、c為滿足不等式1＜a＜b＜c的整數(shù)，且（ab1）（bc1）（ca1）能被abc整除，求所有可能數(shù)組（a，b，c）.解∵（ab1）（bc1）（ca1）=a2b

7、2c2abc（abc）abacbc1，①∵abc|（ab1）（bc1）（ca1）.∴存在正整數(shù)k使abacbc1=kabc②k=＜＜＜＜cba111??abc1cba111??a323∴k=1.若a≥3，此時(shí)1=＜矛盾.cba111??abc16047514131???已知a＞1.∴只有a=2.當(dāng)a=2時(shí)，代入②中得2b2c1=bc，即1=＜bccb122??.422bbb??∴0＜b＜4，知b=3，從而易得c=5.說(shuō)明：在此例中通過(guò)對(duì)