初一競賽講座05（代數(shù)式初步）

1、初一數(shù)學競賽系列講座(5)代數(shù)式初步一、一、知識要點1、代數(shù)式定義1用基本運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子叫做代數(shù)式。2、代數(shù)式的值定義2用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計算后所得的結(jié)果叫做代數(shù)式的值。3、列代數(shù)式列代數(shù)式的關(guān)鍵是正確地分析數(shù)量關(guān)系，要掌握和、差、積、商、冪、倍、分、大、小、多、少、增加、增加到等數(shù)學概念和有關(guān)知識。列代數(shù)式實質(zhì)上是把“文字語言”翻譯成“符號語言”。4、求代數(shù)式的值代數(shù)式的

2、值由它所含字母的取值決定，并隨字母取值的改變而改變，字母取不同的值，代數(shù)式的值可能同也可能不同。代數(shù)式中所含字母取值時，不能使代數(shù)式無意義。求代數(shù)式的值的一般步驟是(1)代入，(2)計算。二、二、例題精講例1、輪船在靜水中的速度是每小時a千米，水流速度為每小時b千米(ba)，甲乙兩碼頭間相距S千米，則輪船在甲乙兩碼頭間往返一趟的平均速度為每小時千米。分析：輪船在甲乙兩碼頭間往返一趟的平均速度應為往返一趟的總路程除以總時間。解因為輪船在靜

3、水中的速度是每小時a千米，水流速度為每小時b千米(ba)則輪船的順流速度為(ab)千米，逆流速度為(ab)千米，所以順流所用時間是ba?S逆流所用時間是ba?S，輪船在甲乙兩碼頭間往返一趟的平均速度為往返路程的和除以往返所用時間的和，即ababaSbaS222S?????評注：順流速度=靜水中的速度水流速度；逆流速度=靜水中的速度水流速度。例2一支部隊排成a米長隊行軍，在隊尾的戰(zhàn)士要與最前面的團長聯(lián)系，他用t1分鐘追上了團長。為了回到隊

4、尾，他在追上團長的地方等待了t2分鐘。如果他從最前頭跑步回到隊尾，那么要()分鐘。A、2121tttt?B、21212tttt?C、21212tttt?D、21212tttt?分析：這是行程問題中的相遇問題。當x=7時，8225??xbxa=21(a?75b?7)8=21?168=16評注：本題采用的是“整體處理思想”，整體處理是一種常用的數(shù)學思想。例6若ab=1，求11???bbaa的值分析此題的解法很多，關(guān)鍵是如何充分利用好ab=1

5、，如由ab=1得出ba1?，然后直接代入計算；如利用ab=1巧秒地將式子中的“1”代換成ab；如在式子的一個分式的分子、分母上乘以a或b，然后化成同分母進行計算。解法1由ab=1得ba1?，從而11???bbaa=1111111111???????????bbbbbbbbb解法2∵ab=1，∴11???bbaa=11111????????bbbbbabaa解法3∵ab=1，∴11???bbaa=11111????????bbbbbbab

6、ab評注：本題中的解法2與解法3巧秒地應用了“1”的代換，“1”的代換是恒等變形中的常用技巧之一。例7若a、b、c全不為零，且1111????cbba求證：11??ac(1978丹東市數(shù)學競賽試題)分析本題是由兩個已知等式來證明一個等式，容易發(fā)現(xiàn)，所求證等式中沒有b，因而可設法從兩已知等式中消去b。證明：由abba????1111得，由cbcb1111????得兩式相乘得???????????ca1111整理得caca??1去分母得ac