二項分布和超幾何分布的數(shù)學(xué)期望

1、二項分布的數(shù)學(xué)期望X～b(np)，其中n≥10p1.PX=k=C(nk)p^k(1p)^(nk)k=01...n.EX=npDX=np(1p).證明方法(一)：將X分解成n個相互獨立的，都服從以p為參數(shù)的(01)分布的隨機變量之和：X=X1X2...XnXi～b(1p)，i=12...n.PXi=0=1pP(Xi=1)=p.EXi=0(1p)1p=pE(Xi^2)=0^2(1p)1^2p=pDXi=E(Xi^2)(EXi)^2=pp^2

2、=p(1p).EX=EX1EX2...EXn=npDX=DX1DX2...DXn=np(1p).證明方法(二)：EX=∑kb(knp)=∑kC(kn)p^kq^(nk)=np∑C(k1n1)p^(k1)q^(n1k1)=np∑C(kn1)p^kq^(n1k)=np∑b(kn1p)=npDX=npq可用公式DX=EX^2(EX)^2求出EX^2=∑k^2b(knp)=∑[k(k1)k]b(knp)=∑k(k1)b(knp)∑kb(knp)

3、=n(n1)p^2∑b(kn2p)np=n(n1)p^2np=n^2p^2npq=n^2p^2npq所以DX=EX^2(EX)^2=n^2p^2npqn^2p^2=npq二項分布和超幾何分布的數(shù)學(xué)期望當(dāng)X～B(n，p)時，E(X)=rCpkqn?k?npCpk?1qn?k?nr?1rn?nr?1r?1n?1?np(p?q)n?1?np為求超幾何分布的數(shù)學(xué)期望，我們先建立數(shù)學(xué)期望的基本性質(zhì)：性質(zhì)1若a≤X≤b，則a≤E(X)≤b特別地，E

4、(c)?c，這里的a，b，c是常數(shù)；性質(zhì)2線性性：對任意常數(shù)ci，i?12…n，及b，有E(ciXi?b)?ciE(Xi)?b?ni=1?ni=1下面計算超幾何分布X～H(n，M，N)的數(shù)學(xué)期望設(shè)想一個相應(yīng)的不放回抽樣，令Xi?1，第i次抽得廢品；0，第i次抽得好品，)則P(Xi?1)?，因此E(Xi)?，而X?X1?X2?…?Xn表示n次抽樣中抽出的MNMN廢品數(shù)，它服從超幾何分布，利用性質(zhì)2，得到E(X)=E(X1)?…?E(Xn)