《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》第3章 §3.1 子空間

1、第3章子空間（有限）子空間（有限）積空間，商空間積空間，商空間在這一章中我們介紹通過(guò)已知的拓?fù)淇臻g構(gòu)造新的拓?fù)淇臻g的三種慣用的辦法為了避免過(guò)早涉及某些邏輯上的難點(diǎn)，在3.2中我們只討論有限個(gè)拓?fù)淇臻g的積空間，而將一般情形的研究留待以后去作3.13.1子空間子空間本節(jié)重點(diǎn)：掌握度量子空間、拓?fù)淇臻g子空間的概念，子空間的拓?fù)渑c大空間拓?fù)渲g的關(guān)系以及子空間的閉集、鄰域、基、導(dǎo)集、閉包與大空間相應(yīng)子集之間的關(guān)系及表示法討論拓?fù)淇臻g的子空間目的

2、在于對(duì)于拓?fù)淇臻g中的一個(gè)給定的子集，按某種“自然的方式”賦予它一個(gè)拓?fù)涫怪蔀橐粋€(gè)拓?fù)淇臻g，以便將它作為一個(gè)獨(dú)立的對(duì)象進(jìn)行考察所謂“自然的方式”應(yīng)當(dāng)是什么樣的方式？為回答這個(gè)問(wèn)題，我們還是先從度量空間做起，以便得到必要的啟發(fā)考慮一個(gè)度量空間和它的一個(gè)子集欲將這個(gè)子集看作一個(gè)度量空間，必須要為它的每一對(duì)點(diǎn)規(guī)定距離由于這個(gè)子集中的每一對(duì)點(diǎn)也是度量空間中的一對(duì)點(diǎn)，因而把它們作為子集中的點(diǎn)的距離就規(guī)定為它們作為度量空間中的點(diǎn)的距離當(dāng)然是十分自然

3、的我們把上述想法歸納成定義：定義3.1.1設(shè)（X，ρ）是一個(gè)度量空間，Y是X的一個(gè)子集.因此，YYXX顯然：YY→R是Y的一個(gè)度量（請(qǐng)自行驗(yàn)證）我們稱(chēng)Y的度量，是由X的度量ρ誘導(dǎo)出來(lái)的度量.度量空間（Y，ρ）稱(chēng)為度量空間（X，ρ）的一個(gè)度量子空間我們常說(shuō)度量空間Y是度量空間X的一個(gè)度量子空間，意思就是指Y是X的一個(gè)子集，并且Y的度量是由X的度量誘導(dǎo)出來(lái)的我們還常將一個(gè)度量空間的任何一個(gè)子集自動(dòng)地認(rèn)作一個(gè)度量子空間而不另行說(shuō)明例如我們經(jīng)常

4、討論的：實(shí)數(shù)空間R中的各種區(qū)間（a，b），[a，b]，（a，b]等；n＋1維歐氏空間中的n維單位球面:n維單位開(kāi)、閉球體:證明我們驗(yàn)證滿(mǎn)足拓?fù)涠x中的三個(gè)條件：（1）由于X∈T和Y=X∩Y，所以Y∈；由于∈T=∩Y所以∈（2）如果A，B∈，即于是（3）如果是集族的一個(gè)子集族，即對(duì)于每一個(gè)A∈，定義3.1.3設(shè)Y是拓?fù)淇臻g（X，T）的一個(gè)子集Y的拓?fù)浞Q(chēng)為（相對(duì)于X的拓?fù)銽而言的）相對(duì)拓?fù)?；拓?fù)淇臻g（Y，，）稱(chēng)為拓?fù)淇臻g的一個(gè)（拓?fù)洌┳涌臻g

5、我們常說(shuō)拓?fù)淇臻gY是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子空間，意思就是指Y是X的一個(gè)子集，并且Y的拓?fù)渚褪菍?duì)于X的拓?fù)涠缘南鄬?duì)拓?fù)浯送猓覀円渤⑼負(fù)淇臻g的子集認(rèn)為是一個(gè)子空間而不另行說(shuō)明假設(shè)Y是度量空間X的一個(gè)子空間現(xiàn)在有兩個(gè)途徑得到Y(jié)的拓?fù)洌阂皇峭ㄟ^(guò)X的度量誘導(dǎo)出Y的度量，然后考慮Y的這個(gè)度量誘導(dǎo)出來(lái)的拓?fù)?；另一是先將X考慮成一個(gè)拓?fù)淇臻g，然后考慮Y的拓?fù)錇閄的拓?fù)湓赮上引出來(lái)的相對(duì)拓?fù)涫聦?shí)上定理3.1.1已經(jīng)指出經(jīng)由這兩種途徑得到的Y的兩個(gè)拓?fù)涫?/p>

6、一樣的下面把這層意思重新敘述一遍定理定理3.1.33.1.3設(shè)Y是度量空間是度量空間X的一個(gè)度量子空間則的一個(gè)度量子空間則X與Y都考慮作為拓?fù)淇臻g都考慮作為拓?fù)淇臻g時(shí)Y是X的一個(gè)（拓?fù)洌┳涌臻g的一個(gè)（拓?fù)洌┳涌臻g定理定理3.1.43.1.4設(shè)X，Y，Z都是拓?fù)淇臻g如果都是拓?fù)淇臻g如果Y是X的一個(gè)子空間，的一個(gè)子空間，Z是Y的一個(gè)的一個(gè)子空間，則子空間，則Z是X的一個(gè)子空間的一個(gè)子空間證明當(dāng)Y是X的一個(gè)子空間，Z是Y的一個(gè)子空間時(shí)，我們有