jordan標(biāo)準(zhǔn)形及其過渡矩陣的求法(姜天宇)

1、1簡述標(biāo)準(zhǔn)形及其過渡矩陣的求法Jdan摘要本文較系統(tǒng)的總結(jié)了標(biāo)準(zhǔn)形及其過渡矩陣的通用的求法。Jdan關(guān)鍵字：關(guān)鍵字：標(biāo)準(zhǔn)形，特征向量，過渡矩陣JdanAbstractInthispaperthewaysofsolvethejdancanonicalmatrixsimilaritytransfmationofamatrixtoitsjdancanonicalmatrixissummarizedgenerally.Keywds：jdanca

2、nonicalmatrixeigenvectsimilaritytransfmationmatrix引言引言定理定理：設(shè)是數(shù)域上維線性空間的一個(gè)線性變換，為其特征多項(xiàng)式，若1APnV()f?則在中存在一組基，使得在該組基下的矩陣為()0fP????V1n???A陣；在不考慮塊排列次序的前提下，該陣是由唯一確定的，稱其為JdanJdanA的標(biāo)準(zhǔn)形。AJdan定理是線性代數(shù)中最重要的結(jié)論，有多種證明方法，總的來說，可分為兩大方向：1一是借助

3、矩陣；二是從線性空間本身出發(fā)對其進(jìn)行恰當(dāng)?shù)闹焙头纸?，通過研究其相應(yīng)??子空間的性質(zhì)最終完成證明。在完成上述證明后，自然要求出標(biāo)準(zhǔn)形的具體形式，并進(jìn)一步確定過渡矩陣，Jdan在現(xiàn)行通用的高等代數(shù)教材中，大多數(shù)均未給出一個(gè)完滿的解決方案。本文的寫作目的是希望有興趣的同學(xué)通過閱讀本文，對標(biāo)準(zhǔn)形理論系統(tǒng)有更Jdan3這些一次因式方冪（相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算）稱為的初等因子。()A?下面給出一個(gè)定理。定理定理：為數(shù)域上級矩陣，分別為的特征矩陣。以

4、下命題2ABPn()()AB??AB等價(jià)：相似(1)AB等價(jià)(2)()()AB??有相同的行列式因子(3)()()AB??有相同的不變因子(4)()()AB??有相同的初等因子(5)()()AB??我們簡稱矩陣的特征矩陣的三個(gè)因子（行列式因子、不變因子、初等因子）AEA??為的三個(gè)因子。從定理可以看出，三個(gè)因子都是矩陣的相似不變量，因此，我們可以A2將一個(gè)線性變換的任一矩陣的因子定義為的因子。AA從以上論述我們可以得到一個(gè)尋找相似矩陣最

5、簡形的方向：對于矩陣，我們想辦法A找到一個(gè)形式比較簡單的矩陣，使得和有相同的因子（考慮計(jì)算方便的因素，我們BBA選取初等因子），那么，相似。AB先給出求矩陣的初等因子的方法：通過初等變換，將化為對角形式，將主AEA??對角線上的元素分解為互不相同的一次因式方冪的乘積，這些一次因式的方冪就是的全A部初等因子。形矩陣的具體形式為：Jdan，其中12SJJJJ??????????????101(12)01iiiiiikkJis????????

6、???????????????????可以求得矩陣的全部初等因子是：Jdan1212()()().skkks??????????這樣，對于任意階矩陣求出其初等因子，就可以寫出相應(yīng)的具有相同初等因子nA（因此也是相似的）的形矩陣，在不考慮塊排列次序的前提下，寫出的JdanJdan矩陣是唯一確定的。這樣就證明了定理。Jdan1至此，通過矩陣這個(gè)橋梁，已經(jīng)完整的解決了怎樣求一個(gè)矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形??Jdan的問題?？梢钥吹剑P(guān)鍵是找到了相似不變量—