第三章-矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形與若干分解形式-1

1、第三章第三章矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形與若干分解形式矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形與若干分解形式1矩陣的相似對角形矩陣的相似對角形一、知識回顧1線性變換在兩組基下的矩陣相似，相似變換矩陣是兩組基下的過渡矩陣。2特征值與特征向量，特征子空間及其維數(shù)，特征值的代數(shù)重數(shù)與幾何重數(shù)。?V3矩陣與對角形相似的充要條件：有n個線性無關(guān)的特征向量。4矩陣與對角形相似的充分條件：有n個不同的特征值。若為階矩陣，矩陣An???????????????????????nnnnnnaaaa

2、aaaaaAE??????????212222111211稱為的特征矩陣。又多項式AnininnaaaAEf?????????????????11||)(稱為的特征多項式，這里，，是的所有階主AAaaniii??????11tr||)1(Aann??iaAi子式的和與的乘積。叫的跡。i)1(?AtrA屬于矩陣的同一個特征值的所有特征向量連同零向量一起，構(gòu)成一個線性空間A0?，稱為的特征子空間。特征子空間的維數(shù)不超過特征根的重數(shù)。0?VA

3、0?V0?二、尋找矩陣的相似對角形的方法例31研究下列矩陣是否能與對角形相似(1)，(2)，(3)。??????????????121101365A???????????122212221A???????????????284014013A提示：(1)；31312321????????；??????????????????????????????????????32133213011321xxx式。三個多項式的最大公因式可定義為)()(

4、)(???hgf))()()((???hgf))())()(((???hgf1行列式因子設(shè)，是的特征矩陣，記為。nnijCaA???)(AE??A)(?A定義定義3－2中所有非零的階子式的首項（最高次項）系數(shù)為1的最大公因式)(?Ak稱為的一個階行列式因子（）。)(?kD)(?Aknk21??，并且（）。||)(AEDn????)(|)(1??kkDD?nk32??例3－3求下列矩陣的特征矩陣的行列式因子：（1）；（2）????????

5、????211A?????????????aaA11???2不變因子，初等因子定義定義3－3下列個多項式n，，，…，)()(11??Dd?)()()(122???DDd?)()()(233???DDd?)()()(1?????nnnDDd稱為的不變因子。把每個次數(shù)大于零的不變因子分解為互不相同的一次因式的方冪的)(?A乘積，所有這些一次因式的方冪（相同的必須按出現(xiàn)次數(shù)計算），稱為的初等因子。)(?A由于這里的完全由決定，所以這里的不變因