畢業(yè)論文（設(shè)計）jordan標準形及其應(yīng)用

1、<p><b>　　巢湖學院</b></p><p>　　本科畢業(yè)論文（設(shè)計）</p><p>　　Jordan標準形及其應(yīng)用</p><p>　　The Standard Jordan and Its Application</p><p>　　院（系） 數(shù)學系 </

2、p><p>　　專 業(yè) 數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學 </p><p>　　學生姓名 </p><p>　　學 號 </p><p>　　指導教師 職稱

3、 </p><p>　　論文字數(shù) 6987 </p><p>　　完成日期: 2013 年 月 日</p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　矩陣的若爾當標準形是線性代數(shù)的一個重要組成部分，因為不是每一個線性變換都有一組基使得

4、它在這組基下的矩陣成為對角形，這個時候為了探索在選擇適當?shù)幕那闆r下，一般的線性變換能化簡成什么形狀,我們引入了標準形。因為矩陣的標準形具有結(jié)構(gòu)簡單、易于計算等優(yōu)點，在解決矩陣問題中起著很重要的作用，尤其關(guān)于化矩陣為若爾當標準形的理論及方法，已經(jīng)列為線性微分方程組理論的必不可少的基礎(chǔ)知識，例如利用若爾當標準形證明方陣的特征根的性質(zhì)，在計算矩陣多項式中的應(yīng)用，在計算行列式中的應(yīng)用,在求解線性微分方程組的應(yīng)用，現(xiàn)在我們著重討論的是標準形的理

5、論和應(yīng)用。</p><p>　　關(guān)鍵詞：若爾當標準形；特征根；矩陣多項式；行列式</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Jordan canonical form of matrix is an important part of linear algebra. It’s due to that not al

6、l linear transformation has a set of base which could make it in this group under the matrix become diagonal shape. In order to explore the linear transformation generally can be simplified into which kind of shape in th

7、e case of selecting the appropriate base, we introduced Jordan standard form. Since the canonical form of a matrix has the advantages of simple structure, easy to calculate and others, </p><p>　　Keywords: Jo

8、rdan normal form, characteristic roots, matrix polynomial, determinant</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　中文摘要I</b></p><p><b>　　英文摘要II</b></p

9、><p><b>　　引言1</b></p><p>　　1. Jordan矩陣相關(guān)的定義定理1</p><p>　　1.1 Jordan矩陣相關(guān)的定義1</p><p>　　1.2 Jordan標準形相關(guān)的定理3</p><p>　　2. 矩陣的Jordan標準形及相似變換矩陣的解法7&l

10、t;/p><p>　　2.1 Jordan標準形的計算9</p><p>　　2.2相似變換矩陣的解法10</p><p>　　3. Jordan標準形的應(yīng)用12</p><p>　　3.1利用若爾當標準形證明方陣的特征根的性質(zhì)12</p><p>　　3.2 在計算矩陣多項式中的應(yīng)用14</p>

11、<p>　　3.3 在計算行列式中的應(yīng)用16</p><p>　　3.4 在求解線性微分方程組的應(yīng)用17</p><p><b>　　結(jié)束語19</b></p><p><b>　　參考文獻20</b></p><p><b>　　引 言</b></p

12、><p>　　對于學過高代的我們都知道，在矩陣對角化中對于屬于不同特征值的特征向量不可能是線性相關(guān)的，即使把它們組合在一起也無濟于事。此外，如果它們的個數(shù)恰好和空間的維數(shù)相同，那么可以通過一組合適的基將此線性變換化為對角形；反之，不管通過哪組基，這個矩陣都不能變換為對角形。換而言之，若為維線性空間中的一個線性變換，那么的矩陣可以變換為對角形的充要條件是有且只有個線性無關(guān)的特征向量。然而，對于每一個線性變換，符合我們上

13、面講的“合適的基”不可能都只有一組，但是考慮到矩陣對角化的簡明方便，我們還是希望在選擇適當?shù)幕那闆r下，一般的線性變換盡可能的對角化從而簡化成某種形式，這個時候我們就要引入標準形。接下來我們將要討論說明的就是標準形的定義、定理、求法以及標準形的一些簡要應(yīng)用。</p><p>　　1. Jordan矩陣相關(guān)的定義定理</p><p>　　1.1 Jordan矩陣相關(guān)的定義</p>

14、<p>　　首先我們來介紹一下一個最基本的概念，“什么是矩陣”：</p><p>　　定義1 .1.1[1] 由個數(shù)排列而成的行列的形如 的稱為一個矩陣。</p><p>　　有了矩陣的定義做基礎(chǔ)，我們給出矩陣的定義。</p><p>　　定義1.1.2[1] 形式為的矩陣稱為</p><p>　　塊，矩陣中的指復數(shù).若一

15、個準對角矩陣上的元素都是若爾當塊，那么這個矩陣就稱為若爾當形矩陣，它的一般形式為</p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中,并且中有一些可以相等.例如，，這些矩陣都是塊,而像這樣的矩陣就是一個形矩陣。</p><p>　　顧名思義，一級矩陣實質(zhì)上指的就是一級塊，即Jordan矩陣中涵蓋了對角形矩陣。為什么會這樣呢？顯而易

16、見，矩陣是一個下三角形矩陣，所以很容易能夠得出其特征多項式的全部的根（重根按重數(shù)算），即為其主對角線上的元素。接下來我們來看下一個很重要的概念：</p><p>　　定義1.1.3 [2] 在數(shù)域上線性空間中存在一個線性變換，如果中有一數(shù)，能夠存在一個非零向量，并且有</p><p><b>　　=.</b></p><p>　　那么此時稱為

17、的一個特征值，而稱為的屬于特征值的一個特征向量。并且只有特征值能夠決定它的特征向量，這是由于不管一個特征值有多少特征向量，一個特征向量只能從屬于一個特征值。</p><p>　　1.2 Jordan標準形相關(guān)的定理</p><p>　　定理1.2.1 [3] 如果兩個-矩陣有相同的不變因子（或行列式因子），那么這兩個矩陣等價，這也是其充要條件。</p><p>　　

18、定理1.2.2 [2] 若當定理</p><p>　?。?）設(shè)，即有可逆陣T，使</p><p><b>　　=,其中=， </b></p><p>　　設(shè)，，若，…，為A的全部特征值，則的全部特征值為，…，，即 = 。</p><p>　　定理1.2.3 [4]矩陣與相似的充要條件是它們有相同的不變因子。</p

19、><p>　　引理 若維線性空間上線性變換滿足，是某一個正整數(shù)，我們就稱為上的冪零線性變換.那么此時對于,線性空間中肯定有如下形式的一組元素作為基 </p><p><b>　　，</b></p><p>　　于是在這組基下的矩陣為</p><p><b>　?。?）</b></p>

20、<p>　　證明 對維數(shù)作歸納法。當=1，有基，并且可以得到=. 那么就可以得到=0.所以就是要求的基。</p><p>　　此時我們假設(shè)此引理在維數(shù)小于的時候仍然成立。接下來我們對滿足條件的維線性空間來考察的不變子空間.如果的維數(shù)仍然是，那么=，從而可以得到，進一步得到=0，矛盾！</p><p>　　故的維數(shù)小于.此時將看成是上的線性變換，那么仍然有=0.通過上述歸納

21、假設(shè)可知，上有一組基</p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中均為正整數(shù).由于都屬于，則有使得.那么可以排除下列向量集合</p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中最后一行中的向量是的部分向量，所以是線性無關(guān)的，即可證得歸納法正確。</p>

22、<p>　　定理1.2.4 [5] 若復數(shù)域上的線性空間中有一線性變換，那么中必然存在一組基，并且在這組基下的矩陣是若爾當形矩陣，并稱其為的若爾當標準形。</p><p>　　證明 設(shè)的特征多項式是，其中，，，是的全部不同的根?，F(xiàn)在我們將分解為=，即的不變子空間的直和。</p><p>　　其中=V，如果能夠證明每個上存在一組基，并且能通過這組基轉(zhuǎn)化為若爾當形矩陣，那么定理

23、即可得到證明。由引理的證明接下來</p><p>　　我們證明定理1.2.4。在上有，作=（）則可以得到。通過引理，我們知道在的基下轉(zhuǎn)化為形如(1)的若爾當形。于=+，顯然（1）中矩陣與相加所得到的和就是在該組基下的矩陣，也就是</p><p>　　我們可以看出，它也是一個矩陣。如果把所有的基組合起來就可以得到的基,并且在這基下的矩陣依舊是若爾當形矩陣。</p><p&

24、gt;　　此時上述結(jié)果如果用矩陣表示就為：</p><p>　　定理 1.2.5 [1] 每個級復矩陣都相似于一個若爾當形矩陣，并且這個若爾當形矩陣除去其中若爾當塊的排列次序外是被矩陣確定的，而且是唯一確定的，此時稱其為的若爾當標準形.</p><p>　　證明 我們現(xiàn)在設(shè)級矩陣的初等因子</p><p><b>　　?（1）</b><

25、;/p><p>　　由一一對應(yīng)的思想，我們讓每個初等因子都對應(yīng)于一個形如</p><p><b>　　的若爾當塊。</b></p><p>　　我們讓這些若爾當塊構(gòu)成一個若爾當形矩陣根據(jù)上面記算，的初等因子也是（1）.因為與有相同的初等因子，所以它們相似.</p><p>　　如果存在的另一相似矩陣，且其為一若爾當形矩陣，那

26、么由定理可知它們擁有相同的初等因子，所以我們可以知道與除了其中若爾當塊排列的次序以外是相同的，由此就可以得唯一性.</p><p>　　在這應(yīng)當說明的是，因為矩陣涵蓋了對角矩陣，換而言之對角矩陣是其特殊情形，具體地說即由一級塊構(gòu)成的形矩陣，這樣我們順其自然的就可以得到以下定理:</p><p>　　定理 1.2.6 [1]復數(shù)矩陣與對角矩陣相似的充要條件是，的不變因子都沒有重根。</

27、p><p>　　2. 矩陣的Jordan標準形及相似變換矩陣的解法</p><p>　　在上面的討論和引述中，我們雖然了解了一些關(guān)于矩陣的定義及其一些重要的定理,但是為了能讓若爾當標準形在矩陣方程論、矩陣函數(shù)論、以及常微分方程中有更多的應(yīng)用，我們有必要討論一下矩陣的標準形的解題過程和其相似矩陣的求解步驟。在標準形相關(guān)問題的求解中，我們對初等因子的知識加以利用，為此我們給出 ：</p>

28、;<p>　　引理 [6] 用初等變換化特征矩陣為對角形式，然后將主對角線上的元素分解成互不相同的一次因式方冪的乘積，則所有這些一次因式的方冪（相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計算）就是的全部的初等因子。</p><p>　　現(xiàn)在我們給出引理的證明過程：</p><p>　　證明 為了解題需要我們不妨假設(shè)已化為對角形</p><p><b>　　，&l

29、t;/b></p><p>　　這之中的的最高項的系數(shù)都是1.我們可以把分解成如下形式，即=，其中.我們要證的就是對于其中相同的一次因式的冪在的主對角線上面按照一定次序排列后，得到一個新的對角形矩陣，并且它與等價.</p><p>　　那么這個時候就是的標準形并且一切不等于1的就是A的全部的初等因子.</p><p>　　此時由于證明的需要，首先討論.<

30、/p><p><b>　　令 ，于是可以得到</b></p><p>　　對于其中的每一個都與是互素的，而且對于每一對相鄰的指數(shù)，那么在中我們將的位置互換，并且其余的因式保持不動.因為和等價.很顯然我們能夠得到與對角矩陣</p><p><b>　　等價。</b></p><p>　　接著對進行和上面一

31、樣的討論.這樣一直進行下去，直到對角矩陣上面主對角線上面的元素包含的冪是按照逐級上升的次冪排列時為止，然后對進行同樣的處理，最后我們就可以得到與是等價的一個對角形矩陣，而且它的主對角線上面包含的任意相同的一次因式的冪都是升冪排列的。</p><p>　　2.1 Jordan標準形的計算方法步驟</p><p>　　為了敘述方便，我們先給出標準形的一般求解步驟：</p><

32、;p>　　用矩陣的初等變換把化為對角形式，得到的全部初等因子。由上面我們證明的引理若爾當形矩陣的初等因子也就很容易算出。 那么我們就給出以下步驟</p><p>　　2 .對于每個初等因子作出一個n級的塊.. </p><p>　　3 .把所有的塊寫成對角矩陣，即為的標準形。[7][8]</p><p>　　下面我們給出實例具體講解一下：</p>

33、<p>　　例2.1.1求矩陣的若爾當標準形。</p><p>　　解 ：根據(jù)以上我們給出的方法我們首先求的初等因子：即=</p><p>　　很明顯的初等因子是，，所以的標準形就是.</p><p>　　2.2 相似變換矩陣的求法</p><p>　　由定理可知對任意矩陣都能求出一個n級可逆矩陣可以滿足,其中為塊。</p

34、><p>　　變換矩陣的求解步驟為：</p><p>　　1.令=其中，則及分塊矩陣的乘法可以得到即，i=1,2,...,t.</p><p><b>　　2.求,記則，可得</b></p><p>　　其中是矩陣對應(yīng)于特征值的特征向量，并可根據(jù)依次求出且它們線性無關(guān)。[9][10]</p><p>

35、　　3.依次求出則變換矩陣</p><p>　　例2.2.1 現(xiàn)有矩陣，試求其標準形和變換。</p><p><b>　　解：=</b></p><p>　　的特征矩陣的初等因子是，所以的標準形是</p><p><b>　　,</b></p><p>　　于是有可逆矩陣使得

36、.令,則可以得到</p><p>　?。ǎ?(,,)=(-,--).</p><p>　　比較上式兩邊，可以得到</p><p><b>　　,</b></p><p>　　那么可以得到是的對應(yīng)于特征值-1的兩個線性無關(guān)的特征向量，從方程組=0可以得到兩個線性無關(guān)的特征向量是，，</p><p>

37、　　選取=,而的選取應(yīng)該能夠保證非齊次線性方程有解，又由于的線性組合依舊是=0的解，因此我們選取其中的待定的常數(shù)，只要能滿足線性無關(guān)，且能夠使得有解即可。因為=（-2，）所以選使得方程組</p><p><b>　　有解。</b></p><p>　　那么就可以求出當時，該方程組存在解；并且它的解為</p><p><b>　　=0.

38、 </b></p><p>　　其中為任意非零常數(shù)。取得=2，那么=-3，于是可以得到</p><p><b>　　.</b></p><p>　　顯然，它們是線性無關(guān)的。從而</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即有&

39、lt;/b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　3.Jordan標準形的應(yīng)用</p><p>　　前面我們討論了標準形的定理定義和其相似變換問題的一些解題方法，現(xiàn)在我們討論標準形在其他具體問題中的應(yīng)用。</p><p>　　3.1[7]利用若爾當標準形證明方陣的特征根的性質(zhì)</p&g

40、t;<p>　　首先我們研究下若爾當標準形在證明方陣的特征根中的應(yīng)用，給出如下</p><p>　　定理 若m階方陣的特征根是則的特征根是</p><p>　　證明：設(shè)的若爾當標準形為,其中且=即與相似，但是即J的特征根的n次冪就是的特征根.因為相似方陣對應(yīng)著相同的特征根，所以的就是的就是的特征根的n次冪.</p><p><b>　　.&

41、lt;/b></p><p>　　例3.1.1 設(shè)秩=秩（）.證明：一旦有零特征值，那么它所對應(yīng)的初等因子的次數(shù)不超過.</p><p>　　證明 設(shè)的若爾當標準形為</p><p>　　=， ①</p><p>　　其中為中所有特征值為零的若爾當形矩陣.其他若當塊（=1,2，…，)的特征值均非零，即||0（=1

42、,2，…，).</p><p>　　另設(shè)為中最大塊的級數(shù)，它對應(yīng)的初等因子為，下證.</p><p>　　用反證法.若>，則由①式有</p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　此時可以得到</b></p><p><b>　　=

43、 ②</b></p><p><b>　　這時對于，所以 </b></p><p>　　秩（）>秩（）. ③</p><p><b>　　但都非奇異，所以</b></p><p>　　秩（）=秩（）.（=1,2，…，） ④</p>

44、<p>　　從而由②，③，④，有 : 秩>秩（）.</p><p>　　這與假設(shè)矛盾..即可得證.</p><p>　　例3.1.2 設(shè)都是級實對稱陣，是的一個特征根，則存在的一個特征根，和的一個特征根，使=.</p><p>　　證 =，=且===.那么存在正交陣，使</p><p><b>　　=，=<

45、;/b></p><p><b>　　=.</b></p><p><b>　　故的全部特征根為.</b></p><p>　　3.2 在計算矩陣多項式中的應(yīng)用</p><p>　　我們知道多項式的計算是高等代數(shù)中必不可少的內(nèi)容，現(xiàn)在我們研究下標準形在計算矩陣多項式的時候是怎么應(yīng)用的。<

46、;/p><p>　　例3.2.1 已知多項式與矩陣計算.其中</p><p><b>　　.</b></p><p>　　解 先求的初等因子.對進行變換可以得到</p><p><b>　　=,</b></p><p>　　此時很容易知道，為的初等因子，那么其標準形為 <

47、;/p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　并且</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　且變換矩陣P為</b></p><p><b>　　，</b>&

48、lt;/p><p><b>　　則可求得</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　此時還有== = </b></p><p>　　其中是在1處的導數(shù)值.</p><p>　　例3.2.2 數(shù)域上的線性空間中存在一變換，且

49、為線性變換，它的特征多項式和最小多項式分別是，…，，并且=</p><p><b>　　=.</b></p><p>　?。?）求的所有不變因子；</p><p><b>　　寫出的若當標準形。</b></p><p>　　解 （1）設(shè)線性變換在某一組基下的矩陣為，.計算可得</p>

50、<p><b>　　=，</b></p><p><b>　　===.</b></p><p>　　所以 = ， = = = = 1.</p><p>　　因此的所有不變因子為，.</p><p>　　因為的初等因子為，，，，。所以的若當標準為（不計若當塊次序）.</p>

51、<p>　　以上我們可以知道標準形的引入對計算矩陣多項式起到了很大的簡化作用。</p><p>　　3.3 在計算行列式中的應(yīng)用</p><p>　　在上面我們知道了標準形有著簡化計算的作用，現(xiàn)在我們研究一下在求行列式的過程中，標準形是不是也能起到很好的作用呢？</p><p>　　例3.3.1 求行列式 . </p><

52、;p>　　解：,我們可以很容易得到的特征矩陣的為：</p><p><b>　　所以的標準形為</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　且求得</b></p><p><b>　　,</b></p>

53、<p><b>　　所以有 </b></p><p><b>　　而此時</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　又有</b></p><p><b>　　，</b></p>

54、<p><b>　　所以</b></p><p>　　以上內(nèi)容充分反映了標準形在這個計算過程的應(yīng)用。</p><p>　　3.4 在求解線性微分方程組中的應(yīng)用</p><p>　　現(xiàn)在我們引入在解線性方程組中標準形的應(yīng)用,看看是不是依然能起到很好的作用?</p><p>　　例3.4.1[10] 求解以下線

55、性微分方程組</p><p>　　解：在此我們可以令（t）=,</p><p>　　則微分方程組的矩陣形式就為，另外我們可以求得的若爾當標準形為：</p><p><b>　　，</b></p><p>　　也可以求得它的變換矩陣為</p><p><b>　　，</b>&l

56、t;/p><p><b>　　則此時</b></p><p><b>　　AT=J.</b></p><p>　　我們作線性變換=,其中的=,</p><p><b>　　則有</b></p><p><b>　　===，</b><

57、;/p><p><b>　　即可以得到</b></p><p><b>　　==，</b></p><p>　　或者(t)=(t)，（t）=0，（t）=—（t）</p><p>　　那么它的一般解就是(t)=+t，(t)=，（t）=</p><p>　　我們再由,就可以求得原微分

58、方程的一般解為</p><p>　　其中的，，是任意的常數(shù),</p><p>　　通過以上內(nèi)容，顯而易見，在具體問題的求解過程中標準形依然發(fā)揮著簡化計算的作用；我們可以得出一個結(jié)論：它在線性微分方程中的應(yīng)用仍然有著不錯的表現(xiàn)。</p><p><b>　　結(jié)束語</b></p><p>　　Jordan標準形是矩陣當中一

59、種特殊的由矩陣的相似變換得來的，在解決數(shù)學中尤其是線性代數(shù)中的問題有著不可或缺的作用，本文闡述了Jordan矩陣的定義和一些定理并給除了Jordan矩陣在線性代數(shù)中的一些應(yīng)用來說明了Jordan矩陣的理論及其應(yīng)用通過這樣小結(jié)更能激發(fā)學習數(shù)學的興趣，此外更需要在意的是引導學者能夠在Jordan矩陣甚至是在數(shù)學學科中有所領(lǐng)悟和建樹,并推進Jordan矩陣的研究和發(fā)展，我相信，每人的一小步就是世界的一大步，這樣就能為我國的科研作出更多更好的貢

60、獻。</p><p><b>　　參考文獻 </b></p><p>　　[1]揚子胥,高等代數(shù)習題解[M],濟南.山東科學技術(shù)出版社,1982：865-890.</p><p>　　[2]王萼芳,石生明；高等代數(shù)[M]，北京.高等教育出版社，2000第三版 ：300-400.</p><p>　　[3]黎伯堂，劉桂真；

61、高等代數(shù)接替技巧與方法[M]，山東.山東科學技術(shù)出版社，2002.</p><p>　　[4]李桂榮，孫杰；jordan標準形矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用，德州學院學報，2003.8.19(4)：20-25</p><p>　　[5]史榮昌，矩陣分析[M]，北京.北京理工大學出版社，1996.</p><p>　　[6] 欒林,復系數(shù)三階矩陣若爾當標準形求法[J],遼寧師范大學

62、學報.自然科學版,2002.1：102-103.</p><p>　　[7] 張海山,楊清霞；矩陣標準形應(yīng)用[J]，甘肅教育學院學報 ，2001.7 .15(3).</p><p>　　[8]程云鵬，矩陣論（第二版）[M]，西北大學出版社，2000:168-190.</p><p>　　[9]原玉杰，復數(shù)域n階矩陣若爾當標準形應(yīng)用[J]，中國包頭.職大學報，2008