04 矩陣的對角化

1、第四講第四講矩陣的對角化矩陣的對角化基元素坐標向量加法元素加法坐標向量的加法數(shù)乘數(shù)與元素“乘”數(shù)與坐標向量相乘線性變換及其作用對應關系矩陣與坐標列向量的乘積對任何線性空間，給定基后，我們對元素進行線性變換或線性運算時，只需用元素的坐標向量以及線性變換的矩陣即可，因此，在后面的內(nèi)容中著重研究矩陣和向量。對角矩陣的形式比較簡單，處理起來較方便，比如求解矩陣方程時，Axb?將矩陣對角化后很容易得到方程的解。對角化的過程實際上是一個去耦的過A程

2、。以前我們學習過相似變化對角化。那么，一個方陣是否總可以通過相似變化將其對角化呢？或者對角化需要什么樣的條件呢？如果不能對角化，我們還可以做哪些處理使問題變得簡單呢？一、特征征值與特征向量特征征值與特征向量1.定義：對階方陣，若存在數(shù)，及非零向量（列向量），使得mA?x則稱為的特征值，為的屬于特征值的特征向量。Axx???AxA?特征值不唯一?特征向量非零?有非零解，則，稱?()0IAx???det()0IA???為的多項式。det()

3、IA??A[例1]，求其特征值和特征向量。122212221A???????????[解]122det()2120221IA????????????????2(1)(5)0?????121?????35??屬于特征值的特征向量1???()0IAx???????121122nnnAxxxxxx????????121200nnxxx??????????????????線性無關，故為滿秩矩陣，12nxxx???12nPxxx??令，則有??1

4、200n????????????????APP??1PAP???必要性：已知存在可逆方陣，使P12100nPAP????????????????????將寫成列向量，為維列向量P??12nPPPP??nPn????121122nnnAPAPAPPPP??????可見，為的特征值，為的特征向量，i?AiPA具有個線性無關的特征向量。?An推論：階方陣有個互異的特征值，則必可對角化。（充分條件）nn三、三、內(nèi)積空間內(nèi)積空間1.Euclid空