3數(shù)學的真理性

1、數(shù)學思想方法,第三章 數(shù)學的真理性,在教學中，任何一個定理都需要經(jīng)過演繹證明，然后一門數(shù)學分支都需要經(jīng)公理化。,第一節(jié) 數(shù)學的證明和科學的證明,一、數(shù)學證明的由來數(shù)學證明始于公元前6世紀。據(jù)說當時的希臘哲學家泰勒斯是擁有一些演繹幾何學定理發(fā)明權(quán)的第一人。從一個更基本的事實出發(fā)，經(jīng)過更簡單的演繹推理得到所有要求的結(jié)果的這種幾何學被稱為論證的（或演繹的、有系統(tǒng)的）幾何學。歐幾里得幾何就屬于這種幾何學，它奠定了數(shù)學證明的模式。,二、數(shù)

2、學的證明數(shù)學上的證明是以一些基本概念和基本公理為基礎(chǔ)，使用合乎邏輯的推理決定判斷是否正確。數(shù)學中的判斷成為命題。因此“一個命題如果是真，它必須且只須是由這樣一串命題的最后一個，其中每個命題或者是形式系統(tǒng)的一條公理，或者是有一條法則所推導出的命題。”,三、科學的證明科學證明不同于數(shù)學證明，它依賴于觀察、試驗和理解力，而這些都容易出錯。在科學學科中，一個假設(shè)被提出來，用以解釋某類現(xiàn)象。如果對現(xiàn)象的觀察與這個假設(shè)相符，就成為這個假設(shè)

3、成立的證據(jù)。如果再次被證實，則就有更多證據(jù)支持這個假設(shè)，當證據(jù)的數(shù)量達到壓倒的程度時，這個假設(shè)就作為一個理論被接受。如果當這種理論最終被證明是錯的，就會有新的理論來代替。,數(shù)學證明則不同，它有絕對的意義。經(jīng)過數(shù)學證明的結(jié)果是無可懷疑的，經(jīng)得起時間的考驗的。應(yīng)為它是依賴邏輯，是演繹證明，不依賴于觀察和實驗。,四、數(shù)學證明的功用數(shù)學證明不僅能告訴我們命題的真?zhèn)?，也能告訴我們命題的內(nèi)涵以及事物之間的關(guān)系。數(shù)學證明的功用主要體現(xiàn)如下三個方面

4、：1．核實命題2．理解命題3．發(fā)現(xiàn)命題,第二節(jié) 數(shù)學的公理化,一、公理化的起源合乎邏輯的學科應(yīng)該是有一組在開始研究這一學科時假設(shè)可以接受的原始（陳述）出發(fā)，通過演繹推理得到的一系列命題。因此，在開始研究這一學科使必須確定一組原始命題并且承認他們是正確的，然后完全由演繹推理來導出這一學科的其他所有命題。這種觀念建立起來的學科稱為依實質(zhì)性公理化建立的學科。數(shù)學史上第一個這樣的學科就是歐幾里得幾何，以《幾何原本》為標志。是希臘人對數(shù)學

5、的最杰出的貢獻，是數(shù)學公理化成功的源頭。,二、公理化的發(fā)展為了消除對歐幾里得第五公設(shè)的疑慮，誕生了非歐幾何，這是人們對幾何公理的實質(zhì)有了更深刻的認知。非歐幾何的出現(xiàn)極大的推動了公理化的發(fā)展，而公理化的進一步發(fā)展則源于對歐幾里得幾何的重建。,1．非歐幾何產(chǎn)生的過程代替歐幾里得第五公設(shè)而提出的幾種命題：① 在一平面上過已知直線外一給定點且只有一條直線與已知直線不相交；② 兩條相交直線不能同時平行于第三條直線；③ 存在一對同一平面的

6、直線彼此處處等距離；④ 過任何三個不在同一直線上的點可作一個圓；⑤ 至少存在一個三角形，其三個角的和等于兩個直角。,羅巴切夫斯基在1829-1830年發(fā)表了題為《論幾何基礎(chǔ)》的文章，這是第一個公開發(fā)表與歐幾里得第五公設(shè)相對立的新幾何，稱這種幾何為羅巴切夫斯基幾何（一種非歐幾何）續(xù)羅巴切夫斯基幾何產(chǎn)生后，德國數(shù)學家黎曼在非歐幾何上也取得了最重要的進展，在1854年發(fā)表的論文《論幾何學的基礎(chǔ)假設(shè)》中提出了更廣泛的一類非歐幾何----黎

7、曼幾何,雖然人們一直沒有懷疑歐幾里得幾何的相容性，但是對于非歐幾何的提出，擔心會產(chǎn)生與此相矛盾的結(jié)論。直到19世紀后期，意大利數(shù)學家貝爾特拉來等人證明了非歐幾何和歐幾里得幾何之間是相對相容的，從而消除了人們的擔心。,2．歐幾里德幾何的重建《幾何原本》存在的缺陷概括起來主要有三個方面：第一，沒有基本概念，即沒有用一些未加解釋的基本術(shù)語，對概念下定義。第二，許多定一混淆。世紀上歐幾里得的定義是以直觀為基礎(chǔ)的。第三，公理不足。,德國偉

8、大的數(shù)學家希爾伯特于1899年發(fā)表了《幾何學基礎(chǔ)》，最終解決了《幾何讓原本》中的缺陷，同時完善了幾何學的公理化方法。,一個有意義的公理化系統(tǒng)應(yīng)該有一個滿足如下條件的有機整體：① 相容性：葉稱無矛盾性。即不能有公理化系統(tǒng)中的公理導出相矛盾的結(jié)論；② 獨立性：即在公理體系中，任何一條公理都不能有其他公理推出；③ 完備性：即要求確保從公理系統(tǒng)能推出所研究的數(shù)學分支的全部命題。,三、公理化的意義 公理化的意義在于下面三個方面：1．它把

9、數(shù)學帶入了嚴密階段；2．它把邏輯的嚴密賦予了某些自然科學領(lǐng)域；3．它體現(xiàn)了人類認知的主觀能動性。,第三節(jié) 第三次數(shù)學危機,一、康托的集合論介紹人們在對集合進行分類時產(chǎn)生了自然數(shù)的概念，從理論上看，隨著嚴格的自然數(shù)理論的建立，建立關(guān)于集合的理論就顯得非常重要了。數(shù)學分析中大量使用無窮級數(shù)和實數(shù)系，因此需要用集合概念來對數(shù)學分析和無窮概念進行嚴格化。,對于無窮歷史上增有兩種觀點：潛無窮和實無窮潛無窮是指把無窮看成一種永無止境又不能

10、完成的、變化或生成的過程。實無窮是把無窮看成一種已經(jīng)存在的、已經(jīng)完成的過程，是一種得以獨立存在的無限性對象。,康托對無窮集合進行了定量研究，這是建立集合論的關(guān)鍵。他的集合理論可歸結(jié)如下五個原則：1．概括原則2．外延原則3．對應(yīng)原則4．延伸原則5．窮歇原則,二、羅素悖論與第三次數(shù)學危機1．第一次數(shù)學危機 從某種意義上來講，現(xiàn)代意義下的數(shù)學，也就是作為演繹系統(tǒng)的純粹數(shù)學，來源予古希臘畢達哥拉斯學派。它是一個唯心主義學派，

11、興旺的時期為公元前500年左右。他們認為，“萬物皆數(shù)”(指整數(shù))，數(shù)學的知識是可靠的、準確的，而且可以應(yīng)用于現(xiàn)實的世界，數(shù)學的知識由于純粹的思維而獲得，不需要觀察、直覺和日常經(jīng)驗。,整數(shù)是在對于對象的有限整合進行計算的過程中產(chǎn)生的抽象概念。為了滿足這些簡單的度量需要，就要用到分數(shù)。于是，如果定義有理數(shù)為兩個整數(shù)的商，那么由于有理數(shù)系包括所有的整數(shù)和分數(shù)，所以對于進行實際量度是足夠的。,有理數(shù)有一種簡單的幾何解釋。在一條水平直線上，標出一

12、段線段為單位長，令它的左端點和右端點分別表示數(shù)0和1，則可用這條直線上的間隔為單位長的點的集合來表示整數(shù)，正整數(shù)在0的右邊，負整數(shù)在0的左邊。以q為分母的分數(shù)，可以用每一單位間隔分為q等分的點表示。于是，每一個有理數(shù)都對應(yīng)著直線上的一個點。（這就是數(shù)軸的起源）,畢氏學派大約在公元前400年發(fā)現(xiàn)：直線上存在不對應(yīng)任何有理數(shù)的點。特別是，他們證明了：這條直線上存在點p不對應(yīng)于有理數(shù)，這里距離op等于邊長為單位長的正方形的對角線。于是就必須發(fā)

13、明新的數(shù)對應(yīng)這樣的點，并且因為這些數(shù)不可能是有理數(shù)，只好稱它們?yōu)闊o理數(shù)。無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，是畢氏學派的最偉大成就之一，也是數(shù)學史上的重要里程碑。無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引起了第一次數(shù)學危機。,第一次數(shù)學危機表明，幾何學的某些真理與算術(shù)無關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示。 數(shù)卻可以由幾何量表示出來。整數(shù)的尊祟地位受到挑戰(zhàn)，古希臘的數(shù)學觀點受到極大的沖擊。于是，幾何學開始在希臘數(shù)學中占有特殊地位。同時也反映出，直覺和經(jīng)驗不一定靠得住，而推

14、理證明才是可靠的。從此希臘人開始從“自明的”公理出發(fā)，經(jīng)過演繹推理，并由此建立幾何學體系。這是數(shù)學思想上的一次革命，是第一次數(shù)學危機的自然產(chǎn)物。,由于第一次數(shù)學危機的發(fā)生和解決，希臘數(shù)學則走上完全不同的發(fā)展道路，形成了歐幾里得《原本》的公理體系與亞里士多德的邏輯體系，為世界數(shù)學作出了另一種杰出的貢獻。 　　但是，自此以后希臘人把幾何看成了全部數(shù)學的基礎(chǔ)，把數(shù)的研究隸屬于形的研究，割裂了它們之間的密切關(guān)系。這樣做的最大不幸是放棄了對無理

15、數(shù)本身的研究，使算術(shù)和代數(shù)的發(fā)展受到很大的限制，基本理論十分薄溺。這種畸形發(fā)展的局面在歐洲持續(xù)了2000多年。,2．第二次數(shù)學危機 十七、十八世紀關(guān)于微積分發(fā)生的激烈的爭論，被稱為第二次數(shù)學危機。 這次危機的萌芽出現(xiàn)在大約公元前450年，芝諾注意到由于對無限性的理解問題而產(chǎn)生的矛盾，提出了關(guān)于時空的有限與無限的四個悖論：,悖論一：“兩分法”：向著一個目的地運動的物體，首先必須經(jīng)過路程的中點，然而要經(jīng)過這點，又必須先

16、經(jīng)過路程的1/4點……，如此類推以至無窮?！Y(jié)論是：無窮是不可窮盡的過程，運動是不可能的。,悖論二：“阿基里斯(《荷馬史詩》中的善跑的英雄)追不上烏龜”：阿基里斯總是首先必須到達烏龜?shù)某霭l(fā)點，因而烏龜必定總是跑在前頭。這個論點同兩分法悖論一樣，所不同的是不必把所需通過的路程一再平分。,悖論三：“飛矢不動”：意思是箭在運動過程中的任一瞬時間必在一確定位置上，因而是靜止的，所以箭就不能處于運動狀態(tài)。,悖論四： “操場或游行隊伍”：A

17、、B兩件物體以等速向相反方向運動。從靜止的c來看，比如說A、B都在1小時內(nèi)移動了2公里，可是從A看來，則B在1小時內(nèi)就移動了4公里。運動是矛盾的，所以運動是不可能的。,芝諾揭示的矛盾是深刻而復雜的。前兩個悖論詰難了關(guān)于時間和空間無限可分，因而運動是連續(xù)的觀點，后兩個悖論詰難了時間和空間不能無限可分，因而運動是間斷的觀點。芝諾悖論的提出可能有更深刻的背景，不一定是專門針對數(shù)學的，但是它們在數(shù)學王國中卻掀起了一場軒然大被。它們說明了希臘人已

18、經(jīng)看到“無窮小”與“很小很小”的矛盾，但他們無法解決這些矛盾。其后果是，希臘幾何證明中從此就排除了無窮小。,經(jīng)過許多人多年的努力，終于在17世紀晚期，形成了無窮小演算——微積分這門學科。牛頓和萊布尼茲被公認為微積分的奠基者，他們的功績主要在于：把各種有關(guān)問題的解法統(tǒng)一成微分法和積分法；有明確的計算步驟；微分法和積分法互為逆運算。由于運算的完整性和應(yīng)用的廣泛性，微積分成為當時解決問題的重要工具。同時，關(guān)于微積分基礎(chǔ)的問題也越來越嚴重。關(guān)鍵

19、問題就是無窮小量究競是不是零？無窮小及其分析是否合理？由此而引起了數(shù)學界甚至哲學界長達一個半世紀的爭論，造成了第二次數(shù)學危機。,直到19世紀20年代，一些數(shù)學家才比較關(guān)注于微積分的嚴格基礎(chǔ)。從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等人的工作開始，到威爾斯特拉斯、狄德金和康托的工作結(jié)束，中間經(jīng)歷了半個多世紀，基本上解決了矛盾，為數(shù)學分析奠定了一個嚴格的基礎(chǔ)。 19世紀70年代初，威爾斯特拉斯、狄德金、康托等人獨立地建立了實數(shù)理論，而

20、且在實數(shù)理論的基礎(chǔ)上，建立起極限論的基本定理，從而使數(shù)學分析建立在實數(shù)理論的嚴格基礎(chǔ)之上。,3．第三次數(shù)學危機數(shù)學基礎(chǔ)的第三次危機是由1897年的突然沖擊而出現(xiàn)的，從整體上看到現(xiàn)在還沒有解決到令人滿意的程度。這次危機是由于在康托的一般集合理論的邊緣發(fā)現(xiàn)悖論造成的。由于集合概念已經(jīng)滲透到眾多的數(shù)學分支，并且實際上集合論已經(jīng)成了數(shù)學的基礎(chǔ)，因此集合論中悖論的發(fā)現(xiàn)自然地引起了對數(shù)學的整個基本結(jié)構(gòu)的有效性的懷疑。,1897年，福爾蒂揭示了集合

21、論的第一個悖論；兩年后，康托發(fā)現(xiàn)了很相似的悖論，它們涉及到集合論中的結(jié)果。1902年，羅素發(fā)現(xiàn)了一個悖論，它除了涉及集合概念本身外不涉及別的概念。 羅素，英國人，哲學家、邏輯學家、數(shù)學家。1902年著述《數(shù)學原理》，繼而與懷德海合著《數(shù)學原理》(1910年～1913年)，把數(shù)學歸納為一個公理體系，是劃時代的著作之一。他在很多領(lǐng)域都有大量著作，并于1950年獲得諾貝爾文學獎。他關(guān)心社會現(xiàn)象，參加和平運動，開辦學校。1968～1

22、969年出版了他的自傳。,羅素悖論曾被以多種形式通俗化，其中最著名的是羅索于1919年給出的，它講的是某村理發(fā)師的困境。理發(fā)師宣布了這樣一條原則：他只給不自己刮胡子的人刮胡子。當人們試圖答復下列疑問時，就認識到了這種情況的悖論性質(zhì)：“理發(fā)師是否可以給自己刮胡子？”如果他給自己刮胡子，那么他就不符合他的原則；如果他不給自己刮胡子，那么他按原則就該為自己刮胡子。,自從在康托的集合論和發(fā)現(xiàn)上述矛盾之后，還產(chǎn)生了許多附加的悖論。

23、集合論中悖論的存在，說明集合論中這些邏輯實質(zhì)上是由于概括原則所引起的。 自從發(fā)現(xiàn)它們之后，人們發(fā)表了大量關(guān)于這個課題的文章，并且為解決它們作過大量的嘗試。就數(shù)學而論，看來有一條容易的出路：人們只要把集合論建立在公理化的基礎(chǔ)上，加以充分限制以排除所知道的矛盾。第一次這樣的嘗試是策梅羅于1908年做出的，以后還有多人進行了加工。但是，此程序曾受到批評，因為它只是避開了某些悖論，而未能說明這些悖論；此外，它不能保證將來不出現(xiàn)別種悖論。

24、,三、第三次數(shù)學危機對數(shù)學產(chǎn)生的影響 解決集合論的悖論的其它嘗試，是從邏輯上去找問題的癥結(jié)，這帶來了邏輯基礎(chǔ)的全面研究。 從1900年到1930年左右，數(shù)學的危機使許多數(shù)學家卷入一場大辯論當中。他們看到這次危機涉及到數(shù)學的根本，因此必須對數(shù)學的哲學基礎(chǔ)加以嚴密的考察。從而產(chǎn)生了一個新的數(shù)學領(lǐng)域----數(shù)學基礎(chǔ)。數(shù)學家開展數(shù)學基礎(chǔ)的研究，其目的是力圖為整個數(shù)學奠定一個堅實的基礎(chǔ)。,在這場大辯論中，原來不明顯的意見分

25、歧擴展成為學派的爭論。以羅素為代表的邏緝主義、以布勞威為代表的直覺主義、以希爾伯特為代表的形式主義三大數(shù)學哲學學派應(yīng)運而生。它們都是唯心主義學派，它們都提出了各自的處理一般集合論中的悖論的辦法。他們在爭論中盡管言語尖刻，好象勢不兩立，其實各自的觀點都吸收了對方的看法而又有很多變化。這些學派之間相互爭論、相互批評，把數(shù)學基礎(chǔ)的研究推向高潮。,第四節(jié) 哥德爾不完備性定理,一、希爾伯特規(guī)劃,一、希爾伯特規(guī)劃希爾伯特規(guī)劃，即直接證明某個理論

26、的相容性而不再把它歸結(jié)到別的理論，其基本內(nèi)容有：① 證明古典數(shù)學的每個分支都可公理化；② 證明這樣的系統(tǒng)是完備的；③ 證明這樣的系統(tǒng)是比矛盾的；④ 證明這樣的系統(tǒng)所相應(yīng)的模型是同構(gòu)的；⑤ 尋找一種方法，借助于它，可以在有限步驟內(nèi)判斷任一命題的可證明性。,希爾伯特規(guī)定的工具（元理論）必須：① 只使用直覺上感覺的東西；② 只使用能行的過程；③ 不能假定無窮集合的存在性。,希爾伯特規(guī)劃影響的原因：① 這規(guī)劃體現(xiàn)了一種新的數(shù)學

27、思想，即所謂的形式主義的數(shù)學觀：一切數(shù)學對象都只是五意義的符號；② 就是學基礎(chǔ)的研究而言，這規(guī)劃體現(xiàn)了一種新的研究方向，它展示給人們的是：通過這一規(guī)劃的實施，可以徹底解決數(shù)學的基礎(chǔ)問題，無須為數(shù)學的可靠性問題憂慮。,二、哥德爾不完備性定理哥德爾不完備性定理的含義是指：對于非常廣泛的一些系統(tǒng)，若它們是相容的，則它們必是不完備的；若它們是相容的，則它們的相容性必不能由該系統(tǒng)內(nèi)部推出。哥德爾不完備性定理大大得影響了數(shù)學尤其是數(shù)學邏輯的進

28、展。,哥德爾不完備性定理得出現(xiàn)對數(shù)學產(chǎn)生的影響：1．他推翻了數(shù)學的所有重要領(lǐng)域能被完全公理化這個強烈的信念2。它摧毀了沿著希爾伯特曾設(shè)想的路線證明數(shù)學內(nèi)部相容性的全部希望3．他對數(shù)學基礎(chǔ)研究及數(shù)理邏輯的現(xiàn)代發(fā)展產(chǎn)生了重大的影響4．它導致了重新評價某些普遍認可的數(shù)學哲學,小結(jié),數(shù)學證明有絕對的意義，經(jīng)過數(shù)學證明的結(jié)果是無可懷疑的，經(jīng)得起時間的考驗的。它是依賴邏輯，是演繹證明，不依賴于觀察和實驗?？茖W證明不同于數(shù)學證明，它依賴于觀察