《現(xiàn)代控制理論第3版》-第5章

1、5.1 線性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性,5.2 極點(diǎn)配置問(wèn)題,5.3 系統(tǒng)鎮(zhèn)定問(wèn)題,5.4 系統(tǒng)解耦問(wèn)題,5.5 狀態(tài)觀測(cè)器,5.6 利用狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋的系統(tǒng),5.1 線性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性,5.1.1狀態(tài)反饋,狀態(tài)反饋是將系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)變量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù)，然后反饋到輸入端與參考輸入相加形成控制律，作為受控系統(tǒng)的控制輸入。,下（圖一）是一個(gè)多

2、輸入一多輸出系統(tǒng)狀態(tài)反饋的基本結(jié)構(gòu)。,圖中受控系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：,式中,簡(jiǎn)記為,式中，v 為 維參考輸人；K為 維狀態(tài)反饋系數(shù)陣或狀態(tài)反饋增益陣。對(duì)單輸入系統(tǒng)，K為 維行矢量。,（1）,把式(3)代人式(1)整理可得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式：,閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣：,比較開(kāi)環(huán)系統(tǒng) 與閉環(huán)系統(tǒng)

3、 可見(jiàn)，狀態(tài)反饋陣K的引入，并不增加系統(tǒng)的維數(shù)，但可通過(guò)K的選擇自由地改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，從而使系統(tǒng)獲得所要求的性能。,（4）,（6）,5.1.2 輸出反饋,輸出反饋是采用輸出矢量y構(gòu)成線性反饋律。在經(jīng)典控制理論中主要討論這種反饋形式。（圖二）示出多輸入一多輸出系統(tǒng)輸出反饋的基本結(jié)構(gòu)。,其中日為 維輸出反饋增益陣。對(duì)單輸出系統(tǒng)，H為 維列矢量。,閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)

4、式可由式(7)代入式(9)得：,（10）,再把式(1 1)代入式(7)求得：,（12）,簡(jiǎn)記 。由式(13)可見(jiàn)，通過(guò)選擇輸出反饋增益陣日也可以改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，從而改變系統(tǒng)的控制特性。,輸出反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為：,若受控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為：,存在下列關(guān)系：,（14）,（15）,從系統(tǒng)輸出到狀態(tài)矢量導(dǎo)數(shù) 的線性反饋形式在狀態(tài)觀測(cè)器獲得應(yīng)用。（

5、圖三）表示這種反饋結(jié)構(gòu)：,比較上述兩種基本形式的反饋可以看出，輸出反饋中的HC 與狀態(tài)反饋中的K 相當(dāng)。但由于 ，所以H 可供選擇的自由度遠(yuǎn)比K 小，因而輸出反饋只能相當(dāng)于一種部分狀態(tài)反饋一只有當(dāng) 時(shí)， ，才能等同于全狀態(tài)反饋。因此，在不增加補(bǔ)償器的條件下，輸出反饋的效果撮然不如狀態(tài)反饋系統(tǒng)好。但輸出反饋在技術(shù)實(shí)現(xiàn)上的方便性則足其突出優(yōu)點(diǎn)。,5.1.3 從輸出到狀態(tài)矢量導(dǎo)數(shù)反饋

6、,加入從輸出y到狀態(tài)矢量導(dǎo)數(shù) 的反饋增益陣 ，可得閉環(huán)系統(tǒng)：,將式(19)中的y 代入 整理得：,（18）,（19）,（20）,若D =0，則,（21）,5.1.4 動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器,上述三種反饋基本結(jié)構(gòu)的共同點(diǎn)是，不增加新的狀態(tài)變量，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)與閉環(huán)同維。其次，反饋增益陣都是常矩陣，反饋為線性反饋。在更復(fù)雜的情況下，常常要通過(guò)引入一個(gè)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)來(lái)改善系統(tǒng)性能，這種動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)，稱為動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器。,它與受控

7、系統(tǒng)的連接方式如圖5．4所示，其中圖a為串聯(lián)連接，圖b為反饋連接。,5.1.5 閉環(huán)系統(tǒng)的能控性與能觀性,定理5.1.1 狀態(tài)反饋不改變受控系統(tǒng) 的能控性。,但不保證系統(tǒng)的能觀性不變。,證明 只證能控性不變。這只要證明它們的能控判別矩陣同秩即可。,受控系統(tǒng)∑0和狀態(tài)反饋系統(tǒng)∑0的能控判別陣為：,實(shí)際上，受控系統(tǒng)

8、 的傳遞函數(shù)為：,（25）,將∑0的能控標(biāo)準(zhǔn)I型代入上式，得：,（26）,引入狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：,（27）,定理5.1.2 輸出反饋不改變受控系統(tǒng)的能控性和能觀性。,證明 關(guān)于能控性不變。因?yàn)?（28）,若把(HC )看成等效的狀態(tài)反饋陣K，那么狀態(tài)反饋便保持受控系統(tǒng)的能控性不變。,關(guān)于能觀性不變。由能觀判別矩陣,定理5.2.1 采用狀態(tài)反饋對(duì)系統(tǒng)

9、任意配置極點(diǎn)的充要條件是∑0完全能控。,5.2 極點(diǎn)配置問(wèn)題,5.2.1采用狀態(tài)反饋,證明 只證充分性。若∑0完全能控，通過(guò)狀態(tài)反饋必成立,式中， 為期望特征多項(xiàng)式。,（31）,（32）,式中， 為期望的閉環(huán)極點(diǎn)(實(shí)數(shù)極點(diǎn)或共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn))。,1)若∑0完全能控，必存在非奇異變換：,式中,受控系統(tǒng)∑0的傳遞函數(shù)為：,（34）,可求得對(duì)

10、 的閉環(huán)狀態(tài)空間表達(dá)式：,（36）,閉環(huán)特征多項(xiàng)式為：,式中,（37）,閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,3)使閉環(huán)極點(diǎn)與給定的期望極點(diǎn)相符，必須滿足：,（38）,由等式兩邊 同次冪系數(shù)對(duì)應(yīng)相等．可解出反饋陣各系數(shù)：,于是得：,（39）,4)最后，把對(duì)應(yīng)于 的 ，通過(guò)如下變換，得到對(duì)應(yīng)于狀態(tài) 的 ：,這是由于 的緣故。,5.2.2 采用輸出

11、反饋,定理5.2.2 對(duì)完全能控的單輸入一單輸出系統(tǒng) ，不能采用輸出線性反饋來(lái)實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)的任意配置。,證明 對(duì)單輸入一單輸出反饋系統(tǒng) ，閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,（40）,定理5.2.3 對(duì)完全能控的單輸入—單輸出系統(tǒng) 通過(guò)帶動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的

12、輸出反饋實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)任意配置的充要條件是：,5.2.3 采用從輸出到反饋,定理5.2.4 對(duì)系統(tǒng) 采用從輸出到 的線性反饋實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)任意配置的充要條件是∑0完全能觀。,證明 根據(jù)對(duì)偶原理，如果 能觀．則 必能控，因而可以任意配置 的特征值

13、，，而 的特征值和 的特征值相同，又因?yàn)?因此，對(duì) 任意配置極點(diǎn)就等價(jià)于對(duì)A+Gc任意配置極點(diǎn)。于是設(shè)計(jì) 輸出反饋陣G 的問(wèn)題便轉(zhuǎn)化成對(duì)其對(duì)偶系統(tǒng) 設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋陣K的問(wèn)題。具體步驟如下：,將系統(tǒng) 化成能觀標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型：,式中， 為能將系統(tǒng)化成能觀標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型的變換

14、矩陣。,（42）,(2)引入反饋陣 后，得閉環(huán)系統(tǒng)矩陣：,式中,（43）,和閉環(huán)特征多項(xiàng)式：,(3)由期望極點(diǎn)得期望特征多項(xiàng)式：,（44）,(4)比較 各對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，可解出：,和求狀態(tài)反饋陣K 的情況類似，當(dāng)系統(tǒng)的維數(shù)較低時(shí)，只要系統(tǒng)能觀，也可以不化成能觀標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型，通過(guò)直接比較特征多項(xiàng)式系數(shù)米確定G 矩陣。,5.3 系統(tǒng)鎮(zhèn)

15、定問(wèn)題,定理5.3.1對(duì)系統(tǒng) ，采用狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的允要條件是其不能控子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。,證明 (1)設(shè)系統(tǒng) 不完全能控，因此通過(guò)線性變換可將其按能控性分解為：,（1）,式中， 為能控子系統(tǒng)； 為不能控子系統(tǒng)。,(2)由于線性

16、變換不改變系統(tǒng)的特征值，所以有：,(3)由于 在能控性和穩(wěn)定性上等價(jià)?？紤]對(duì) 引人狀態(tài)反饋陣：,（2）,（3）,于是得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣：,（4）,和閉環(huán)特征多項(xiàng)式：,（5）,定理5.3.2 系統(tǒng) 通過(guò)輸出反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是

17、 ∑0結(jié)構(gòu)分解中的能控且能觀子系統(tǒng)是輸出反饋能鎮(zhèn)定的，其余子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。,證明 (1) 對(duì)進(jìn)行能控性能觀性結(jié)構(gòu)分解，有：,比較式(5)與式(2)可見(jiàn)，引入狀態(tài)反饋陣 ，只能通過(guò)選擇 使 的特征值均具有負(fù)實(shí)部，從而使 ，這個(gè)子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。但 的選擇并不能影響 的特

18、征值分布。因此，僅當(dāng) 的特征值均具有負(fù)實(shí)部，即不能控子系統(tǒng) 為漸近穩(wěn)的此時(shí)整個(gè)系統(tǒng) 才是狀態(tài)能鎮(zhèn)定的。,（6）,(2)因?yàn)?能控性和能觀性和能鎮(zhèn)定性 上完全等價(jià)，所以對(duì) 引入輸出反饋陣H ，可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣：,（7）,和閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式：,（8）,式(8)表明，當(dāng)且僅當(dāng)

19、 的特征值均具負(fù)實(shí)部時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)才為漸近穩(wěn)定。定理得證。,定理5.3.3 對(duì)系統(tǒng) 采用從輸出到 反饋實(shí)現(xiàn)鎮(zhèn)定的充要條件是∑0的不能觀子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。,證明 (1)將系統(tǒng) 進(jìn)行能觀性分解，得：,式中，

20、 為能觀子系統(tǒng)； 為不能觀子系統(tǒng)。,（9）,(2)由于 在能控性和穩(wěn)定性上等價(jià)，考慮對(duì) 引入從輸出到 的反饋陣 ，于是有：,（11）,式(12)表明，引入反饋陣 ，只影響

21、 的特征值。,5.4 系統(tǒng)解耦問(wèn)題,解耦問(wèn)題是多輸入一多輸出系統(tǒng)綜合理論中的重要組成部分?其沒(méi)汁目的是尋求適當(dāng)?shù)目刂埔?guī)律，使輸入輸出相互關(guān)聯(lián)的多變量系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)每一個(gè)輸出僅受相應(yīng)的一個(gè)輸入所控制，每一個(gè)輸入也僅能控制相應(yīng)應(yīng)的一個(gè)輸出，這樣的問(wèn)題稱為解耦問(wèn)題。,設(shè) 是一個(gè) 維輸入、 維輸出的受控系統(tǒng)，即,（1）,5.4.1 前饋補(bǔ)償器解耦,前饋補(bǔ)償器解耦的框圖如下圖所

22、示。,根據(jù)串聯(lián)組合系統(tǒng)可寫(xiě)出整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣：,（3）,式中， 為串接補(bǔ)償器后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。,（4）,顯然，只要 存在，則串聯(lián)補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)矩陣為：,（5）,5.4.2 狀態(tài)反饋解耦,1.狀態(tài)反饋解耦中的幾個(gè)特征量,狀態(tài)反饋解耦系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如下圖所示：,為了便于討論狀態(tài)反饋解耦的條件，首先定義幾個(gè)特征量。,1)定義 ，是滿足不等式：,且介于0到 之

23、間的一個(gè)最小整數(shù)l。,(6),式中， 為系統(tǒng)輸出矩陣c中的第i 行向量 ，因此， 的下標(biāo)i 表示行數(shù)。,2. 能解耦性判據(jù),（7）,3. 積分型解耦系統(tǒng),定理5.4.2 若系統(tǒng) 是狀態(tài)反饋能解耦的，則閉環(huán)系統(tǒng),是一個(gè)積分型解耦系統(tǒng)。其中狀態(tài)反饋矩陣為：,（8）,（9）,閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：,（11）,

24、式(11)表明，用式(9)和式(10)實(shí)現(xiàn)(K，F(xiàn))解耦的系統(tǒng)，其每個(gè)子系統(tǒng)都是相當(dāng)于一個(gè) 階積分器的獨(dú)立子系統(tǒng)。,4．能解耦標(biāo)準(zhǔn)形,定理5.4.3 狀態(tài)反饋 使系統(tǒng) 解耦并任意配置極點(diǎn)的充要條件是，它們具有以下形式：,式中，,（12）,5. 狀態(tài)反饋解耦的設(shè)計(jì)步驟,綜上所述，用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)解耦的設(shè)計(jì)步驟可歸納如下：,1

25、)檢驗(yàn)系統(tǒng)是否滿足式(7)所述充要條件。,2)按照式(9)和式(10)計(jì)算狀態(tài)反饋矩陣K和輸入變換陣F，將系統(tǒng)化成積分型解耦形式。,3)按照式(12)對(duì)各獨(dú)立子系統(tǒng)采用附加狀態(tài)反饋，將其極點(diǎn)配置為期望值。,3) 的輸出 應(yīng)以足夠快的速度漸近于 ，即 應(yīng)有足夠?qū)挼念l帶。但從抑制干擾角度看，又希望頻帶不要太寬。因此，要根據(jù)具體情況予以兼顧。,5.5 狀態(tài)觀測(cè)器,5.5.1 狀態(tài)觀測(cè)器定義

26、,設(shè)線性定常系統(tǒng)∑0=(A，B，C)的狀態(tài)矢量工不能直接檢測(cè)。如果動(dòng)態(tài)系統(tǒng) 以∑0，的輸入 和輸出 作為其輸入量，能產(chǎn)生一組輸出 主漸近于 則稱 的一個(gè)狀態(tài)觀測(cè)器。,根據(jù)上述定義，可得構(gòu)造觀測(cè)器的原則是：,1)觀測(cè)器 應(yīng)以∑0的輸入 和輸出 為其輸入量。,2)為滿足

27、 必須完全能觀，或其不能觀子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。,4) 在結(jié)構(gòu)上應(yīng)盡量簡(jiǎn)單。即具有盡可能低的維數(shù)，以便于物理實(shí)現(xiàn)：,5.5.2 狀態(tài)觀測(cè)器的存在性,定理5.5.1 對(duì)線性定常系統(tǒng)∑0=(A，B，C)，狀態(tài)觀測(cè)器存在的充要條件是∑0，的不能觀子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。,證明 (1)設(shè)∑0=(A，B，C)不完全能觀，可進(jìn)行能觀性結(jié)構(gòu)分解。這里，不妨設(shè)∑0=(A，B，C)已具有能觀性分解形式。即,（

28、13）,(2)構(gòu)造狀態(tài)觀測(cè)器 為狀態(tài) 的估值， 為調(diào)節(jié) 漸近于 的速度的反饋增益矩陣。于是得觀測(cè)器方程：,或,（14）,定義 為狀態(tài)誤差矢量，可導(dǎo)出狀態(tài)誤差方程：,（15）,由式(16)可知，通過(guò)適當(dāng)選擇G1，，可使 的特征值均具負(fù)實(shí)部，因而有：,

29、(3)確定使 漸近于 的條件。,（18）,同理，由式（17)可得其解為：,（19）,成立時(shí)，才對(duì)任意 ，有：,由于 ，因此僅當(dāng),（20）,而 特征值均具有負(fù)實(shí)部等價(jià)。只有當(dāng)∑0=(A，B，C)的不能觀子系統(tǒng)漸近穩(wěn)定時(shí)，才能使

30、 。定理得證。,（21）,5.5.3 狀態(tài)觀測(cè)器的實(shí)現(xiàn),定理5.5.2 若線性定常系統(tǒng) ∑0=(A，B，c) 完全能觀，則其狀態(tài)矢量 可由輸出 和輸入 進(jìn)行重構(gòu)。,證明 將輸出方程t 逐次求導(dǎo)，代以狀態(tài)方程并整理可得：,（22）,將各式等號(hào)左邊用矢量z 表示，則有：,（23）,若系統(tǒng)完全能觀，rankN=n，則有：,（24）,根據(jù)下圖可得狀態(tài)觀測(cè)器方程：,5.5.4

31、 反饋矩陣G 的設(shè)計(jì),為了討論狀態(tài)估值主趨近于狀態(tài)真值工的漸近速度，引入狀態(tài)誤差矢量：,（26）,可得狀態(tài)誤差方程：,（27）,式(28)是一個(gè)關(guān)于 的齊次微分方程，其解為：,（29）,5.5.5 降維觀測(cè)器,以上介紹的觀測(cè)器是建立在對(duì)原系統(tǒng)模擬基礎(chǔ)上的，其維數(shù)和受控系統(tǒng)維數(shù)相同，稱全維觀測(cè)器。實(shí)際上，系統(tǒng)的輸出矢量y 總是能夠測(cè)量的。因此，可以利用系統(tǒng)的輸出矢量y 來(lái)直接產(chǎn)生部分狀態(tài)變量，從而降低觀測(cè)器的維數(shù)。,降維觀測(cè)

32、器設(shè)計(jì)分兩步進(jìn)行。第一，通過(guò)線性變換把狀態(tài)按能檢測(cè)性分解成 ，其中 維 ，需要重構(gòu)，而m維 可由y直接獲得。第二，對(duì) 構(gòu)造 維觀測(cè)器。,可以證明，若系統(tǒng)能觀，輸出矩陣c的秩是m，則它的m個(gè)狀態(tài)分量可由y直接獲得，那么，其余的 個(gè)狀態(tài)分量便只需用 維的降維觀測(cè)器進(jìn)行重構(gòu)即可。降維觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法很多

33、，下面介紹其一般設(shè)計(jì)方法。,5.6 利用狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋的系統(tǒng),5.6.1 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與狀態(tài)空間表達(dá)式,下圖是一個(gè)帶有全維狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)。,設(shè)能控能觀的受控系統(tǒng)∑0=(A，B，C)為：,（1）,將式(3)代入式(1)和式(2)整理或直接由結(jié)構(gòu)圖得整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：,（4）,寫(xiě)成矩陣形式為,（5）,這是一個(gè) 維的閉環(huán)控制系統(tǒng)。,5.6.2 閉環(huán)系統(tǒng)的基本特性,1.閉環(huán)極點(diǎn)設(shè)計(jì)的分離

34、性,閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)包括∑0直接狀態(tài)反饋系統(tǒng)∑K=(A+BK，B，C)的極點(diǎn)和觀測(cè)器∑G 的極點(diǎn)兩部分。但二者獨(dú)立，相互分離。,令變換矩陣為：,（7）,經(jīng)線性變換后的系統(tǒng) 為：,（8）,或者展開(kāi)成：,由于線性變換不改變系統(tǒng)的極點(diǎn)，因此，有：,2.傳遞函數(shù)矩陣的不變性,這個(gè)不變性表示用觀測(cè)器構(gòu)成的狀態(tài)反饋系統(tǒng)和狀態(tài)直接反饋系統(tǒng)具有相同的傳遞函數(shù)矩陣。,（9）,（10）,3.觀測(cè)器反饋與直接狀