《自動控制理論第3版》鄒伯敏課件第07章

1、2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),1,作者： 浙江大學(xué) 鄒伯敏 教授,自動控制理論,第七章,離散化控制系統(tǒng),普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),2,第一節(jié) 引言,如果在系統(tǒng)中一次或幾次的信號不是連續(xù)的模擬信號，而是在時(shí)間上離散的脈沖或數(shù)碼信號，這種系統(tǒng)稱為離散化控制系統(tǒng)。 由于這些離散信號是連續(xù)函數(shù)經(jīng)采樣后形成的，故又稱這類系統(tǒng)為采樣控制系統(tǒng)。,自動控制理論

2、,,圖7-1 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)方框圖,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),3,從A/D和D/A轉(zhuǎn)換器看模擬量與數(shù)字量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，且兩者有著確定的比例關(guān)系，因而圖7-1可以簡化為圖7-2,圖7-2 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng),圖7-3計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng),自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),4,,采取分時(shí)處理方式，用一臺計(jì)算機(jī)控制多個(gè)被控對象。,,,,圖7-4 計(jì)算機(jī)多路控制系統(tǒng),自動控制理論,2024/3/18,第七章

3、 離散化控制系統(tǒng),5,1）有利于系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)高精度2）有效地抑制噪聲，提高了系統(tǒng)抗擾動的能力3）不僅能完成復(fù)雜的控制任務(wù)，而且易于實(shí)現(xiàn)修改控制器的參數(shù)4）有顯示、報(bào)警等多種功能,自動控制理論,,計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn),分析離散系統(tǒng)的常用方法有兩種：Z變換法和狀態(tài)空間分析法。,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),6,第二節(jié) 信號的采樣與復(fù)現(xiàn),把連續(xù)信號變成脈沖或數(shù)字序列的過程叫做采樣，把采樣后的離散信號恢復(fù)為連續(xù)信號的過程

4、稱為信號的復(fù)現(xiàn)。,一、采樣過程,圖7-５信號的采樣,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),7,,式中：,，KT —脈沖出現(xiàn)時(shí)刻,（7-2）,（7-1）,圖7-６ 理想脈沖序列,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),8,圖7-7采樣脈沖的調(diào)制過程,考慮當(dāng)t<0時(shí)，f(t)=0，則有,（７-３）,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),9,,─　脈沖產(chǎn)生的時(shí)刻；,─　KT

5、時(shí)刻的脈沖強(qiáng)度；,把窄脈沖信號當(dāng)理想脈沖信號處理是近似的，也是有條件的。,二、采樣定理,設(shè)用于調(diào)制器載波的窄脈沖信號為 ；如圖7-8所示。用傅立葉級數(shù)表示為,（7-4）,（7-5）,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),10,其中,,若令,則,…,圖7-８ 矩形窄脈沖序列,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),11,圖7-９ 連續(xù)信號f*(t)與采樣后離散信號f*s(t),自動控制理論

6、,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),12,若令,則,或,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),13,圖7-10 f(t)及f*s(t)的頻譜圖,圖7-11 理想濾波器特性,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),14,圖7-８可知，相鄰兩頻譜不重疊交叉的條件是,香農(nóng)采樣定理,圖7-12 時(shí)的頻譜圖,香農(nóng)定理的物理意義是：采樣角頻率　　若滿足　　　　　，則　就含有連續(xù)信

7、號f(t)的全部信息，通過圖7-11所示的理想濾波器，則可把原信號f(t)不失真的復(fù)現(xiàn)。,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),15,如用理想脈沖序列采樣的離散化信號，其傅氏變換表達(dá)式,二、零階保持器,把采樣值按常數(shù)、線形函數(shù)和拋物線函數(shù)外推的保持器分別稱為零階、一階和二階保持器。,圖7-13 零階保持器的輸出特性,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),16,零階保持器( )是把kT時(shí)刻

8、的采樣值恒值地保持到下一采樣時(shí)刻（K+1）T。,由圖7-13(b)得,脈沖響應(yīng),傳遞函數(shù),頻率特性,把　　　　代入上式，得,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),17,圖7-15 由ZOH恢復(fù)的fh(t)信號,圖7-14 ZOH的幅頻和相頻特性,是一種近似的帶通濾波器,由　 恢復(fù)的函數(shù)　　比原函數(shù)　　在相位上要平均滯后,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),18,第三節(jié) Ｚ變換與Ｚ反

9、變換,一、Ｚ變換,設(shè)離散化信號,令　　　　，則,定義：,Ｚ變換的三種求法：,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),19,解：,例7-1 求：,１、級數(shù)求和法,當(dāng)　　　時(shí)，　　　　，則有,如果 ,則上式可寫為：,例7-2 求：,，,解：,如果 ,則：,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),20,2、部分分式法,例7-3 求 的Z變

10、換,解：,例7-4 求,解：,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),21,3、留數(shù)計(jì)算法,設(shè) 的拉氏變換為 ，且其為真有理式，令 為 的極點(diǎn)，則Z變換用下式求得,為 在 上的留數(shù)。,若 含有 的一階極點(diǎn)時(shí)，對應(yīng)的留數(shù)為：,若 含有 的q階重極點(diǎn)時(shí)，對應(yīng)的留數(shù)為：,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),22

11、,例7-5 已知,求,解,例7-6 試求 的Z變換,解,二、Ｚ變換的基本性質(zhì),自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),23,１、線性定理,證：,2、滯后定理,設(shè)t<0 時(shí), ； 則：,式中k、T均為常量。,證：,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),24,考慮到n<k， 則有 ：,延遲環(huán)節(jié),,圖7-17

12、 的滯后特性,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),25,3、超前定理,證：,如果,，則,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),26,4、終值定理,設(shè)f(t)的Z變換為F(z)，且F(z) 不含有z＝１的二重及以上的極點(diǎn)和單位圓外的極點(diǎn)，則F(t)的終值為,證：,５、復(fù)數(shù)移位定理,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),27,證：,令,，則：,6、卷積定理,設(shè)

13、, , 的Z變換分別為 , , 且當(dāng)t<0時(shí),,已知,則,證：,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),28,考慮到：,時(shí),則：,令：,當(dāng)k=0時(shí),,三、反變換,把 反變換為 的過程叫Z的反變換，記為,1、長除法,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),29,例7-8,求 的反變換,解,2、部分分式法,步驟:,將

14、分母 的多項(xiàng)式分解為因式,把 展開為部分分式,求各部分分式項(xiàng)的Z變換之和,例7-9,已知 求,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),30,或,k=0，1，2…,3、反演公式,例8-10,求 的Z反變換,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),31,解,或,第四節(jié) 脈沖傳遞函數(shù),脈沖傳遞函數(shù)定義：在零初始條

15、件下，輸出離散化信號的Z變換 與輸入離散化信號的Z變換 之比，即,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),32,圖7-18 脈沖傳遞函數(shù),令,則,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),33,當(dāng) t=kT 時(shí)，,考慮到 t<0 時(shí)，,則,由卷積定理得,離散化系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)就是該系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)采樣值的Z變換,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散

16、化控制系統(tǒng),34,圖7-19 脈沖響應(yīng),為使 能真實(shí)地反映C（t）,若在采樣開關(guān)后沒有設(shè)置ZOH ,則要求G（S）分母多項(xiàng)式S的階次至少高于其分子二階。,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),35,一. 串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù),圖7-20 串聯(lián)環(huán)節(jié)的兩種連接形式,所以,圖(a),自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),36,圖(b),例7-11,令圖7-20中的,試求(a)、(b)兩

17、種連接形式下的脈沖傳遞函數(shù),解：,圖(a),圖(b),例7-12, 求圖7-21a所示系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),37,自動控制理論,圖7-21 具有ZOH的脈沖傳遞函數(shù),解：,令,,則,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),38,二. 閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù),圖7-22 離散控制系統(tǒng),自動控制理論,所以,由于,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),39,對于單位反饋系統(tǒng),

18、圖7-23 具有數(shù)字控制器的離散系統(tǒng),自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),40,圖7-24 離散控制系統(tǒng),自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),41,例7-13, 求圖7-25所示系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù),自動控制理論,或,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),42,例7-14,求圖7-25所示系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),圖7-25 具有ZOH的離散控制系統(tǒng),圖中a=1,k=1,T=1s.,解

19、,把 代入,得,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),43,圖7-26 圖7-25所示系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),44,第五節(jié) 差分方程,一、差分定義,一階前向差分,二階前向差分,一階后向差分,二階后向差分,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),45,二、差分方程,圖7-28 離散控制系統(tǒng),當(dāng)t=kT時(shí),,由于,所

20、以,三、用Z變換求解差分方程,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),46,例7-15 求解下列差分方程,解：,已知,因?yàn)?所以,K=0,1,2…,例7-16 求解下列差分方程,已知,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),47,解：,已知 ,,將 代入方程得,,對方程等號兩邊取Z變換,得,其中,因?yàn)?所以,或,K=0,1,2…,自動控制理論,2024/3/18,

21、第七章 離散化控制系統(tǒng),48,,圖7-29 例7-16x(k+1)和x(k)的響應(yīng)曲線,四、用迭代法求解差分方程,例7-17 試用迭代法求解下列差分方程,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),49,解,例7-18 閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為,若,,,系統(tǒng)穩(wěn)定,系統(tǒng)不穩(wěn)定,求解系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),50,解,表7-3 式（7-53）求解的迭代過程,自動控制理

22、論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),51,第六節(jié) 離散控制系統(tǒng)的性能分析,一、穩(wěn)定性分析,令,,則,,閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn),若 ,即 的所有極點(diǎn)均位于Z平面上的單位圓內(nèi),則,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),52,1. S平面與Z平面間的對應(yīng)關(guān)系,自動控制理論,離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件:閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均位于Z平面上的單位圓內(nèi)。,2024/3/18,第七章

23、離散化控制系統(tǒng),53,設(shè),,,,,則,ω平面上的虛軸,,即,自動控制理論,圖7-31 s平面向z平面的映射,2. 勞斯穩(wěn)定判據(jù),令,或,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),54,圖7-31 z平面向w平面的映射,經(jīng)ω變換后,離散化系統(tǒng)特征方程一般形式為,自動控制理論,Z平面上單位圓的內(nèi)域 對應(yīng)ω左半平面；,Z平面上單位圓的外域 對應(yīng)ω右半平面。,結(jié)論,Z平面上單位圓的圓周對應(yīng)ω平面的虛

24、軸的虛軸；,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),55,例7-19 已知 ,試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定該系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K值范圍。,圖7-32 離散控制系統(tǒng),解,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),56,令,代入上式,勞斯表,0.316,1.264,2.376-0.316k,0,2.376-0.316k,2.376-0.316k > 0, 0 < k < 0.866,

25、采樣具有降低系統(tǒng)穩(wěn)定性作用。,二、閉環(huán)極點(diǎn)與瞬態(tài)響應(yīng)的關(guān)系,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),57,設(shè),令,則,假設(shè) 無重極點(diǎn),則,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),58,1、實(shí)數(shù)極點(diǎn),位于單位圓內(nèi)正實(shí)軸上極點(diǎn)對應(yīng)的瞬態(tài)分量是一個(gè)單調(diào)的衰減過程，而位于圓內(nèi)負(fù)實(shí)軸上極點(diǎn)對應(yīng)的瞬態(tài)分量是正負(fù)交替變化的衰減過程。,2、共軛極點(diǎn),設(shè)一對共額極點(diǎn)為,令,自動控制理論,2024/3/18,

26、第七章 離散化控制系統(tǒng),59,圖7-33 s、z平面上的極點(diǎn)分布及其對應(yīng)的脈沖響應(yīng),自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),60,下面分析S平面上不同閉環(huán)極點(diǎn)與其脈沖響應(yīng)間的對應(yīng)關(guān)系。,⑴,圖7-33a中示出了實(shí)部不同，虛部均為 的4對共軛極點(diǎn)和4個(gè)實(shí)極點(diǎn)。,圖7-33a中所示的極點(diǎn)均映射到Z平面的正實(shí)軸上，為圖7-33b所示。,在一個(gè)完整的振蕩周期內(nèi)只采一次，因而采樣后的脈沖序列不能反映原有脈沖響應(yīng)的變化規(guī)律

27、。,⑵,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),61,圖7-34 s、z平面上的極點(diǎn)分布及其對應(yīng)的脈沖響應(yīng),由于,即,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),62,在一個(gè)完整的振蕩周期內(nèi)，每隔180°采一次，采樣后的輸出為正負(fù)交替的脈沖序列。,⑶,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),63,圖7-35 s、z平面上的極點(diǎn)分布與其脈沖響應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系,自動控制理論,20

28、24/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),64,在一個(gè)完整的振蕩周期內(nèi)，采樣的次數(shù)分別為8次，4次和3次，,閉環(huán)極點(diǎn)盡可能配置在Z平面上單位圓內(nèi)正實(shí)軸的附近，且距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離越小越好。,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),65,三、離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,圖7-36 離散控制系統(tǒng),自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),66,條件：系統(tǒng)穩(wěn)定，且 不含Z=1的二重及二重以上極點(diǎn)。,1、階躍

29、輸入,,靜態(tài)位置誤差系數(shù),0 型系統(tǒng)：,其中 為常數(shù),Ⅰ 型和Ⅱ型系統(tǒng)：,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),67,2、斜坡輸入,,靜態(tài)位置誤差系數(shù),其中,0 型系統(tǒng)：,Ⅰ 型系統(tǒng)：,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),68,,Ⅱ 型系統(tǒng)：,3、拋物線函數(shù)輸入 ，,,靜態(tài)加速度誤差系數(shù),其中,自動控制理論,Ⅱ 型系統(tǒng)：,0 型、Ⅰ 型系統(tǒng)：,2024/3/18,

30、第七章 離散化控制系統(tǒng),69,第七節(jié) 離散控制系統(tǒng)的數(shù)字校正,數(shù)字控制器脈沖函數(shù)D(z),,,,設(shè)一離散控制系統(tǒng)如圖7-37所示。圖中，D(z)為數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)，G(s)為零階保持器與被控對象的廣義傳遞函數(shù)。由圖7-37求得該系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。,圖7-37 離散控制系統(tǒng),自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),70,根據(jù)式（7-68）和式（7-69），求得數(shù)字控制器脈沖傳遞函數(shù)D（z）的兩種表示

31、形式：,由式（7-68）和式（7-69）可知,由此得出離散系統(tǒng)數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)步驟是:,根據(jù)對離散系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求,確定閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)T（z）和Te（Z） 按式（7-70）或式（7-71）設(shè)計(jì)數(shù)字控制器D（z）,上述僅是從理論上導(dǎo)求數(shù)字控制器，要使所求的D（z）能在實(shí)際中能付諸實(shí)施，還必須滿足下列條件：,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),71,D（z）必須是穩(wěn)定的。 D（z）必須滿足物理上可實(shí)現(xiàn)的條件。

32、,最少拍系統(tǒng)的基本概念,,最少拍系統(tǒng)是指在典型輸入信號作用下,能以有限拍的時(shí)間結(jié)束其響應(yīng)過程。并在采樣點(diǎn)上實(shí)現(xiàn)無穩(wěn)態(tài)誤差。,圖7-38 s平面與z平面的映射關(guān)系,由S平面與Z平面間的映射關(guān)系可知：S平面虛軸左方的等δ線，映射到Z平面上是一半徑為 ，圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)的圓，如圖7-38所示。當(dāng) 時(shí), ，即閉環(huán)極點(diǎn)位于Z平面的坐標(biāo)原點(diǎn),處，相當(dāng)于連續(xù)系統(tǒng)的極點(diǎn)位于S平面左半平面的無窮遠(yuǎn)處，這

33、種系統(tǒng)能以最短的時(shí)間到達(dá)穩(wěn)態(tài)值，故稱其為最少拍控制系統(tǒng)。,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),72,設(shè)離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為,當(dāng)T(z)所有的極點(diǎn)均位于z平面的坐標(biāo)原點(diǎn)處，則系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式為,（7-73）,這樣式（7-73）就簡化為,（7-74）,對式(7-74)取z的反變換，求得系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的序列。,（7-75）,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),73,這表示其單位

34、脈沖響應(yīng)的瞬態(tài)過程式能以n拍有限時(shí)間結(jié)束。其中，n為閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)。,最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì),單位階躍函數(shù)，單位斜坡函數(shù)和單位加速度函數(shù)的z變換表達(dá)式分別為,（7-76）,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),74,式中，A（z）為不含有（1-z-1）因子的z-1的多項(xiàng)式，m為正整數(shù)。最少拍系統(tǒng)的數(shù)字控制器D（z）是在滿足下列條件下求得：,1） 系統(tǒng)的廣義被控對象G（z）中不含有延遲因子z-1，且在z平面的單位

35、圓上和圓外均無零、極點(diǎn)。 2） 要求所選擇的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)T（z）能滿足系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，經(jīng)過有限個(gè)采樣周期后，系統(tǒng)的輸出就能以無穩(wěn)態(tài)誤差跟蹤輸入信號。,由式（7-69）可知,（7-77）,根據(jù)終值定理，得,（7-78）,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),75,下面具體討論在3種典型輸入信號作用下的最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)。,（1）單位階躍函數(shù)輸入,于是由式（7-70）求得,系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為,自動控制理

36、論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),76,圖7-39a為最少拍系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。,（2）單位斜坡函數(shù)輸入,據(jù)此，求得系統(tǒng)對應(yīng)的D（z）為,系統(tǒng)的輸出,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),77,自動控制理論,或?qū)懽?圖3-39b為最少拍系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)序列,（3）單位加速度函數(shù)輸入,據(jù)此，求得系統(tǒng)對應(yīng)的D(z)為,系統(tǒng)的輸出,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),78,圖7-39c為最

37、少拍系統(tǒng)單位加速度函數(shù)的響應(yīng)序列,圖7-39 最少拍系統(tǒng)的響應(yīng)曲線,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),79,最少拍系統(tǒng)對于不同的典型輸入信號，對其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和相應(yīng)的數(shù)字控制器的要求見表7-5,表7-5 最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)的總結(jié),自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),80,結(jié)論：,最少拍系統(tǒng)不僅動態(tài)響應(yīng)快，而且無穩(wěn)態(tài)誤差，其設(shè)計(jì)方法簡單，所求的數(shù)字控制器D（z）易于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。最少

38、拍系統(tǒng)是針對某一典型輸入信號而設(shè)計(jì)，因而所求的數(shù)字控制器D（z）只適用于該輸入信號，對于其他的輸入信號，系統(tǒng)就不再具有最少拍系統(tǒng)的特性，因而這種設(shè)計(jì)方法對輸入信號的適應(yīng)性較差。,例7-20 現(xiàn)有一按單位斜坡輸入設(shè)計(jì)的最少拍系統(tǒng)，由表7-5可知，其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為,檢驗(yàn)該系統(tǒng)在單位階躍和單位加速度信號輸入時(shí)的響應(yīng)特性。,解 單位階躍輸入為,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),81,即,系統(tǒng)的輸出為,單位加

39、速度輸入為,即,圖7-40和圖7-41所示分別為單位階段躍和單位加速度函數(shù)輸入時(shí)的系統(tǒng)輸出響應(yīng)序列,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),82,圖7-41,圖7-40,（3）最少拍系統(tǒng)對參數(shù)的變化很敏感，另導(dǎo)致系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)偏離z平面的坐標(biāo)原點(diǎn)，使系統(tǒng)的性能變壞。,（4）最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)只能保證在采樣點(diǎn)上的誤差為零，但不能使采樣點(diǎn)間的誤差為零，即系統(tǒng)存在著紋波。圖7-42中的虛線為在單位斜坡輸入下最少拍系統(tǒng)的實(shí)際

40、響應(yīng)曲線。,圖7-42,例7-21,已知一離散控制系統(tǒng)如圖7-43所示。其中K=10，Tm=1s,采樣周期T=1s。要求該系統(tǒng)在r(t)=t輸入時(shí)，實(shí)現(xiàn)最少拍控制。,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),83,求數(shù)字控制器D（z）；分析該系統(tǒng)輸出信號中有紋波的原因。,圖7-43 例7-21中的離散控制系統(tǒng),解,（1）由表7-5可知，系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)應(yīng)為,而,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散

41、化控制系統(tǒng),84,則由工（7-70）得,（2）因?yàn)?所以零階保持器的輸入為,即,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),85,該系統(tǒng)相關(guān)點(diǎn)的波形如圖7-44～圖7-46所示。,數(shù)字控制器D（z）的實(shí)現(xiàn),,最少拍控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)是與輸入信號R(z)的形式、廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)G(z)以及對輸出有無紋波的要求有關(guān)。為了能設(shè)計(jì)出穩(wěn)定的物理上可實(shí)現(xiàn)的最少拍控制系統(tǒng)的數(shù)字控制器D(z)必須按如下提出的要求去選擇T(z)和Te(

42、z)由式（7-70）得,（7-79）,根據(jù)式（7-79），提出下列要求：,1）為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，T(z)和Te(z)不能含有z平面上單位圓上和單位圓外的極點(diǎn)。,2）若G(z)中含有延遲因子z-r，則需選擇T(z)的分子部分要含有與G(z)完全相同的延遲因子z-r。,3） T(z)需把G(z)在單位圓上和單位圓外的零點(diǎn)作為自己的零點(diǎn)。,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),86,4） D(z)的極點(diǎn)數(shù)必須大于或等于其

43、零點(diǎn)數(shù)。,圖7-45,圖7-46,自動控制理論,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),87,第八節(jié) MATLAB在離散控制系統(tǒng)中的應(yīng)用,自動控制理論,用MATLAB對離散系統(tǒng)進(jìn)行分析與設(shè)計(jì)，有如下的優(yōu)點(diǎn)：,1）離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的判別可由MATLAB直接求出閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根，或在z平面上直接畫出閉環(huán)極點(diǎn)來回答。,2）應(yīng)用Simulink直接對離散系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)的調(diào)整與仿真，通過輸出響應(yīng)曲線可直觀地看到系統(tǒng)校正前后性能的變

44、化。顯然，用這種方法有利于設(shè)計(jì)出性能優(yōu)良的離散系統(tǒng)。,一、數(shù)學(xué)模型的處理,1. 求z變換和z反變換,MATLAB Toolbox工具箱中的指令ztrans和iztrans分別用于求取時(shí)間函數(shù)的z變換和z反變換。求取時(shí)間函數(shù)f(t)的z變換可用指令,F=ztrans(f),2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),88,自動控制理論,求取F(z)的z反變換的指令為,F=iztrans(F),例7-22 （1）求單位斜坡函數(shù)f(

45、t)=t的z變換,（2）求F(z)=z/3z2-4z+1的z反變換,解 1）在MATLAB命令窗口中鍵入指令：,Syms t T;Ztrans(t*T);,運(yùn)行結(jié)果為,Ans=T*z/(z-1)^2,2）在MATLAB命令窗口中鍵入指令：,Syms z;F=z/(3*z^2-4*z+1);f=iztrans(F);,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),89,自動控制理論,運(yùn)行結(jié)果為,Ans=1/2-1/2*（1/3

46、）^n,2. 模型轉(zhuǎn)換,將連續(xù)系統(tǒng)模型G(s)轉(zhuǎn)換為離散系統(tǒng)的模型G(z)，可用指令c2d來實(shí)現(xiàn)，其格式為 sysd=c2d(sys,T)或 sysd=c2d(sys,T,method),前一種格式表示對連續(xù)對象sys離散化，且有零階保持器，采樣周期為T。后一種格式比前一種格式多了用“method”定義離散化的方法?！癿ethod”可為以下字

47、符串之一：,‘zoh’——零階保持器; “foh”——一階保持器;‘tustin’——雙線性逼近（tusin）方法;‘prewarp’——采用改進(jìn)fusin方法;,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),90,自動控制理論,反之，要實(shí)現(xiàn)由離散系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)換為連續(xù)系統(tǒng)的模型，可以使用指令d2c，其格式為 sys=d2c(sysd,T,method),例7-23 已知G(s)=1/s(s

48、+1)，T=1s，求G（z）。,Sys=tf([1],[1 1 0]);C2d(sys,1),運(yùn)行結(jié)果略。,二、離散系統(tǒng)的輸出響應(yīng),1. 輸入函數(shù)的MATLAB表示,1）單位階躍輸入,若令k=100，T=1s，則在MATLAB中表示為,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),91,自動控制理論,2）單位斜坡輸入,若取k=50，則在MATLAB中表示為,3）單位加速度函數(shù)輸入,若取k=10，T=0.2s，則在MATLAB中表示為,

49、2. 求離散系統(tǒng)的輸出響應(yīng),設(shè)離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為,令輸入信號為r，則可用指令,Y=filter(num,den,r),求取系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),92,自動控制理論,例7-24 已知一離散控制系統(tǒng)如圖7-47所示。若令K=1，T=1s，r(t)=1(t)，求系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。,圖7-47 例7-24中的離散控制系統(tǒng),解 由傳遞函數(shù)G(s)的z變換G(z)，求得該系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

50、,%MATLAB程序如下Num=[0.632 0];Dem=[1,-0.732,0.368];U=ones(1,51);K=0:50;Y=filter(num,den,u);Plot(k,y),grid;Xlabel(‘k’);ylabel(‘y(k)’);,運(yùn)行結(jié)果如圖7-48所示。,圖7-48 圖7-47所示系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),93,自動控制理論,例7-25 一具有零階

51、保持器的離散控制系統(tǒng)如圖7-49所示，令r(t)=1(t)。采樣周期T=1s，求該系統(tǒng)的的輸出響應(yīng)。,圖7-49 例7-25中的離散控制系統(tǒng),解 令輸入u=ones(1,51),%MATLAB程序如下G=tf([1],[1 1 0]);D=c2d(g,1);Cd=d/(1+d);Cd1=minreal(cd);[num,den]=tfdata(cd1,’v’);U=ones(1,51);K=0:50;Y=fil

52、ter(num,den,u);Plot(k,y),grid;Xlabel(‘k’);ylabel(‘y(k)’);,運(yùn)行結(jié)果如圖7-49所示。,圖7-50 圖7-49所示系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),94,自動控制理論,例7-26 設(shè)某一單位反饋離散控制系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為,試求：（1） 系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)； （2）系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。,解 %MATLAB程序,%MATL

53、AB程序如下Numq=[0.264];denq=[1 -1.368 0.368];Numf=[1];denf=[1];[numb,denb]=feedback(numq,denq,numf,denf);Dstep(numb,denb);Title(‘disctrete step response’);Figure(2);[z,p,k]=tf2zp(numb,denb);Zplane(z,p);Title(‘disc

54、rete pole-zero map’);,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),95,自動控制理論,[z,p,k]=tf2zp(num,den);P=0.6840+0.4051i0.6840-0.4051i;K=0.2640,運(yùn)行結(jié)果分別如圖7-51和圖7-52所示。,圖7-52 例7-26中系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),圖7-51 例7-26中系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn),2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),96,自動控制理

55、論,三、用simulink對離散系統(tǒng)進(jìn)行仿真,例7-27 已知一離散控制系統(tǒng)如圖7-53所示，圖中含零階保持器在內(nèi)的廣義對象脈沖傳遞函數(shù)為,按輸入r(t)=t，設(shè)計(jì)的最少拍系統(tǒng)數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù),試求系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。,圖7-53 例7-27中的離散控制系統(tǒng),解 在simulink環(huán)境下構(gòu)建系統(tǒng)的結(jié)果如圖7-54所示，仿真的結(jié)果如圖7-55所示。,2024/3/18,第七章 離散化控制系統(tǒng),97,自動控制理論,圖7-54 例