自動控制理論鄒伯敏第三版第03章

1、2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,1,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,第一節(jié) 典型的測試信號第二節(jié) 一階系統(tǒng)的時域響應(yīng)第三節(jié) 二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)第四節(jié) 高階系統(tǒng)的時域響應(yīng)第五節(jié) 線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性第六節(jié) 勞斯穩(wěn)定判據(jù)第七節(jié) 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,2,第一節(jié) 典型的測試信號,典型的測試信號一般應(yīng)具備兩個條件,自動控制理論,（1）信號的

2、數(shù)學(xué)表達式要簡單（2）信號易于在實驗室中獲得,一、階躍輸入,圖3-1 典型試驗信號a) 階躍信號 b) 斜坡信號 c) 等加速度信號,,二、斜坡信號,(3-1),2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,3,四、脈沖信號,自動控制理論,圖3-2,三、等加速度信號,等加速度信號是一種拋物線函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達式為,五、正弦信號,正弦信號的數(shù)學(xué)表達式為,2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,4,第二節(jié) 一階系

3、統(tǒng)的時域響應(yīng),一階系統(tǒng)的方框圖如圖3-3所示，它的傳遞函數(shù)為,圖3-3 一階系統(tǒng)的框圖a) 一階系統(tǒng)框圖 b) 等效框圖,一、單位階躍響應(yīng),自動控制理論,2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,5,表示階躍 響應(yīng)曲線 C(t)上升到其終值的63.2%時，對應(yīng)的時間就是系統(tǒng)的時間常數(shù)T,二、單位斜坡響應(yīng),自動控制理論,2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,6,三、單位脈沖響應(yīng),線性定常系統(tǒng)的性質(zhì),（1）

4、一個輸入信號導(dǎo)數(shù)的時域響應(yīng)等于該輸入信號的時域響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)（2）一個輸入信號積分的時域響應(yīng)等于該輸入信號的時域響應(yīng)的積分,結(jié)論：了解一種典型信號的響應(yīng)，就可知道其它信號作用下的響應(yīng)。,,自動控制理論,2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,7,第三節(jié) 二階系統(tǒng)的時域響應(yīng),一、傳遞函數(shù)的推導(dǎo),圖3-6 位置隨動系統(tǒng)原理圖,自動控制理論,圖3-6中:,2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,8,圖3-7 圖3-6

5、所示系統(tǒng)的框圖a) 圖3-6所示系統(tǒng)的框圖 b) 系統(tǒng)的簡化框圖,二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),標(biāo)準(zhǔn)形式：,自動控制理論,2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,9,圖3-8 二階系統(tǒng)的框圖,1、,自動控制理論,其拉氏反變換為:,2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,10,或?qū)懽?2、,自動控制理論,其拉氏反變換為:,2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,11,3、,二階過阻尼系統(tǒng)的近似

6、處理,自動控制理論,圖3-9 二階系統(tǒng)的實極點,2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,12,近似計算值：,三、二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的性能指標(biāo),1、上升時間,當(dāng)被控制量c(t)首次由零上升到其穩(wěn)態(tài)值所需的時間，稱上升時間tr。,自動控制理論,2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,13,求得：,2、峰值時間,瞬態(tài)響應(yīng)第一次出現(xiàn)峰值的時間叫峰值時間,用tp表示,自動控制理論,簡化上式，求得,因為：,圖3-13 二

7、階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo),2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,14,3、超調(diào)量Mp,4、調(diào)整時間ts,階躍響應(yīng)曲線開始進入偏離穩(wěn)態(tài)值± Δ的誤差范圍(一般Δ為5%或2%),并從此不現(xiàn)超越這個范圍的時間稱為系統(tǒng)的調(diào)整時間,用ts表示之。,自動控制理論,圖3-14 二階系統(tǒng)的Mp與 關(guān)系曲線,2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,15,求得：,近似計算：,5、穩(wěn)態(tài)誤差,自動控制理論,2024/3/1

8、9,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,16,四、二階系統(tǒng)階的動態(tài)校正,1、比例微分(PD)校正,由圖3-7b可知，校正前系統(tǒng)的特征方程為：,圖3-15 具有PD校正的二階系統(tǒng),對應(yīng)的,加上PD校正后，系統(tǒng)特征方程為：,自動控制理論,于是有：,2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,17,2、測速反饋校正,自動控制理論,調(diào)節(jié)Kp值,使之滿足穩(wěn)態(tài)誤差ess要求,然后調(diào)節(jié)Kp值使之滿足 的要求。,2024/3/19,第三章 控

9、制系統(tǒng)的時域分析,18,例3-1,圖3-18 控制系統(tǒng)的框圖,圖3-19 圖3-18的等效圖,解：,據(jù)此畫出圖3-19所示的方框圖。,自動控制理論,2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,19,第四節(jié) 高階系統(tǒng)的時域響應(yīng),設(shè)高階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式,自動控制理論,一、高階系統(tǒng)的時域響應(yīng),2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,20,求拉氏反變換，得：,高階系統(tǒng)時域響應(yīng)的瞬態(tài)分量是由一階和二階系統(tǒng)的時域

10、響應(yīng)函數(shù)組成，其中控制信號的極點所對應(yīng)的拉氏反變換為系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量，傳遞函數(shù)極點所對應(yīng)的拉氏反變換為系統(tǒng)響應(yīng)的瞬態(tài)分量。,由此可知,自動控制理論,（3-45）,如果所有的閉環(huán)極點均有負(fù)實部，由式(3-45)可知，隨著時間的推移，式中所有的瞬態(tài)分量將不斷地衰減，當(dāng)時間 時，該式等號右方只剩下控制信號極點所確定的穩(wěn)態(tài)分量A0項。這表示在過渡過程結(jié)束后，系統(tǒng)的被控制量僅與控制量有關(guān)。這種閉環(huán)極點均位于s左半平面的系統(tǒng)稱

11、為穩(wěn)定系統(tǒng)。穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能正常工作的必要條件，有關(guān)這方面的內(nèi)容，將在本章第五節(jié)中作專題闡述。,2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,21,自動控制理論,二、閉環(huán)主導(dǎo)極點,對于穩(wěn)定的的高階系統(tǒng)，其瞬態(tài)響應(yīng)不僅與其閉環(huán)極點有關(guān)，而且也與其零點有關(guān)。即系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的類型（指數(shù)型或振蕩型）系統(tǒng)調(diào)整時間的長短主要取決于最靠近虛軸的閉環(huán)極點（假設(shè)它們附近沒有閉環(huán)零點）；如果系統(tǒng)所有的閉環(huán)極點均遠于虛軸，則系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)分量就

12、衰減得很快，從而大大縮短了系統(tǒng)的過渡時間。不難看出，閉環(huán)零點只影響瞬態(tài)分量幅值的大小正負(fù)和符號的正負(fù)。,如果系統(tǒng)中有一實數(shù)極點(或一對復(fù)數(shù)極點)距虛軸最近,且其附近沒有閉環(huán)零點；而其他閉環(huán)極點與虛軸的距離都比這個（或這對）極點與虛軸的距離大5倍以上，則此系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)可近似地視為由這個（或這對）極點所產(chǎn)生。這是因為這種極點所決定的瞬態(tài)分量不僅持續(xù)時間最長，而且其初值幅值也大，充分體現(xiàn)了它在系統(tǒng)響應(yīng)中的主導(dǎo)作用，故稱其這系統(tǒng)的

13、主導(dǎo)極點。,2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,22,解：,用部分分式法將上式展開，由拉氏反變換得,顯然，由極點s3=-15產(chǎn)生的瞬態(tài)響應(yīng)項一僅幅值小，而且衰減得快，因而對系統(tǒng)的輸出響應(yīng)很小，故可把它略去。于是，系統(tǒng)的輸出可近似地用下式表示：,例3-3 已知一系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,自動控制理論,三、偶極子,如果閉環(huán)系統(tǒng)的一個零點與一個極點彼此十分靠近，人們常稱這樣的閉環(huán),2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域

14、分析,23,自動控制理論,零、極點為偶極子。不難證明，只要偶極子不十分靠近坐極原點，則它們對系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的影響就很小，因而可忽略它們的存在。,例3-4 已知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,式中 。求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。,（3-46）,解：該系統(tǒng)有一對復(fù)數(shù)極點 、一個實數(shù)極點 和一個實數(shù)零點 。,1）假設(shè)實數(shù)極點 不十分靠近坐標(biāo)原點，且令

15、 ，使實數(shù)極點和零點十分靠近，以構(gòu)成一對偶極子，則式（3-46）所示系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為,2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,24,自動控制理論,考慮到 ，上式經(jīng)簡化得,（3-47）,（3-48）,基于上述對a和 的假設(shè)，式（3-47）可進一步近似表示為,由式（3-48）可知，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)主要由一對主導(dǎo)極點決定，偶極子對系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的影響十分微小，故可略去不計。,假設(shè)

16、 ，即一對偶極子十分靠近坐標(biāo)原點，則式（3-47）可改寫為,由于 的值是可比的，故 項不能略去。綜上所述，得出如下結(jié)論：,① 如果偶極子不靠近坐標(biāo)原點，則它們對系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)可略去不計② 如果偶極子十分靠近坐標(biāo)原點，則應(yīng)考慮它們對系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的影響，但不會改變主導(dǎo)極點的作用。,2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,25,第五節(jié) 線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性,系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件,設(shè)一線性定常系統(tǒng)原處于某一平衡狀態(tài)

17、，若它在瞬間受到某一擾動而偏離了原有的平衡狀態(tài)。當(dāng)此擾動撤消后，系統(tǒng)借助于自身的調(diào)節(jié)作用，如能使偏差不斷的減小，最后仍能回到原來的平衡狀態(tài)，則稱此系統(tǒng)是穩(wěn)定的，反之，則稱為不穩(wěn)定。如圖3-22所示。,穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一種固有特性，它與輸入信號無關(guān)只取決其本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù),,用系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù) 來描述系統(tǒng)的穩(wěn)定性,如果,則系統(tǒng)是穩(wěn)定的,自動控制理論,圖3-22 穩(wěn)定與不穩(wěn)定系統(tǒng)的響應(yīng)曲線,2024/3/19,第三章 控制系

18、統(tǒng)的時域分析,26,,若 ，表示方程的所有根全位于S平面的左方，這是系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。它不僅是零輸入時系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，而且也是在給定信號作用下系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件,自動控制理論,（3-49）,2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,27,系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件,令控制系統(tǒng)特征方程為,如果式（3-51）的根都是負(fù)實根和實部為負(fù)的復(fù)數(shù)根，則方程中各項系數(shù)均為正值，且無零系數(shù)。對此說明如下：,,自動控制理論,（3

19、-51）,2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,28,對于一階和二階系統(tǒng)，其特征方程式的多項系數(shù)全為正值是系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件。對三階及三階以上系統(tǒng)，特征方程的多項系數(shù)均為正值僅是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件而非充分條件。,,結(jié)論,自動控制理論,由于上式等號右方所有因式的系數(shù)都為正值，因而它們相乘后S的多次項示數(shù)必然都為正值，且不會有零系數(shù)出現(xiàn)。,2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,29,第六節(jié) 勞斯穩(wěn)定判據(jù),

20、令系統(tǒng)特征方程為,排勞斯表：,自動控制理論,2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,30,結(jié)論,（1）若勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值,則系統(tǒng)穩(wěn)定（2）如果表中第一列的系數(shù)有正、負(fù)符號變化，其變化的次數(shù)等于該特征方程式的根在S右半平面上的個數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定,,例3-5 一調(diào)速系統(tǒng)的特征方程為,由于該表第一列系數(shù)的符號變化了兩次，所以該方程中有二個根在S的右半平面，因而系統(tǒng)是不穩(wěn)定的,例3-6 已知系統(tǒng)的特征方程為,

21、自動控制理論,2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,31,求系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍,欲使系統(tǒng)穩(wěn)定則應(yīng)滿足,排勞斯表時，有兩種可能出現(xiàn)的特殊情況：,,1）勞斯表中某一行中的第一項等于零，而該行的其余各項不全為零。解決的辦法是以一個很小正數(shù)ε來代替為零的這項。然后完成勞斯表的排列。,自動控制理論,解不等式組得：,2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,32,結(jié)論：,如果第一列ε上面的系數(shù)與下面的系數(shù)符號相同，則表示方程

22、中有一對共軛虛根存在；如果第一列系數(shù)中有符號變化，其變化的次數(shù)等于該方程在S平面右半面上根的數(shù)目。,例3-7 已知系統(tǒng)的特征方程為,，試判別相應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,解： 列勞斯表,方程中有對虛根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。,例3-8 已知系統(tǒng)的特征方程為,，試用勞斯判據(jù)確定方程式的根在S平面上的具體分布,自動控制理論,2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,33,解： 列勞斯表,2）如果勞斯表的某一行中所有的系數(shù)都為零，則表示相應(yīng)方程中含有一些

23、大小相等，徑向位置相反的根。,結(jié)論：有兩個根在S的右半平面。,例：,勞斯列表：,自動控制理論,2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,34,例3-9 用勞斯判據(jù)檢驗下列方程,是否有根在S的右半平面上，并檢驗有幾個根在垂直線S=-1的右方？,自動控制理論,2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,35,解：列勞斯表,有一個根在垂直線S=-1的右方。,自動控制理論,2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析

24、,36,第七節(jié) 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,穩(wěn)態(tài)誤差的定義,圖3-24 控制系統(tǒng)框圖,給定輸入下的穩(wěn)定誤差,,,自動控制理論,2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,37,1、階躍信號輸入,——靜態(tài)位置誤差系數(shù),2、斜坡信號輸入,圖3-25 Ⅰ型系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入響應(yīng),自動控制理論,2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,38,3、拋物線信號輸入,圖3-26 Ⅱ型系統(tǒng)跟蹤拋物線輸入響應(yīng),自動控制理論,2024/3/19,

25、第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,39,,擾動作用下的穩(wěn)定誤差,圖3-27 閉環(huán)控制系統(tǒng),自動控制理論,2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,40,1、0型系統(tǒng)(v=0),2、Ⅰ型系統(tǒng)(v=1),1）,自動控制理論,2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,41,2）,3、∏型系統(tǒng)(v=2),1）,自動控制理論,2）,3）,2024/3/19,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析,42,提高系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度的方法,,1、對擾