下冊(cè)-分析力學(xué)基礎(chǔ) 1

1、第一章 分析力學(xué)基礎(chǔ),,,,分析力學(xué)基礎(chǔ),分析力學(xué) —從十八世紀(jì)開(kāi)始，出現(xiàn)與矢量力學(xué)并駕齊驅(qū)的另一力學(xué)體系 —特點(diǎn)是對(duì)能量與功的分析代替對(duì)力與力矩的分析 —由拉格朗日于1788年奠定的，以拉格朗日方程為基礎(chǔ)的分析力學(xué)，稱為拉格朗日力學(xué) —1834年哈密頓將拉格朗日第二類方程變成一種正則形式，將動(dòng)力學(xué)基本原理歸納為變分形式的哈密頓原理，從而建立了哈密爾頓力學(xué),,分析力學(xué)基礎(chǔ),分析力學(xué)

2、方法1：拉格朗日第一類方程 —在理想約束力與約束方程間建立起一種直接的關(guān)系，避免未知理想約束力的出現(xiàn)。 —矢量力學(xué)一般方法程式化更為明顯的動(dòng)力學(xué)方程分析力學(xué)方法2：拉格朗日第二類方程 —從獨(dú)立坐標(biāo)出發(fā)，利用純數(shù)學(xué)分析方法，將用獨(dú)立坐標(biāo)描述的動(dòng)力學(xué)方程利用統(tǒng)一的原理與公式進(jìn)行表達(dá) —克服了在矢量力學(xué)中建立這種方程依賴技巧的缺點(diǎn),,分析力學(xué)基礎(chǔ),分析力學(xué)的兩個(gè)基本原理達(dá)朗貝爾原理—利用達(dá)朗貝爾原理處理動(dòng)力學(xué)的瞬

3、時(shí)問(wèn)題虛位移原理—利用虛位移原理處理靜力學(xué)的問(wèn)題在此基礎(chǔ)上導(dǎo)出拉格朗日第一類方程與拉格朗日第二類方程,,分析力學(xué)基礎(chǔ),實(shí)際中遇到的問(wèn)題：1、汽車(chē)減震問(wèn)題,1893年生產(chǎn)的轎車(chē),1904年生產(chǎn)的轎車(chē),,分析力學(xué)基礎(chǔ),1、汽車(chē)減震問(wèn)題,,分析力學(xué)基礎(chǔ),實(shí)際中遇到的問(wèn)題：一、汽車(chē)減震問(wèn)題,結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的CAD,,分析力學(xué)基礎(chǔ),,分析力學(xué)基礎(chǔ),,分析力學(xué)基礎(chǔ),三、航天器飛行的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題,,分析力學(xué)基礎(chǔ),,分析力學(xué)基礎(chǔ),結(jié)構(gòu)特點(diǎn)-

4、研究對(duì)象由多個(gè)物體組成（剛體、柔性體） -結(jié)構(gòu)復(fù)雜 運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)-剛體的運(yùn)動(dòng)不僅僅是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng) 實(shí)驗(yàn)手段的特點(diǎn)-不僅有物理實(shí)驗(yàn)還有計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn) 研究方法的特點(diǎn) -多學(xué)科交叉（數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)、計(jì)算機(jī)）,,§ 1-1 自由度和廣義坐標(biāo),廣義坐標(biāo)：描述質(zhì)點(diǎn)系在空間中位置的獨(dú)立參數(shù),自由度：廣義坐標(biāo)的數(shù)目即在雙側(cè)、完整約束的條件下，確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目,,N自由度數(shù),S完整約束數(shù),,&#

5、167; 1-1 自由度和廣義坐標(biāo),確定系統(tǒng)的自由度數(shù),兩個(gè)約束方程：,,§ 1-1 自由度和廣義坐標(biāo),確定系統(tǒng)的自由度數(shù),,§ 1-1 自由度和廣義坐標(biāo),考慮由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)受s個(gè)完整雙側(cè)約束,為系統(tǒng)的一組廣義坐標(biāo),各質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)表示為：,由等時(shí)變分運(yùn)算確定第 i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的虛位移：,廣義虛位移： 為廣義坐標(biāo) 的變分，稱為廣義虛位移，由約束方程

6、求出,,§ 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件,主動(dòng)力所作虛功的和為：,變換求和順序,,,考慮功是力與位移的乘積，因此稱Qk為對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)qk的廣義力。Qk的量綱由廣義坐標(biāo)確定。,,§ 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件,根據(jù)虛功原理：對(duì)于具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在給定位置平衡的必要和充分條件是，主動(dòng)力系在質(zhì)點(diǎn)系的任意虛位移中所作虛功之和等于零。,,具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在給定位置平衡的必要和充分條件是

7、，對(duì)應(yīng)于每個(gè)廣義坐標(biāo)的廣義力都等于零。,? 結(jié) 論,系統(tǒng)所受約束越多，廣義坐標(biāo)數(shù)越少，求解方便。,,§ 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件,求廣義力的方法：,法一：解析法,將主動(dòng)力系的各力Fi的作用點(diǎn)的坐標(biāo)xi，yi，zi寫(xiě)成廣義坐標(biāo)qk（k=1，2，…，N）的函數(shù)，對(duì)qk求偏導(dǎo)數(shù)后代入上式，即可求得廣義力，這種方法即解析法。,求廣義力的方法：,法二：幾何法,,§ 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件,可單一求

8、某個(gè)廣義力，如Q1，給質(zhì)點(diǎn)系一組特殊的虛位移，其中只令廣義坐標(biāo)中Q1的變更，而其余的廣義坐標(biāo)保持不變，即令 這樣就可以求出所有主動(dòng)力相應(yīng)于廣義虛位移 所作的虛功之和，,,用同樣的方法可求出,,§ 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件,例：勻質(zhì)桿OA和AB用鉸鏈A連接，鉸鏈O固定。兩桿的長(zhǎng)度分別為l1和l2，重量為P1和P2，在桿的AB的B端受一水平力F作用，求平衡時(shí)兩桿與鉛垂直線

9、所成的夾角α和β。OA=l1AB=l2,解：本系統(tǒng)有兩個(gè)自由度，選角 α 和 β為廣義坐標(biāo)。,,,,,,,,,,,,,,,,§ 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件,,,,,,,,,,,,,,,解：本系統(tǒng)有兩個(gè)自由度，選角 α 和 β為廣義坐標(biāo)。,（1）解析法：,OA=l1AB=l2,,對(duì)上面三式取變分：,,,§ 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件,將它們代入下式并整理：,,,§ 1-2 用廣

10、義力表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件,由,可見(jiàn)，對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)α 和 β的廣義力為,由用廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件可知：,,§ 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件,,,,,,,,,,,,,,,解析法的另一解法：,求出上式各項(xiàng)，并令Qα Qβ等于零，得：,,,§ 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件,,,,,,,,,,,,,,,用幾何法求解：,求廣義力QB：,,,,,§ 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件,,

11、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,求廣義力Qα：,得：,兩種方法結(jié)果一樣,,§ 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件,例：勻質(zhì)桿AB長(zhǎng)為l，重為P，被約束在一固定光滑的圓柱容器中，在鉛直面內(nèi)平衡，設(shè)圓柱的半徑為R，求平衡位置。,,,,,,,,,,,,,,,,,解一：系統(tǒng)只有一個(gè)自由度。取桿質(zhì)心縱坐標(biāo)yC為廣義坐標(biāo)，平衡時(shí)由虛功方程，有：,但 ，故必須,,§ 1-2 用廣義力表示的質(zhì)

12、點(diǎn)系平衡條件,,,,,,,,,,,,,,,,,因?yàn)?，故必須 ，得：,即桿在水平位置保持平衡。當(dāng) ，即桿在下水平位置時(shí)，穩(wěn)定平衡當(dāng) ，即桿在上水平位置時(shí)，不穩(wěn)定平衡,,§ 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件,,,,,,,,,,,,,,,,,解二：系統(tǒng)只有一個(gè)自由度。 取 為廣義坐標(biāo)，平衡時(shí)由虛功方程

13、，有：,即,因?yàn)?，故必須 ，得：,必須,得,,§ 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件,保守系的平衡條件,質(zhì)點(diǎn)在有勢(shì)力作用下，當(dāng)由某一位置 M 經(jīng)任意軌跡運(yùn)動(dòng)到某一選定位置（M0）時(shí)，該有勢(shì)力所作的功稱為質(zhì)點(diǎn)在 M 處的勢(shì)能，即,在微小的實(shí)位移dr中，勢(shì)能的微小增量為,因?yàn)槭潜Ｊ叵到y(tǒng)，實(shí)位移是虛位移中的一個(gè)，將實(shí)位移換成虛位移，得,,§ 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件,對(duì)于由n

14、個(gè)質(zhì)點(diǎn)所組成的保守系統(tǒng)，,而,,因系統(tǒng)的勢(shì)能V僅與質(zhì)點(diǎn)系的各質(zhì)點(diǎn)的位置有關(guān)，是位置的函數(shù)，若用廣義坐標(biāo) 有關(guān),,§ 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件,其變分有,,,§ 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件,對(duì)于保守系統(tǒng)，其廣義力等于質(zhì)點(diǎn)系的勢(shì)能對(duì)對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)的一次偏導(dǎo)數(shù)冠以負(fù)號(hào)。,在保守系統(tǒng)情形下，質(zhì)點(diǎn)系平衡的充分必要條件Qj=0等價(jià)于,,§ 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系

15、平衡條件,,,,,,,穩(wěn)定平衡 隨遇平衡 不穩(wěn)定平衡勢(shì)能極小 勢(shì)能不變 勢(shì)能極大,一個(gè)自由度系統(tǒng),,平衡時(shí),可求出平衡位置,,,為極小值，平衡是穩(wěn)定的,,為極大值，平衡是不穩(wěn)定的,,§ 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件,例：一個(gè)倒置的擺，擺錘重為P，擺桿

16、長(zhǎng)度為l，在擺桿的點(diǎn)A連有一剛度系數(shù)為k的水平彈簧，擺在鉛直位置時(shí)彈簧未變形。設(shè)OA=a，擺桿重量不計(jì)，試確定擺桿的平衡位置及穩(wěn)定平衡時(shí)所應(yīng)滿足的條件。,,§ 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件,,,,,,,,,,解：系統(tǒng)為一個(gè)自由度系統(tǒng)，擺角 為廣義坐標(biāo)。,勢(shì)能零點(diǎn)：擺的鉛垂位置（重力和彈性力）,,系統(tǒng)的平衡位置為,,§ 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件,,,,,,,,,,判斷系統(tǒng)是否處于穩(wěn)定的平衡

17、位置,,對(duì)于穩(wěn)定的平衡位置,,§ 1-3 動(dòng)力學(xué)普遍方程,,§ 1-3 動(dòng)力學(xué)普遍方程,不計(jì)摩擦,應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理：主動(dòng)力、慣性力、約束力構(gòu)成平衡力系。如果只用主動(dòng)力，該用什么方法？,應(yīng)用虛位移原理，主動(dòng)力的虛功之和為零,,設(shè)：質(zhì)點(diǎn)系第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為mi，作用在其上的主動(dòng)力Fi，約束力小FNi，質(zhì)點(diǎn)的慣性力FI，,應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理：,應(yīng)用虛位移原理：,若質(zhì)點(diǎn)系所受約束為理想約束,動(dòng)力學(xué)普遍方程,,§

18、 1-3 動(dòng)力學(xué)普遍方程,,受有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其上所受的主動(dòng)力和慣性力在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移上所作的虛功之和為零。,動(dòng)力學(xué)普遍方程的直角坐標(biāo)形式：,§ 1-3 動(dòng)力學(xué)普遍方程,動(dòng)力學(xué)普遍方程,,§ 1-3 動(dòng)力學(xué)普遍方程,動(dòng)力學(xué)普遍方程,用動(dòng)力學(xué)普遍方程求解問(wèn)題的基本步驟,受力分析 —主動(dòng)力分析，慣性力分析(慣性力系的簡(jiǎn)化)與計(jì)算,運(yùn)動(dòng)分析 —系統(tǒng)的自由度分析，加速度和角加速度

19、分析和計(jì)算,虛功計(jì)算 —虛位移分析，主動(dòng)力、慣性力和元功的計(jì)算,,例：圖示系統(tǒng)在鉛垂面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，各物體的質(zhì)量為m，圓盤(pán)的半徑為R，圓盤(pán)在地面上做純滾動(dòng)，若板上作用在一個(gè)力F，求板的加速度。,受力分析,虛位移分析,動(dòng)力學(xué)普遍方程,解：運(yùn)動(dòng)分析，系統(tǒng)自由度N=1,由運(yùn)動(dòng)學(xué)普遍定理得：,§ 1-3 動(dòng)力學(xué)普遍方程,,例：圖示系統(tǒng)在鉛垂面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，各物體的質(zhì)量為m，圓盤(pán)的半徑為R，繩索與圓盤(pán)無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。求滑塊的加速度和圓盤(pán)C的角

20、加速度。,動(dòng)力學(xué)普遍方程,解：運(yùn)動(dòng)分析，系統(tǒng)自由度N=2,受力分析,§ 1-3 動(dòng)力學(xué)普遍方程,,動(dòng)力學(xué)普遍方程,,§ 1-3 動(dòng)力學(xué)普遍方程,,,,§ 1-3 動(dòng)力學(xué)普遍方程,例：已知OA=l，繞O軸以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，AB=2l，求系統(tǒng)在圖示位置時(shí)，力偶矩M的大小和方向（不計(jì)摩擦）。,,,,,,,,,,,,,,§ 1-3 動(dòng)力學(xué)普遍方程,解：運(yùn)動(dòng)分析,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

21、,,,受力分析,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,§ 1-3 動(dòng)力學(xué)普遍方程,虛位移分析,,,,,,,可求得M,,§ 1-3 動(dòng)力學(xué)普遍方程,例：兩個(gè)質(zhì)量相同的均質(zhì)圓盤(pán)和均質(zhì)桿用鉸鏈連接，并由繩索AB懸掛于天花板上，在圖示位置平衡，已知圓盤(pán)半徑為R，桿長(zhǎng)為l，若繩索被剪斷的瞬時(shí)與地面間不會(huì)產(chǎn)生滑動(dòng)，求圓盤(pán)和桿的角加速度。,,,,,,§ 1-3 動(dòng)力學(xué)普遍方程,,,,解：加速度分析，添加慣性力

22、建立動(dòng)力學(xué)普遍方程,,,,,,,,,,,,,,,§ 1-3 動(dòng)力學(xué)普遍方程,,,,,,,,,設(shè)：圓盤(pán)和桿的虛位移為,,,,,,,§ 1-4 第二類拉格朗日方程,,質(zhì)點(diǎn) i 的虛位移,將上式代入動(dòng)力學(xué)普遍方程式：,因qk是獨(dú)立的，所以,注意廣義力可得,1. 基本形式的拉格朗日方程,設(shè)：具有完整理想約束的非自由質(zhì)點(diǎn)系有k個(gè)自由度，系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為：,上式應(yīng)用起來(lái)很不方便。我們要作變換,上式中的第二項(xiàng)與廣義力相對(duì)應(yīng)

23、，稱為廣義慣性力。,注意到廣義力可得,拉格朗日改造動(dòng)力學(xué)普遍方程的第一步：就是把主動(dòng)力的虛功改造為廣義力虛功。,拉格朗日改造動(dòng)力學(xué)普遍方程的第二步：就是改造慣性虛功項(xiàng)，使之與系統(tǒng)的動(dòng)能的變化聯(lián)系起來(lái)。,,,,,,變換,2.,3.,1.,,可得,由,為理想完整系的拉格朗日方程，方程數(shù)等于質(zhì)點(diǎn)系的自由度數(shù)。其中：,——主動(dòng)力的廣義力，可以是力、力矩或其他力學(xué)量（不包含約束反力）,——體系相對(duì)慣性系的動(dòng)能,——廣義動(dòng)量，可為線動(dòng)量、角動(dòng)量或其

24、他物理量,2. 保守體系的拉格朗日方程,,2. 保守體系的拉格朗日方程,,將Qk代入拉格朗日方程式，得,想一想：上式的成立、適用條件是什么？,保守體系的拉格朗日方程為：,為拉格朗日函數(shù)（動(dòng)勢(shì)），是表征體系約束運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和相互作用等性質(zhì)的特征函數(shù)。,勢(shì)能V不包含廣義速度，引入拉格朗日函數(shù),3. 對(duì)拉格朗日方程的評(píng)價(jià),(1) 拉氏方程的特點(diǎn)（優(yōu)點(diǎn)）：,是一個(gè)二階微分方程組，方程個(gè)數(shù)與體系的自由度相同。形式簡(jiǎn)潔、結(jié)構(gòu)緊湊。而且無(wú)論選取什么參數(shù)作

25、廣義坐標(biāo)，方程形式不變。,方程中不出現(xiàn)約束反力，因而在建立體系的方程時(shí)，只需分析已知的主動(dòng)力，不必考慮未知的約束反力。體系越復(fù)雜，約束條件越多，自由度越少，方程個(gè)數(shù)也越少，問(wèn)題也就越簡(jiǎn)單。,拉氏方程是從能量的角度來(lái)描述動(dòng)力學(xué)規(guī)律的，能量是整個(gè)物理學(xué)的基本物理量而且是標(biāo)量，因此拉氏方程為把力學(xué)規(guī)律推廣到其他物理學(xué)領(lǐng)域開(kāi)辟了可能性，成為力學(xué)與其他物理學(xué)分支相聯(lián)系的橋梁。,3. 對(duì)拉格朗日方程的評(píng)價(jià),(2) 拉氏方程的價(jià)值,拉氏方程在理論上、

26、方法上、形式上和應(yīng)用上用高度統(tǒng)一的規(guī)律，描述了力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)規(guī)律，為解決體系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題提供了統(tǒng)一的程序化的方法，不僅在力學(xué)范疇有重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值，而且為研究近代物理學(xué)提供了必要的物理思想和數(shù)學(xué)技巧。,,,應(yīng)用拉氏方程解題的步驟： 1. 判定質(zhì)點(diǎn)系的自由度k，選取適宜的廣義坐標(biāo)。必須注意：不能遺漏獨(dú)立的坐標(biāo)，也不能有多余的（不獨(dú)立）坐標(biāo)。 2. 計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能T，表示為廣義速度和廣義坐標(biāo)的

27、函數(shù)。 3. 計(jì)算廣義力 ，計(jì)算公式為：,或,若主動(dòng)力為有勢(shì)力，也可將勢(shì)能 V 表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)。 4. 建立拉氏方程并加以整理，得出k個(gè)二階常微分方程。 5. 求出上述一組微分方程的積分。,M1-63,[例] 物塊C的質(zhì)量為m1，A，B兩輪皆為均質(zhì)圓輪，半徑R，質(zhì)量為m2，求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。,解：圖示機(jī)構(gòu)只有一個(gè)自由度

28、，所受約束皆為完整、理想、定常的，以物塊平衡位置為原點(diǎn)，取x 為廣義坐標(biāo)。,系統(tǒng)勢(shì)能：(以彈簧原長(zhǎng)為彈性勢(shì)能零點(diǎn)),M1-64,,系統(tǒng)動(dòng)能：,系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)（動(dòng)勢(shì)）,代入拉格朗日方程,M1-65,,注意到,可得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程,,§ 1-4 第二類拉格朗日方程,,,,,,,,,例：長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m的勻質(zhì)桿繞水平軸B轉(zhuǎn)動(dòng)，求其動(dòng)力學(xué)方程,解：1、系統(tǒng)的自由度為k=1,2、系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)：,3、系統(tǒng)的動(dòng)能：,4、系統(tǒng)的廣

29、義力：,,§ 1-4 第二類拉格朗日方程,第二類拉格朗日方程的幾種形式,1、當(dāng)主動(dòng)力均為有勢(shì)力時(shí),設(shè)：L=T-V(拉格朗日函數(shù) 動(dòng)勢(shì)),,,,,§ 1-4 第二類拉格朗日方程,2、當(dāng)主動(dòng)力均為非有勢(shì)力時(shí),設(shè)：L=T-V(拉格朗日函數(shù)),,應(yīng)用拉格朗日方程建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的基本步驟：,1、確定系統(tǒng)的自由度和廣義坐標(biāo),2、用廣義速度和廣義坐標(biāo)給出系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能,3、給出系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù),4、確定系統(tǒng)的廣義力,,&

30、#167; 1-4 第二類拉格朗日方程,例：圖示機(jī)構(gòu)在鉛垂面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，勻質(zhì)桿AB用光滑鉸鏈與滑塊連接。求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。AB=2l,,,,,,,,解：1、系統(tǒng)的自由度 k = 2，,系統(tǒng)的廣義坐標(biāo),2、系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能,,,,,,§ 1-4 第二類拉格朗日方程,,,,,,,,,,,3、求非有勢(shì)力的廣義力,4、建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程,,§ 1-4 第二類拉格朗日方程,4、建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程,9-2-4 拉氏方

31、程的應(yīng)用,應(yīng)用拉格朗日方程求解受約束系統(tǒng)的動(dòng)力問(wèn)題，首先需要判斷約束是否完整，這是應(yīng)用拉氏方程的前提；其次看主動(dòng)力是否有勢(shì)，由此選擇拉氏方程形式。,，,,系統(tǒng)自由度為1。取輪心B沿斜面位移x為廣義坐標(biāo)。平衡位置為零勢(shì)能位置，則任意x位置時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)勢(shì),9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應(yīng)用,1.此處勢(shì)能V為什么與彈簧初始變形和重力無(wú)關(guān)?,2.試用動(dòng)能定理求解例1，并比較兩種方法的異同。,振動(dòng)圓頻率,9-2

32、 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應(yīng)用,本系統(tǒng)為完整約束，主動(dòng)力非有勢(shì)，采用基本形式的拉氏方程求解。,①判斷系統(tǒng)的自由度，取廣義坐標(biāo)。,本題中，,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應(yīng)用,②計(jì)算系統(tǒng)的T與,,則有,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應(yīng)用,③代入拉氏方程，得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。,,(a),,(b),④解方程，求加速度。,，得,,9-2 拉格朗日方程,9-2-4

33、拉氏方程的應(yīng)用,試用動(dòng)力學(xué)普遍方程，動(dòng)力學(xué)普遍定理，達(dá)朗貝爾原理求解例2，并比較各種方法的特點(diǎn)。,完整系統(tǒng)多自由度動(dòng)力問(wèn)題，采用拉氏方程，步驟規(guī)范，便于求解。拉氏方程與動(dòng)力學(xué)普遍方程對(duì)于完整系統(tǒng)本質(zhì)上一致，前者從能量，后者從受力入手考察系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)。,9-2 拉格朗日方程,題型特點(diǎn):,9-2-4 拉氏方程的應(yīng)用,9-2-4 拉氏方程的應(yīng)用,9-2 拉格朗日方程,(彈簧的絕對(duì)伸長(zhǎng)量)為廣義坐標(biāo)。取系統(tǒng)的初始位置為零勢(shì)能

34、位置。在任意時(shí)刻t，有,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應(yīng)用,將以上各項(xiàng)代入下列拉氏方程,,(b),9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應(yīng)用,(c),其中,由式(c)解得,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應(yīng)用,將式(d)代入式(c)，再將式(c)和(d)代入式(b)得,順便指出，由式(c)和(d)可知，物B相對(duì)于物A作在常力作用下的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振幅為,，固有頻率為,多自由度

35、完整約束保守系統(tǒng)問(wèn)題，應(yīng)用含L的拉氏方程，不需求廣義力，求解較為簡(jiǎn)便。,題型特點(diǎn):,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應(yīng)用,(b)試用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和動(dòng)能定理求解例3，并比較各種方法特點(diǎn)。,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應(yīng)用,選x和θ為廣義坐標(biāo)。,9-3-2 廣義能量積分(機(jī)械能守量),第九章 拉格朗日方程,故有循環(huán)積分， 常數(shù)(初始為0),又,約束定常，且完整理想。,即

36、 (b),x方向廣義動(dòng)量守恒，并非系統(tǒng)x方向動(dòng)量。,9-3-2 廣義能量積分(機(jī)械能守量),第九章 拉格朗日方程,時(shí)，(a)，(b)兩式為,解之得,1. 若接觸平面光滑(f=0)，結(jié)果如何? 2. 若左邊連接一水平彈簧(k)，結(jié)果又如何?,9-3-2 廣義能量積分

37、(機(jī)械能守量),第九章 拉格朗日方程,例 質(zhì)量為M的均質(zhì)圓柱再三角塊斜邊上作純滾動(dòng)，如圖所示。三角塊的質(zhì)量也為M，置于光滑水平面上，其上有剛度系數(shù)為k的彈簧平行于斜面系在圓柱體軸心O上。設(shè)角 試用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。,解： 取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象,三角塊作平動(dòng)，圓柱作平面運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度。,選三角塊的水平位移 和圓柱中心O沿三角塊斜面的位移 為廣義坐標(biāo)，其中

38、 由靜止時(shí)三角塊任一點(diǎn)位置計(jì)起， 由彈簧原長(zhǎng)處計(jì)起如圖 。因?yàn)樽饔迷谙到y(tǒng)上的主動(dòng)力mg 和彈性力均為有勢(shì)力，所以，可用拉格朗日方程式求解,取圓柱中心O為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系與三角塊固連，定系與水平面固連，則O點(diǎn)的絕對(duì)速度,其中,所以，系統(tǒng)的動(dòng)能,將以上表達(dá)式代入,整理得到系統(tǒng)的微分方程,,例 如圖所示系統(tǒng)中，均質(zhì)圓柱B的質(zhì)量 ，半徑R=10cm,通過(guò)繩和彈簧與質(zhì)量 的物塊M相

39、連，彈簧的剛度系數(shù) ,斜面的傾角 。假設(shè)圓柱B滾動(dòng)而不滑動(dòng)，繩子的傾角段與斜面平行，不計(jì)定滑輪A，繩子和彈簧的質(zhì)量，以及軸承A處摩擦，試求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程,解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象。圓柱B作平面運(yùn)動(dòng)物塊M作作平動(dòng)，定滑輪A作定軸轉(zhuǎn)動(dòng),系統(tǒng)有兩個(gè)自由度，選圓柱B的質(zhì)心沿斜面向上坐標(biāo) 及物塊M鉛垂向下的的坐標(biāo) 為廣義坐標(biāo)，其原點(diǎn)均在靜平衡位置。如圖,因?yàn)樽饔?/p>

40、在系統(tǒng)上的主動(dòng)力重力 和彈性力均為有勢(shì)力,所以可用拉格朗日方程式求解,若選彈簧原長(zhǎng)處為勢(shì)能零點(diǎn)，則系統(tǒng)的勢(shì)能,故系統(tǒng)的拉氏函數(shù),求各偏導(dǎo)數(shù)：,系統(tǒng)的動(dòng)能,選靜平衡位置為勢(shì)能零點(diǎn)，故彈性力靜變形的勢(shì)能與重力勢(shì)能相互抵消，于是系統(tǒng)的勢(shì)能,故系統(tǒng)的拉氏函數(shù),求各偏導(dǎo)數(shù),將以上的表達(dá)式代入,,整理得到系統(tǒng)的微分方程,代入已知值,,動(dòng)力學(xué)的基本方法,牛頓定律,動(dòng)量定理動(dòng)量矩定理動(dòng)能定理,達(dá)朗貝

41、爾原理——?jiǎng)屿o法,,虛位移原理,動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程,,§ 1-5 拉格朗日方程的初積分,一、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的結(jié)構(gòu),,§ 1-5 拉格朗日方程的初積分,對(duì)于定常約束的質(zhì)點(diǎn)系有：,廣義速度的二次項(xiàng),,,§ 1-5 拉格朗日方程的初積分,已知非定常約束,則系統(tǒng)的自由度k=1,系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)：q,系統(tǒng)的動(dòng)能：,,§ 1-5 拉格朗日方程的初積分,二、循環(huán)積分,設(shè)：系統(tǒng)主動(dòng)力為有勢(shì)力,循環(huán)坐標(biāo)

42、：拉格朗日方程中不顯含的廣義坐標(biāo)qi(i=1,…,r),拉格朗日函數(shù)表示成：,則,該式稱為循環(huán)積分,pi 稱為對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)qi(i=1,…,r)的廣義動(dòng)量,pi 可以是動(dòng)量、也可以是動(dòng)量矩,,§ 1-5 拉格朗日方程的初積分,證明：,當(dāng)主動(dòng)力為有勢(shì)力時(shí)，系統(tǒng)的拉格朗日方程為：,若拉格朗日方程中不顯含的廣義坐標(biāo),,,設(shè) 是 的n次齊次函數(shù)，則,,§ 1-5 拉格朗日方

43、程的初積分,三、能量積分,設(shè)：系統(tǒng)主動(dòng)力為有勢(shì)力,如果保守系統(tǒng)拉格朗日方程中不顯含時(shí)間t,則,該式稱為拉格朗日方程的廣義能量積分,n次齊次函數(shù)的歐拉定理：,,§ 1-5 拉格朗日方程的初積分,設(shè) 是 的n次齊次函數(shù)，則,說(shuō)明：,,§ 1-5 拉格朗日方程的初積分,設(shè) 是 的n次齊次函數(shù)，則,說(shuō)明：,,§ 1-5 拉格朗日方

44、程的初積分,如果保守系統(tǒng)拉格朗日方程中不顯含時(shí)間t,,,,,§ 1-5 拉格朗日方程的初積分,,,,,§ 1-5 拉格朗日方程的初積分,? 結(jié) 論,一、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的結(jié)構(gòu),二、循環(huán)積分,循環(huán)坐標(biāo)：拉格朗日方程中不顯含的廣義坐標(biāo)qi(i=1,…,r),三、能量積分,該式稱為拉格朗日方程的廣義能量積分,,§ 1-5 拉格朗日方程的初積分,,,,,,,,,,,,給出拉格朗日方程的初積分,解：系統(tǒng)的主動(dòng)力為有勢(shì)

45、力,系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能分別為：,拉格朗日函數(shù),不顯含廣義坐標(biāo) x 和時(shí)間 t,,,,,,,,,,,,,§ 1-5 拉格朗日方程的初積分,循環(huán)積分——系統(tǒng)的水平動(dòng)量守恒,能量積分——機(jī)械能守恒,,第二類拉格朗日方程總結(jié),對(duì)于具有完整理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，若系統(tǒng)的自由度為k，則系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為：,其中：L=T-V T：系統(tǒng)的動(dòng)能，V：系統(tǒng)的勢(shì)能 ：為對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo) qj 的非有勢(shì)力的廣義力,當(dāng)系統(tǒng)為保守系統(tǒng)時(shí)，有：1、若系

46、統(tǒng)存在循環(huán)坐標(biāo)q，則：2、若系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)不顯含時(shí)間t，則：,,哈密頓方程簡(jiǎn)介,一、哈密頓方程,其中：,哈密頓方程是關(guān)于廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量的一階微分方程,對(duì)于定常約束的保守系統(tǒng)，哈密頓函數(shù)H是系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能的和,,哈密頓方程簡(jiǎn)介,,求自由質(zhì)點(diǎn)在重力場(chǎng)中的哈密頓函數(shù)和哈密頓方程,解：1、系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)x,y,z,2、系統(tǒng)的動(dòng)能,,,哈密頓方程簡(jiǎn)介,系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)H=T+V,,哈密頓方程簡(jiǎn)介,,,,,,,,,,,例：圖示機(jī)構(gòu)在鉛

47、垂面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，勻質(zhì)桿AB用光滑鉸鏈與滑塊連接，桿與滑塊用剛度系數(shù)為k1的扭簧連接，θ=π時(shí)扭簧無(wú)變形，求系統(tǒng)哈密頓方程（用矩陣形式給出）。AB=2l,解：,,哈密頓方程簡(jiǎn)介,,M是正定對(duì)稱矩陣，是廣義坐標(biāo)的函數(shù),,,哈密頓方程簡(jiǎn)介,系統(tǒng)的哈密頓方程 H=T+V,用矩陣形式便于并行計(jì)算可提高運(yùn)行速度,,哈密頓方程簡(jiǎn)介,,哈密頓方程簡(jiǎn)介,,哈密頓方程簡(jiǎn)介,哈密頓方程 可長(zhǎng)期穩(wěn)定運(yùn)行。穩(wěn)定運(yùn)行的意義——長(zhǎng)時(shí)間的預(yù)報(bào)問(wèn)題，例軌道預(yù)測(cè)等

48、——提高預(yù)測(cè)精度和速度,,拉格朗日方程 習(xí)題練習(xí),例：在圖示機(jī)構(gòu)中，勻質(zhì)圓盤(pán)在地面上純滾動(dòng)，勻質(zhì)桿AB用光滑鉸鏈與圓盤(pán)連接。初始時(shí)，桿水平，系統(tǒng)靜置。求系統(tǒng)在圖示位置時(shí)，桿的角速度、角加速度以及A點(diǎn)的速度和加速度。AB=L,,解：系統(tǒng)的主動(dòng)力均為有勢(shì)力,,拉格朗日方程 習(xí)題練習(xí),拉格朗日方程 習(xí)題練習(xí),,當(dāng),,,,代入,求,將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得：,,§1-6 第一類拉格朗日方程,,§1-6 第一類拉格朗日方程,

49、,一、問(wèn)題的提出,利用δqj 的獨(dú)立性，,,§1-6 第一類拉格朗日方程,,§1-6 第一類拉格朗日方程,二、第一類拉格朗日方程,設(shè)描述系統(tǒng)的位形坐標(biāo)：,系統(tǒng)的約束方程為：,系統(tǒng)的自由度為：,受完整理想約束的Hamilton原理：系統(tǒng)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)滿足,,§1-6 第一類拉格朗日方程,其中： 為約束力對(duì)應(yīng)于坐標(biāo) qj 的廣義力,稱為拉格朗日乘子,,§

50、1-6 第一類拉格朗日方程,例：質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)被約束在光滑的水平軸y上運(yùn)動(dòng)，用第一類拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程,解：1、系統(tǒng)的動(dòng)能和約束方程,2、求系統(tǒng)主動(dòng)力的廣義力,,§1-6 第一類拉格朗日方程,,,,,,,,例：質(zhì)量為m，半徑為R的勻質(zhì)圓盤(pán)在水平面上純滾動(dòng)，其上作用有力Fx， Fy和力偶M，求圓盤(pán)角加速度、質(zhì)心加速度和摩擦力。,解：動(dòng)能、約束方程和 主動(dòng)力的廣義力,,§1-6 第一類拉格朗日方程,