分析力學(xué)基礎(chǔ)

1、分析力學(xué)基礎(chǔ),分析力學(xué),拉格朗日方程,運(yùn)用矢量力學(xué)分析復(fù)雜約束動(dòng)力系統(tǒng)，未知約束力多，方程數(shù)目多，求解煩瑣；將達(dá)朗貝爾原理與虛位移原理相結(jié)合，建立動(dòng)力虛功方程，廣義坐標(biāo)化，能量化，化為拉格朗日方程，可以實(shí)現(xiàn)用最少數(shù)目方程，描述動(dòng)力系統(tǒng),牛頓第二定律,,動(dòng)量、動(dòng)量矩動(dòng)能定理,矢量力學(xué),達(dá)朗貝爾原理虛位移原理,,拉格朗日方程,分析力學(xué),分析力學(xué),拉格朗日方程,§15-1 自由度和廣義坐標(biāo),自由度,確定系統(tǒng)位置的獨(dú)立參數(shù)數(shù)目,設(shè)

2、n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，若受s個(gè)完整約束作用，則質(zhì)點(diǎn)系在空間的位置可以由N=3n-s個(gè)獨(dú)立參數(shù)完全確定,廣義坐標(biāo),完全確定系統(tǒng)位置的最少參數(shù) （ 可以是長度，角度，面積等）,對(duì)于完整系統(tǒng)，廣義坐標(biāo)數(shù)等于系統(tǒng)自由度數(shù),分析力學(xué),拉格朗日方程,將各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)表示為：,由虛位移定義，將上式進(jìn)行等時(shí)變分運(yùn)算：,——廣義坐標(biāo)的變分，稱為廣義虛位移,假設(shè)系統(tǒng)受s個(gè)完整約束，約束方程：,設(shè)系統(tǒng)的一組廣義坐標(biāo)為,分析力學(xué),拉格朗日方程,自由度為

3、：N=4-2=2,雙擺系統(tǒng),廣義坐標(biāo)：,約束方程個(gè)數(shù)為s=2,將B的坐標(biāo)用廣義坐標(biāo)表示：,分析力學(xué),拉格朗日方程,§15-2 廣義力與平衡條件,將廣義坐標(biāo)表示的虛位移,代入虛功方程：,,分析力學(xué),拉格朗日方程,令,則方程化簡為：,——與廣義坐標(biāo) 相對(duì)應(yīng)的廣義力,由廣義坐標(biāo)的獨(dú)立性， 可以任意取值，則必有：,質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件是系統(tǒng)所有的廣義力都為零,廣義力求法：1、直接法；2、虛功法,分析力學(xué),拉格朗日方程,例

4、題15-1,已知桿長OA=a，AB=b，不計(jì)桿重和摩擦，求平衡時(shí) 與 之間的關(guān)系,分析力學(xué),拉格朗日方程,§15-3 動(dòng)力學(xué)普遍方程,n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，第i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)滿足條件：,1、達(dá)朗貝爾原理,其中 為第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的慣性力,2、虛位移原理,對(duì)于整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，由虛位移原理可得,分析力學(xué),拉格朗日方程,理想約束有：,,解析

5、形式,動(dòng)力學(xué)普遍方程,理想約束下，質(zhì)點(diǎn)系在任一瞬時(shí)所受主動(dòng)力系和虛加的慣性力系在虛位移上所作的功之和為零,分析力學(xué),拉格朗日方程,例題15-2,已知兩輪的半徑為r，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，重量均為P1，沿斜面作純滾動(dòng)，桿的重量為P2，求系統(tǒng)的加速度a,分析力學(xué),拉格朗日方程,例題15-3,均質(zhì)圓柱與薄壁圓柱1、2用繩相連，圓柱1作純滾動(dòng)，繩與滑輪A的重量不計(jì)。已知 ，試求運(yùn)動(dòng)過程中輪心C與輪心O的加速度大小,分析力學(xué)

6、,拉格朗日方程,§15-4 拉格朗日方程,代入動(dòng)力學(xué)普遍方程：,將廣義坐標(biāo)表示的虛位移,,廣義力表示的虛功,由 的任意性,分析力學(xué),拉格朗日方程,——與廣義力Qk 對(duì)應(yīng)的廣義慣性力,,理想約束下，質(zhì)點(diǎn)系所有的廣義力與其對(duì)應(yīng)的廣義慣性力之和為零,1、拉氏方程的化簡——兩個(gè)經(jīng)典微分關(guān)系,n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，s個(gè)完整約束，自由度 N＝3n－s，,分析力學(xué),拉格朗日方程,（1）同時(shí)求導(dǎo)關(guān)系,證明：,兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo),,兩邊對(duì)

7、 求偏導(dǎo)：,說明可以對(duì)該式的分子分母同時(shí)對(duì)t求導(dǎo)而不影響計(jì)算結(jié)果,分析力學(xué),拉格朗日方程,（2）交換求導(dǎo)關(guān)系,證明：,兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo),若 的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則上式成立,說明可以對(duì)該式交換求導(dǎo)次序而不影響計(jì)算結(jié)果,分析力學(xué),拉格朗日方程,,2、廣義慣性力的化簡,分析力學(xué),拉格朗日方程,,拉格朗日方程,該方程組為二階常微分方程組，其中方程式的數(shù)目等于質(zhì)點(diǎn)系的自由度數(shù),若質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力都是有勢力，則勢能為：,3、有勢力作用

8、下的拉格朗日方程,分析力學(xué),拉格朗日方程,有勢力做所的元功為勢能之差：,有勢力Fi在直角坐標(biāo)系的投影為Fix、Fiy、Fiz,,代入到廣義力公式,分析力學(xué),拉格朗日方程,于是拉格朗日方程化為：,令 L=T-V ，稱為拉格朗日函數(shù)（或動(dòng)勢）,由于勢能V 只是廣義坐標(biāo) 的函數(shù)，不含廣義速度 ，則方程化簡為：,分析力學(xué),拉格朗日方程,例題15-4,圖示系統(tǒng)中，A作純滾動(dòng)，輪心用水平彈簧連在墻上，物塊C質(zhì)量為m1，A、B輪質(zhì)量