第2節(jié)-定積分在幾何學上的應用

1、54,1,,三、已知平行截面面積函數(shù)的 立體體積,,第二節(jié),一、 平面圖形的面積,二、 平面曲線的弧長,定積分在幾何學上的應用,第六章,54,2,學習指導,熟練運用定積分計算直角坐標系和極坐標系中平面圖形的面積；熟練運用定積分計算旋轉體的體積和平行截面為已知的空間立體的體積；熟練運用定積分計算平面曲線的長度。,54,3,注意事項,直角坐標系中求平面圖形的面積時可能選X作為積分變量，也可能選Y作為積分變量，需視具體情況

2、而定；求旋轉體的體積時要注意旋轉軸和積分變量；要注意平面曲線的數(shù)學表達式的具體形式，相應的計算曲線長度的公式有所不同，需區(qū)分清楚。,54,4,一、平面圖形的面積,1、直角坐標情形,2、極坐標情形,54,5,,,,,曲邊梯形的面積,,曲邊梯形的面積,1、直角坐標系情形,54,6,面積元素,例1. 計算兩條拋物線,在第一象限所圍,所圍圖形的面積 .,解: 由,,得交點,54,7,兩曲線的交點,解,選 為積分變量,54,8,解,,,,先求

3、兩曲線的交點。,54,9,54,10,一般地 , 當曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程,給出時,,按順時針方向規(guī)定起點和終點的參數(shù)值,則曲邊梯形面積,,,54,11,例3. 求橢圓,解: 利用對稱性 ,,所圍圖形的面積 .,有,利用橢圓的參數(shù)方程,應用定積分換元法得,當 a = b 時得圓面積公式,54,12,例4. 求由擺線,的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積 .,解:,54,13,小結,54,14,54,15,54,16,2. 極坐標情形,在

4、平面內(nèi)取一個定點O，叫極點，引一條射線Ox，叫做極軸，再選定一個長度單位和角度的正方向(通常取逆時針方向)。對于平面內(nèi)任何一點M，用ρ表示線段OM的長度，θ表示從Ox到OM的角度，ρ叫做點M的極徑，θ叫做點M的極角，有序數(shù)對 (ρ,θ)就叫點M的極坐標，這樣建立的坐標系叫做極坐標系。,極坐標是二維坐標系,x = r*cosθ,,y = r*sinθ,,極坐標簡介,54,17,2. 極坐標情形,求由曲線,及,圍成的曲邊扇形的面積 .,在區(qū)

5、間,上任取小區(qū)間,則對應該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為,所求曲邊扇形的面積為,54,18,54,19,54,20,對應 ? 從 0 變,例5. 計算阿基米德螺線,解:,到 2? 所圍圖形面積 .,,,,54,21,,,,2a,例6. 計算心形線,所圍圖形的,面積 .,解:,,54,22,,,例7. 計算心形線,與圓,所圍圖形的面積 .,解: 利用對稱性 ,,所求面積,,,,54,23,立體體積的計算,1、旋轉體體積計算方法,2、平行

6、截面面積為已知的立體體積,54,24,,,,,,,圓柱,圓錐,圓臺,1、旋轉體體積計算方法,旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉一周而成的立體. 直線叫做旋轉軸.,54,25,旋轉體的體積為,54,26,54,27,54,28,,例1,解,54,29,54,30,解,軸圍成的圖形繞x軸旋轉而成的立體.,旋轉橢球體的體積為,54,31,,例3 計算由擺線x?a(t?sint), y?a(1?cost)的一拱, 直線y?0所圍成

7、的圖形分別繞x軸、y軸旋轉而成的旋轉體的體積.,解,所給圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體的體積為,54,32,,例3 計算由擺線x?a(t?sint), y?a(1?cost)的一拱, 直線y?0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉而成的旋轉體的體積.,解,設曲線左半邊為x=x1(y), 右半邊為x=x2(y).,所給圖形繞y軸旋轉而成的旋轉體的體積為,?6? 3a3 .,54,33,體積元素為,例4*,解,54,34,2、平行截面面積為已知的立

8、體體積,如果一個立體不是旋轉體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算.,54,35,設立體在x軸上的投影區(qū)間為[a, b], 立體內(nèi)垂直于x軸的截面面積為A(x).,立體的體積元素為,立體的體積為,A(x)dx.,54,36,截面面積為A(x)的立體體積：,,例5 一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心, 并與底面交成角?. 計算這平面截圓柱所得立體的體積.,建立坐標系如圖, 則底圓的方程

9、為x2?y2?R2.,所求立體的體積為,解,,立體中過點x且垂直于x軸的截面為直角三角形, 其面積為,54,37,例6 求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積.,建立坐標系如圖, 則底圓的方程為x2?y2?R2.,于是所求正劈錐體的體積為,截面面積為A(x)的立體體積：,,解,立體中過點x且垂直于x軸的截面面積為,54,38,三、平面曲線的弧長,1、平面曲線弧長的概念,2、平面曲線弧長的計算,54,3

10、9,1、平面曲線的弧長,,當折線段的最大,邊長 ?→0 時,,折線的長度趨向于一個確定的極限 ,,即,并稱此曲線弧為可求長的.,定理: 任意光滑曲線弧都是可求長的.,(證明略),則稱,54,40,,弧長元素(弧微分) :,,,因此所求弧長,,,2、平面曲線弧長的計算,（1）直角坐標情形:曲線弧由直角坐標方程給出,54,41,曲線弧由參數(shù)方程給出:,弧長元素(弧微分) :,因此所求弧長,（2）參數(shù)方程情形,54,42,（3）極坐標方程情形

11、:曲線弧由極坐標方程給出,54,43,所求弧長為,例1,解,54,44,例2,解,積分上限函數(shù)的性質(zhì),54,45,例3. 兩根電線桿之間的電線, 由于其本身的重量,,成懸鏈線,,求這一段弧長 .,解:,,,下垂,懸鏈線方程為,54,46,例4,證,54,47,根據(jù)橢圓的對稱性知,故原結論成立.,54,48,弧長元素為,從而,所求弧長,例5,解,54,49,例6,解,54,50,例7,解,54,51,1、直角坐標方程給出的平面圖形的面積一

12、般以直角坐標為積分變量；,四、小結,2、參數(shù)方程給出的平面圖形的面積可由直角坐標面積計算公式經(jīng)積分變量替換得到；,3、極坐標方程給出的平面圖形的面積一般以極坐標為積分變量；,4、曲邊梯形的面積的計算一般由直角坐標為積分變量；曲邊扇形的面積的計算一般由極坐標為積分變量。,54,52,5、旋轉體的體積,繞 軸旋轉一周；,繞 軸旋轉一周；,（繞非坐標軸直線旋轉一周）.,6、平行截面面積為已知的立體的體積。,參數(shù)方程；,極坐標方程。,8

13、、求弧長的公式,直角坐標方程；,7、平面曲線弧長元素（弧微分）的基本公式；,54,53,內(nèi)容小結,1. 平面圖形的面積,邊界方程,參數(shù)方程,極坐標方程,2. 平面曲線的弧長,曲線方程,參數(shù)方程方程,極坐標方程,弧微分:,直角坐標方程,,上下限按順時針方向確定,,直角坐標方程,,注意: 求弧長時積分上下限必須上大下小,54,54,3. 已知平行截面面積函數(shù)的立體體積,,旋轉體的體積,繞 x 軸 :,繞 y 軸 :,(柱殼法),,54,55