微積分基礎(chǔ)國(guó)家開放大學(xué)---第5章---第1節(jié)---積分的幾何應(yīng)用

1、5.1 積分的幾何應(yīng)用,引入 求平面圖形的面積:,類型1：求由一條曲線y=f(x)和直線x=a,x=b(a<b)及x軸所圍成平面圖形的面積S,探究點(diǎn)1 定積分在幾何中的應(yīng)用,,曲邊梯形（三條直邊，一條曲邊）,曲邊形,,面積 A=A1-A2,曲邊形面積的求解思路,類型2：由兩條曲線y=f(x)和y=g(x)，直線x=a,x=b(a<b)所圍成平面圖形的面積S,解:作出y2=x,y=x2的圖象如圖所示:,得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=0

2、及x=1.因此，所求圖形的面積為,【總結(jié)提升】求兩曲線圍成的平面圖形的面積的一般步驟:(1)作出示意圖;(弄清相對(duì)位置關(guān)系)(2)求交點(diǎn)坐標(biāo)，確定圖形范圍(積分的上限,下限)(3)寫出平面圖形的定積分表達(dá)式；(4)運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分，求出面積.,直線y=x-4與x軸交點(diǎn)為(4,0).因此，所求圖形的面積為,解:作出直線y=x-4,曲線 的圖象如圖所示，所求面積為圖中陰影部分面積.,,S1,,

3、S2,將所求平面圖形的面積分割成左右兩個(gè)部分.,本題還有其他解法嗎？,另解1：將所求平面圖形的面積分割成左右兩個(gè)部分.,,還需要把函數(shù)y=x-4變形為x=y+4，函數(shù) 變形為,另解2：將所求平面圖形的面積看成位于y軸右邊的一個(gè)梯形與一個(gè)曲邊梯形的面積之差，因此取y為積分變量,例3 求兩拋物線y＝8－x2，y＝x2所圍成的圖形的面積．,解析 作出曲線y＝8－x2，y＝x2的草圖，所求面積為圖中陰影部分的面積．解方程組，,

4、,,(1)求不分割圖形面積的步驟為：畫圖形；求交點(diǎn)(以確定積分上下限)；用定積分表示再計(jì)算．(2)一般原則上函數(shù)－下函數(shù)作被積函數(shù)．,【總結(jié)提升】,C,4.求拋物線y=x2-1，直線x=2，y=0所圍成的圖形的面積.,解：如圖，由x2-1=0得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,0)，(1,0).所求面積如圖陰影所示：,所以：,5.如圖，求曲線y＝x2與直線y＝2x所圍圖形的面積S.,1.思想方法:數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化.2.求兩曲線圍成的