晶體幾何學(xué)

1、現(xiàn)代材料研究方法,緒論,材料：你們最關(guān)心的是什么？性能：你認(rèn)為與哪些因素有關(guān)？結(jié)構(gòu)：有哪些檢測(cè)分析技術(shù)？,,俄歇電子,(二次電子):二次電子中部分電子的能量具有和特定元素相對(duì)應(yīng)的特征值,能測(cè)得的具有特征值的俄歇電子僅限于來自試樣表面二,三層的原子,第一章、晶體幾何學(xué)基礎(chǔ),第一節(jié)、晶體結(jié)構(gòu)與空間點(diǎn)陣,1、晶體 ：外觀上晶體常具良好的幾何多面體外形。本質(zhì)上說， 晶體是內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)在三維空間作規(guī)則排列的物質(zhì)。即具有長(zhǎng)程有序。如水晶，NaCl等

2、。,鄰苯二甲酸氫,冰洲石的菱面體晶體,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第一節(jié) 晶體結(jié)構(gòu)與空間點(diǎn)陣,鍺酸鉍,晶體規(guī)則的幾何外形是晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)規(guī)律性的外在反映,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第一節(jié) 晶體結(jié)構(gòu)與空間點(diǎn)陣,2.常見晶體結(jié)構(gòu)類型?常見單質(zhì)的晶體結(jié)構(gòu)Fcc: 金,銀,銅,鋁,鎳,鉑,?-鐵等Bcc: 鎢,鉬,鉻,釩,鈮,鉭,?-鐵

3、,?-鈦,鈉,鋰等Hcp: 鎂,鋅,?-鈦,?-鈷等金剛石型結(jié)構(gòu):金剛石,硅,鍺等?常見化合物的晶體結(jié)構(gòu)NaCl型:MgO,VC,NbC,TiC,ZrC,NiO,PbS,TiOCsCl型:ZnO,?-AgCd,?-CuZn,?-AlFe,FeCo,NiAl閃鋅礦型:ZnS,BeS,CdTe,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第一節(jié) 晶體結(jié)構(gòu)與空間點(diǎn)陣,3. 空間點(diǎn)陣：由各類等同

4、點(diǎn)在三維空間排列構(gòu)成的表示晶體結(jié)構(gòu)中物質(zhì)分布周期規(guī)律的三維幾何圖形。即表征晶體結(jié)構(gòu)中原子排列周期性的一種幾何圖象.,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第一節(jié) 晶體結(jié)構(gòu)與空間點(diǎn)陣,紅球：氯離子 藍(lán)球：鈉離子,氯化鈉晶體中，氯離子是一類等同點(diǎn)，鈉離子是另一類等同點(diǎn)。由Na+和Cl-各自組成面心立方晶格，是兩個(gè)面心立方結(jié)構(gòu)套構(gòu)組成，屬于復(fù)式結(jié)構(gòu)。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ)

5、 第一節(jié) 晶體結(jié)構(gòu)與空間點(diǎn)陣,等同點(diǎn)：在晶體結(jié)構(gòu)中的種類相同，分布位置或周圍環(huán)境也相同的一類點(diǎn). 等同點(diǎn)必須具備的兩個(gè)條件：位置或質(zhì)點(diǎn)種類相同；質(zhì)點(diǎn)周圍環(huán)境相同,晶體中所有的質(zhì)點(diǎn)的重復(fù)規(guī)律－－在空間上呈格子狀。這種結(jié)構(gòu)圖形就是空間格子,空間點(diǎn)陣示意圖空間點(diǎn)陣可由單胞重復(fù)排列而得,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第一節(jié) 晶體結(jié)構(gòu)與空間點(diǎn)陣,空間點(diǎn)陣的要素：

6、A、結(jié)點(diǎn)：空間點(diǎn)陣中的點(diǎn)是抽象的幾何點(diǎn)，它代表晶體結(jié)構(gòu)中的原子、分子等相同點(diǎn)。只有幾何意義,并不是具體的質(zhì)點(diǎn)。B、行列：結(jié)點(diǎn)在直線上的排列。它相當(dāng)晶體上的晶棱或晶向。 C、面網(wǎng)：結(jié)點(diǎn)在平面上的排列。它相當(dāng)于晶體上的晶面。面網(wǎng)之間的間距稱為面網(wǎng)間距。D、單位點(diǎn)陣（平行六面體）：空間點(diǎn)陣中的一個(gè)最小重復(fù)單元。它相當(dāng)于晶體結(jié)構(gòu)中的單位晶胞（單胞）。E、點(diǎn)陣參數(shù)或晶體常數(shù)：坐標(biāo)系統(tǒng)晶軸：一般A軸左右、B軸前后、C軸直立。度量單位：

7、晶軸上的結(jié)點(diǎn)間距（點(diǎn)陣周期）a, b , c晶軸夾角：α,β,γ。晶體常數(shù)是一種晶體最重要的參數(shù)之一。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第一節(jié) 晶體結(jié)構(gòu)與空間點(diǎn)陣,晶體除了微觀結(jié)構(gòu)的周期性外，每種晶體還有其特殊的宏觀對(duì)稱性在結(jié)晶學(xué)中能反映晶體的周期性，又能反映其對(duì)稱性的特征，通常不一定取最小的結(jié)構(gòu)單元作為重復(fù)單元，而是按對(duì)稱性特點(diǎn)選取其結(jié)構(gòu)單元，通常是最小單元的幾倍，稱為結(jié)晶學(xué)原胞或簡(jiǎn)稱

8、晶胞，一般而言，晶體的原胞和晶胞有習(xí)慣選取方法，上圖為立方晶系的三種結(jié)構(gòu)：簡(jiǎn)立方、而心立方和體心立方的結(jié)構(gòu)及原胞選取示意圖。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第四節(jié) 晶系與布拉菲點(diǎn)陣,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第四節(jié) 晶系與布拉菲點(diǎn)陣,ZnS型(立方型),晶格：面心立方,配位比：4:4,(紅球－Zn2+ , 綠球－S2-),

9、晶胞中離子的個(gè)數(shù)：,CaF2的結(jié)構(gòu)：坐標(biāo)（x, y, z），z垂直紙面。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第四節(jié) 晶系與布拉菲點(diǎn)陣,由兩種原子構(gòu)成的復(fù)雜面心立方結(jié)構(gòu)；,?：Ca原子坐標(biāo)（四個(gè)）,000、,,、,、,,,?： F 原子坐標(biāo)（八個(gè)）,沿z向上1/4， z層：a、b、c、d,,,,沿z向上3/4， z層：a、b、c、d,,,,,結(jié)論：?空間點(diǎn)陣表明了晶體物質(zhì)的一個(gè)最根本性質(zhì)

10、-----周期性?一個(gè)晶體物質(zhì)，無論其內(nèi)部結(jié)構(gòu)多么復(fù)雜，都只有一種空間點(diǎn)陣,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第一節(jié) 晶體結(jié)構(gòu)與空間點(diǎn)陣,晶體是具有格子構(gòu)造的固體，因此所有晶體也有它們所共有的格子構(gòu)造所決定的性質(zhì)。A.自限性：晶體具有自發(fā)的形成規(guī)則幾何外形的特征。不同晶體學(xué)平面作為表面時(shí)會(huì)因原子排列密度、鍵性質(zhì)的不同而造成不同的表面能，熱力學(xué)原理造成晶體會(huì)盡可能以低表面能的晶面作為表

11、面。B.均勻性：晶體不同部分的宏觀性質(zhì)相同，反映了晶體性質(zhì)的平移特性。因?yàn)榫w的具有格子構(gòu)造的固體，在晶體的各個(gè)不同部分質(zhì)點(diǎn)的分布與排列都是一樣的。,第二節(jié).晶體性質(zhì),第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第二節(jié) 晶體性質(zhì),AA方向，H＝45，小刀可刻動(dòng)。BB方向，H＝65，小刀不能刻動(dòng)。,C.異向性（各向異性）：晶體的物理性質(zhì)隨觀測(cè)方向而變化的現(xiàn)象稱為各向異性。晶體的性

12、質(zhì)因方向不同而有差異。這是因?yàn)榫w在不同的方向上質(zhì)點(diǎn)的排列方式不同而決定的。晶體的很多性質(zhì)表現(xiàn)為各向異性，如壓電性質(zhì)、光學(xué)性質(zhì)、磁學(xué)性質(zhì)及熱學(xué)性質(zhì)等。例如：石墨的電導(dǎo)率，當(dāng)我們沿晶體不同方向測(cè)其電導(dǎo)率時(shí)，得到方向不同而石墨的電導(dǎo)率數(shù)值也不同的結(jié)果。 如蘭晶石在不同的方向上硬度有很大差異。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第二節(jié) 晶體性質(zhì),D.對(duì)稱性：晶體中相等的晶面、晶

13、棱、角頂以及晶體的物理化學(xué)性質(zhì)在不同方向或位置上有規(guī)律地重復(fù)出現(xiàn)。晶體的宏觀性質(zhì)一般說來是各向異性的，但并不排斥晶體在某幾個(gè)特定的方向可以是異向同性的。晶體的宏觀性質(zhì)在不同方向上有規(guī)律重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為晶體的對(duì)稱性。 晶體的對(duì)稱性反映在晶體的幾何外形和物理性質(zhì)兩個(gè)方面。實(shí)驗(yàn)表明，晶體的許多物理性質(zhì)都與其幾何外形的對(duì)稱性相關(guān)。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ)

14、第二節(jié) 晶體性質(zhì),E. 最低內(nèi)能與固定熔點(diǎn)：實(shí)驗(yàn)表明：從氣態(tài)、液態(tài)或非晶態(tài)過渡到晶體時(shí)都要放熱，反之，從晶態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榉蔷B(tài)、液態(tài)或氣態(tài)時(shí)都有要吸熱。表明：在相同的熱力學(xué)條件下，與同種化學(xué)成分的氣體、液體或非晶體相比，晶體的內(nèi)能最小。即在相同的熱力學(xué)條件下，以具有相同化學(xué)成分的晶體與非晶體相比，晶體是穩(wěn)定的，非晶體是不穩(wěn)定的，后者有自發(fā)轉(zhuǎn)變?yōu)榫w的趨勢(shì)。 晶體具有固定的熔點(diǎn)。當(dāng)加熱晶體到某一特定的溫度時(shí)，晶體開始熔化，且在

15、熔化過程中保持溫度不變，直至晶體全部熔化后，溫度才又開始上升。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第二節(jié) 晶體性質(zhì),對(duì)稱的普遍性：自然界中，植物、動(dòng)物、建筑物的外形等。對(duì)稱定義：對(duì)稱是物體上相等的部分有規(guī)律地重復(fù)。對(duì)稱的必要條件：1·物體上有相等的部分；2·這些相等的部分有規(guī)律地重復(fù)（通過操作，如旋轉(zhuǎn)、反映、反伸使相等部分重復(fù)）。,第三節(jié)、晶體

16、的基本對(duì)稱性,一、對(duì)稱的概念,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第三節(jié) 晶體的基本對(duì)稱性,晶體對(duì)稱的特點(diǎn) 晶體的對(duì)稱則是由其內(nèi)部的格子構(gòu)造所決定的，因此，晶體對(duì)稱有其特點(diǎn)：1.所有的晶體都是對(duì)稱的，只要是晶體，就具有格子構(gòu)造，格子是對(duì)稱的。這是晶體對(duì)稱的普遍性。2.晶體的對(duì)稱是有限的，晶體對(duì)稱受格子構(gòu)造的規(guī)律所限制，只有符合格子構(gòu)造的對(duì)稱才能在晶體上反映出來。3.晶

17、體的對(duì)稱不僅表現(xiàn)在形式上，還表現(xiàn)在物理化學(xué)性質(zhì)上。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第三節(jié) 晶體的基本對(duì)稱性,對(duì)稱是晶體結(jié)構(gòu)的基本特性之一。 對(duì)稱操作：如果一個(gè)物體經(jīng)過一定的動(dòng)作后，其位置，形態(tài)相對(duì)觀察者來說沒有變化，稱此現(xiàn)象為規(guī)律重復(fù)。使得物體沒有變化的動(dòng)作稱為對(duì)稱操作（或稱對(duì)稱動(dòng)作、對(duì)稱變換、對(duì)稱運(yùn)用）。在對(duì)稱動(dòng)作中所憑借的幾何元素（點(diǎn)、線、面）稱為對(duì)稱元素（或?qū)ΨQ要素）

18、晶體外形上可能存在的對(duì)稱要素: 對(duì)稱面、對(duì)稱軸、旋轉(zhuǎn)反伸軸、旋轉(zhuǎn)反映軸、對(duì)稱中心,,二、晶體的對(duì)稱操作及對(duì)稱要素,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第三節(jié) 晶體的基本對(duì)稱性,1.對(duì)稱面（m） 通過晶體中心的假想平面，把晶體分為互為鏡象反映的兩個(gè)部分。相應(yīng)的操作是對(duì)平面的反映。對(duì)稱面必通過晶體幾何中心，且垂直平分某些晶面、晶棱，或包含某些晶棱。 晶體中有的沒有

19、對(duì)稱面，最多的有9個(gè)對(duì)稱面。,,,菱方晶系的3個(gè)對(duì)稱面,立方晶系中的9個(gè)對(duì)稱面a）垂直晶面和通過晶棱中點(diǎn)，并彼此互相垂直的3個(gè)對(duì)稱面。b）包含一對(duì)晶棱，垂直斜切晶面的6個(gè)對(duì)稱面,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第三節(jié) 晶體的基本對(duì)稱性,?宏觀對(duì)稱操作,2·對(duì)稱軸（Cn） 通過晶體中心的一根假想直線，晶體繞此直線旋轉(zhuǎn)一定的角度后，可使晶體上的相等部分重復(fù)，或者說晶

20、體重合。 對(duì)稱軸的操作是繞直線旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)出現(xiàn)重復(fù)的最小旋轉(zhuǎn)角為基轉(zhuǎn)角α，旋轉(zhuǎn)出現(xiàn)重復(fù)的次數(shù)稱為軸次n。兩者之間的關(guān)系是：n=360°/α。一般旋轉(zhuǎn)軸記為Cn(國(guó)際符號(hào)記為n,n=1,2,3,4,6),,,,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第三節(jié) 晶體的基本對(duì)稱性,,?宏觀對(duì)稱操作,不可能使五邊形互相連接充滿整個(gè)平面,如圖所示，不難設(shè)想，如果晶體中有n=5的對(duì)稱軸，則垂

21、直于軸的平面上格點(diǎn)的分布至少應(yīng)是五邊形，但這些五邊形不可能相互拼接而充滿整個(gè)平面，從而不能保證晶格的周期性。,晶體中不可能出現(xiàn)5次軸及高于6次的對(duì)稱軸。這是由于它們不符合空間格子構(gòu)造規(guī)律。只有1、2、3、4、6次五種對(duì)稱軸才能按空間格子中結(jié)點(diǎn)分布要求構(gòu)成面網(wǎng)網(wǎng)孔，不留間隙地排滿整個(gè)平面。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第三節(jié) 晶體的基本對(duì)稱性,?宏觀對(duì)稱操作,3·對(duì)稱中心

22、（i） 對(duì)稱中心是晶體中心一個(gè)假想點(diǎn)，通過此點(diǎn)，任意直線的等距離兩端必定出現(xiàn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)。對(duì)稱中心的操作是對(duì)此點(diǎn)的反伸（過此點(diǎn)作任意直線，則在該直線上距對(duì)稱中心等距離的兩端必定出現(xiàn)晶體上的相等部分)。,晶體可以有對(duì)稱中心，也可能沒有對(duì)稱中心。若晶體存在對(duì)稱中心，它必定與幾何中心重合。晶體若有對(duì)稱中心，其所有晶面必定兩兩平行，大小相等，方向相反。,由對(duì)稱中心聯(lián)系起來的呈反向平行的相等晶面,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ)

23、 第三節(jié) 晶體的基本對(duì)稱性,?宏觀對(duì)稱操作,4·旋轉(zhuǎn)反伸軸（倒轉(zhuǎn)軸） 旋轉(zhuǎn)反伸軸是通過晶體中心的一根假想直線，晶體繞此直線旋轉(zhuǎn)一定的角度后，再通過中心倒反，可使晶體上的相等部分重復(fù)。操作:旋轉(zhuǎn)+反伸。Li1=i Li2=m Li3=L3+i Li6=L3+m,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第三節(jié) 晶體的基本對(duì)稱性,

24、需要特別引起注意: Li6的對(duì)稱特點(diǎn)雖與L3+P相當(dāng),但Li6是六次對(duì)稱,其對(duì)稱程度要高于三次,不能替代. 與對(duì)稱軸情況一樣，倒轉(zhuǎn)軸也只可能有1、2、3、4、6五種軸次。,?宏觀對(duì)稱操作,1.平移 將晶體結(jié)構(gòu)（或空間點(diǎn)陣）平行移到與原來環(huán)境完全相同的位置，這種對(duì)稱操作稱為平移。2.螺旋旋轉(zhuǎn) 繞一固定軸旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)(360o/n)角度后，接著平移t方能得到規(guī)律重復(fù)。這種復(fù)合對(duì)稱操作 稱為螺旋旋轉(zhuǎn)。3.

25、滑移 憑借一個(gè)平面施行反映之后，再平行于該面施行平移t，而使晶體結(jié)構(gòu)圖形得到規(guī)律重復(fù)，這種對(duì)稱操作稱為滑移?；撇僮髦械姆从趁?稱為滑移面，或滑移對(duì)稱面。,?微觀對(duì)稱操作,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第三節(jié) 晶體的基本對(duì)稱性,第四節(jié)、晶系與布拉菲點(diǎn)陣 不同晶體的點(diǎn)陣參數(shù)是不同的。盡管自然界的晶體有幾千種，但根據(jù)這些點(diǎn)陣參數(shù)的特點(diǎn)，可以把空間點(diǎn)陣歸類為七個(gè)晶系：

26、,立方晶系(等軸晶系) 正方晶系(四方晶系)六方晶系菱形晶系(三方晶系)正交晶系(斜方晶系)單斜晶系三斜晶系,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第四節(jié) 晶系與布拉菲點(diǎn)陣,根據(jù)結(jié)點(diǎn)在單胞中的分布，單位點(diǎn)陣有 簡(jiǎn)單（原始）點(diǎn)陣（P）： 結(jié)點(diǎn)均在角頂上 底心點(diǎn)陣（C）： 除角頂外每一對(duì)面上各有一個(gè)結(jié)點(diǎn) 體心點(diǎn)陣（I）： 除角頂外中央有一個(gè)結(jié)點(diǎn)面心點(diǎn)陣（F）： 除角頂外每個(gè)面

27、上均還有一個(gè)結(jié)點(diǎn),根據(jù)點(diǎn)陣參數(shù)的特點(diǎn)和結(jié)點(diǎn)的分布，所有晶體空間點(diǎn)陣的種類有14種。它們是法國(guó)晶體學(xué)家布拉菲總結(jié)出來的，故亦稱為布拉菲點(diǎn)陣。,單胞中結(jié)點(diǎn)的數(shù)目：　　　　簡(jiǎn)單（原始）點(diǎn)陣： 1 底心點(diǎn)陣： 2 體心點(diǎn)陣： 2 面心點(diǎn)陣： 4,簡(jiǎn)單點(diǎn)陣 : 1 ［［000］］,體心點(diǎn)陣: 2 [000] [1/2 1/2 1/2 ],底心點(diǎn)陣:2 [000] [1/2 1/2 0 ],

28、面心點(diǎn)陣: 4[000] [1/2 1/2 0][1/2 0 1/2] [ 0 1/2 1/2],第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第四節(jié) 晶系與布拉菲點(diǎn)陣,七大晶系與14種布拉菲點(diǎn)陣,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第四節(jié) 晶系與布拉菲點(diǎn)陣,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ)

29、 第四節(jié) 晶系與布拉菲點(diǎn)陣,?定義點(diǎn)對(duì)稱操作的集合所構(gòu)成的群即點(diǎn)群.點(diǎn)群以高度的數(shù)學(xué)抽象方式表述了實(shí)際晶體的點(diǎn)對(duì)稱性.?點(diǎn)群的用途及推導(dǎo)方法晶體結(jié)構(gòu)的許多固體物理學(xué)性質(zhì)的對(duì)稱性都與其所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)群有關(guān).晶體或其他物體所具有的點(diǎn)對(duì)稱性可以通過點(diǎn)群符號(hào)簡(jiǎn)潔的描述出來.根據(jù)這些符號(hào)人們可以知道其全部點(diǎn)對(duì)稱性,即點(diǎn)群符號(hào)可以對(duì)應(yīng)著晶體或物體的全部點(diǎn)對(duì)稱性。,第五節(jié)、晶系與32點(diǎn)群,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ)

30、 第五節(jié) 晶系與32點(diǎn)群,7個(gè)晶系的劃分和32晶體學(xué)點(diǎn)群,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第五節(jié) 晶系與32點(diǎn)群,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第五節(jié) 晶系與32點(diǎn)群,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第五節(jié) 晶系與3

31、2點(diǎn)群,滑移面: 亦稱象移面, 是一種復(fù)合的對(duì)稱要素。其輔助幾何要素有兩個(gè)：一個(gè)假想的平面和平行此平面的某一直線方向。相應(yīng)的對(duì)稱變換為：對(duì)于此平面的反映和沿此直線方向平移的聯(lián)合，其平移的距離等于該方向行列結(jié)點(diǎn)間距的一半。,第六節(jié)、微觀對(duì)稱與空間群,晶體微觀對(duì)稱的主要特點(diǎn) 在晶體構(gòu)造中，任何一個(gè)對(duì)稱要素有無窮多個(gè)相同對(duì)稱要素和它平行。出現(xiàn)了一種在宏觀對(duì)稱中不可能出現(xiàn)的對(duì)稱操作——平移操作。從而出現(xiàn)了其特有的對(duì)稱要素：平移

32、軸和滑移面。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第六節(jié) 微觀對(duì)稱與空間群,滑移面為一假想平面，對(duì)此平面反映，并平行此面的某一方向移動(dòng)一定距離，可使相等部分重復(fù)（亦可先平移再反映）滑移面是復(fù)合操作（平移+反映）對(duì)稱面m，滑移面a，b，c表示沿X、Y、Z軸方向滑移該軸上結(jié)點(diǎn)間距的一半?；泼鎛和d是沿兩個(gè)任意晶軸的交角的平分線方向滑移，稱距為（a+b）/2或者（c+b）/2、（a+c）/2，

33、d滑移面（為金剛石型滑移）移距為（a+b）/4或者（c+b）/4、（a+c）/4,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第六節(jié) 微觀對(duì)稱與空間群,平移軸：為一直線方向，相應(yīng)的對(duì)稱變換為沿此直線方向平移一定的距離。對(duì)于具有平移軸的圖形，當(dāng)施行上述對(duì)稱變換后，必可使圖形相同部分重復(fù)，亦即帶個(gè)圖形復(fù)原。在平移這一對(duì)稱變換中，能夠使圖形復(fù)原的最小平移距離，稱為平移軸的移距。,螺旋軸: 是一種復(fù)合的對(duì)

34、稱元素。其輔助幾何要素為：一根假想的直線及與之平行的直線方向。相應(yīng)的對(duì)稱變換為圍繞此直接旋轉(zhuǎn)一定角度和沿此直線方向平移的聯(lián)合。,各種對(duì)稱軸和螺旋軸對(duì)比二次軸有兩種：二次對(duì)稱軸(2)和二次螺旋軸(21)。2l可以這樣理解，2為軸次(螺旋軸基轉(zhuǎn)角α=180°)，以右下方的角碼1做分子，軸次做分母，表示二次螺旋軸的移距t=1／2T。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第六節(jié) 微觀

35、對(duì)稱與空間群,三次軸有三種：三次對(duì)稱軸(3)，右旋三次螺旋軸(31)和左旋三次螺旋軸(32)。31：表示右旋(逆時(shí)針)時(shí)向上的移距，t=1／3T；32表示逆時(shí)鐘旋時(shí)，向上移距，；t=2／3T(順時(shí)針左旋時(shí)向上的移距仍為1／3T)。四次軸有四種：四次對(duì)稱軸(4)，右旋四次螺旋軸(41)，中性四次螺旋軸(42),左旋四次螺旋軸(43)。螺旋軸中，當(dāng)逆時(shí)鐘右旋時(shí)向上的移距分別為1／4T、2／4T和3／4T。42為雙軌中性螺旋軸。即在垂

36、直螺旋軸的同一層面網(wǎng)上，有兩個(gè)結(jié)點(diǎn)同時(shí)旋轉(zhuǎn)(d=90°)和滑移(t=2／4T=1／2T)，經(jīng)過兩個(gè)晶胞(2T)在一周內(nèi)復(fù)原而形成雙軌螺旋。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第六節(jié) 微觀對(duì)稱與空間群,螺旋軸根據(jù)其基轉(zhuǎn)角α，分為二、三、四和六次螺旋軸。每一種螺旋軸又可根據(jù)其移距t，與平行該軸的結(jié)點(diǎn)間距T的相對(duì)大小分為一種或幾種：對(duì)稱軸可以視為螺旋軸的移距t=0者。螺旋軸的國(guó)際符

37、號(hào)ns，n為螺旋軸的軸次(n只能等于1、2、3、4和6)，s為小于n的自然數(shù)。螺旋軸有21；3l；32；41；42：43；61；62；63；64、65共11種。一次螺旋軸實(shí)際上只是一個(gè)簡(jiǎn)單的一次對(duì)稱軸，無特殊意義。,,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第六節(jié) 微觀對(duì)稱與空間群,空間群,晶體結(jié)構(gòu)中一切對(duì)稱要素的組合稱為空間群。共有230種。晶體對(duì)稱型與空間群之差異，即是否有平移操作。

38、點(diǎn)群無平移的原因: A、晶體幾何外形是有限的，平移操作是不能成立 B、對(duì)稱型中所有對(duì)稱要素都必須是共點(diǎn)。 C、晶體外部對(duì)稱上所不能存在的滑移面和螺旋軸等微觀上特有的對(duì)稱要素。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第六節(jié) 微觀對(duì)稱與空間群,空間群的符號(hào) 包含了空間格子類型, 對(duì)稱元素及其相互之間的關(guān)系。國(guó)際符號(hào)分兩個(gè)部分：前半部分是平移群的符號(hào)，即布拉維格子

39、的符號(hào)，按格子類型的不同而分別用字母P、R、I、C、F等表示之。后半部分則是其他對(duì)稱要素之集合的符號(hào)，類似于點(diǎn)群符號(hào)的表達(dá), 但有的被微觀對(duì)稱要素取代。,空間群的國(guó)際符號(hào),第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第六節(jié) 微觀對(duì)稱與空間群,1) 垂直紙面方向的對(duì)稱元素；2) 從左至右(y方向)的對(duì)稱元素；3) 由上到下(x方向)的對(duì)稱元素。,1 2

40、 3,1 2 3,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第六節(jié) 微觀對(duì)稱與空間群,第七節(jié)、晶面指數(shù)和晶向指數(shù),晶面坐標(biāo),一個(gè)空間點(diǎn)陣的晶面或晶向的，為表示晶面和晶向空間點(diǎn)陣中的相對(duì)位置，人們?cè)O(shè)計(jì)了晶面指數(shù)和晶向指數(shù)。較常用的是由英國(guó)晶體學(xué)家米勒1839年設(shè)計(jì)的，故亦稱米勒指數(shù),1、晶面指數(shù)晶面指數(shù)確定的方法：A、量出

41、待定晶面在三個(gè)晶軸的截距，并用點(diǎn)陣周期a, b, c度量它們。 B、取三個(gè)截距的倒數(shù) 1/1 , 1/2 , 1/3C、把它約簡(jiǎn)化為最簡(jiǎn)的整數(shù)h, k, l, 并用小括號(hào)括起來，就構(gòu)成該晶面的晶面指數(shù)（h k l）。,,,,,,,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第七節(jié) 晶面指數(shù)和晶向指數(shù),,,,,,,,1,1/1,(100),1,1,1,1,(110),1,1,1,1,1,1,(111

42、),1/2,1,2,1,(210),第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第七節(jié) 晶面指數(shù)和晶向指數(shù),,,,,｛111｝晶面族中的晶面組,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第七節(jié) 晶面指數(shù)和晶向指數(shù),★ 六方系的四軸坐標(biāo)系：標(biāo)準(zhǔn)定向以6次軸為c軸，2個(gè)2 次軸為a軸和 b軸。6個(gè)柱面屬同一平面族，但指數(shù)為,,,,,,,,,,,,,,,四軸坐標(biāo)系

43、6個(gè)柱面指數(shù)為,三軸指數(shù)[uvw] 與四軸指數(shù)[uvtw]之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第七節(jié) 晶面指數(shù)和晶向指數(shù),A、當(dāng)晶面交于晶軸的負(fù)端時(shí)，對(duì)應(yīng)的指數(shù)就是負(fù)的，并將負(fù)號(hào)標(biāo)在數(shù)字的上面。B、晶面指數(shù)中第一、二、三位分別代表與A、B、C軸的關(guān)系，它們之間不能隨意變換。C、一個(gè)晶面指數(shù)實(shí)際上是代表某個(gè)方向上的一組面，而不是一個(gè)面。D、當(dāng)晶面指數(shù)中某個(gè)位置上的指數(shù)為

44、0時(shí)，表示該晶面與對(duì)應(yīng)的晶軸平行。如（100）(001） 。,2、晶向指數(shù)晶向指數(shù)表示某一晶向（線）的方向。晶向指數(shù)的確定方法：A、過坐標(biāo)原點(diǎn)找一條平行于待定晶向的行列。B、在該行列中任選一個(gè)結(jié)點(diǎn)，量出它在三個(gè)坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)值（用a, b, c度量）C、將它們化為簡(jiǎn)單的整數(shù)u, v, w，并用方括號(hào)括起來，便構(gòu)成晶向指數(shù) [uvw]。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第七節(jié) 晶

45、面指數(shù)和晶向指數(shù),1/2,1,0,1,2,0,0,0,0,0,1,1/2,-1,0,1,-2,0,1 1 1,1,1/2,0,2,1,0,1 1 1,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第七節(jié) 晶面指數(shù)和晶向指數(shù),第八節(jié)、倒易點(diǎn)陣1. 倒易點(diǎn)陣的概念 倒易點(diǎn)陣是由晶體點(diǎn)陣（正點(diǎn)陣）按一定對(duì)應(yīng)關(guān)系建立的與其相聯(lián)系的另外一個(gè)假想空間點(diǎn)陣。倒易點(diǎn)陣是與

46、正點(diǎn)陣相對(duì)應(yīng)的量綱為長(zhǎng)度倒數(shù)的一個(gè)三維空間（倒易空間）點(diǎn)陣，它的真面目只有從客觀存在的性質(zhì)及其與正點(diǎn)陣的關(guān)系中才能真正了解 。,2. 倒易點(diǎn)陣中單位矢量的定義 設(shè)正點(diǎn)陣的原點(diǎn)為O，基矢為 ，倒易點(diǎn)陣的原點(diǎn)為O*，基矢為 ，則有式中V為正點(diǎn)陣中單胞的體積.表明某一倒易基矢垂直于正點(diǎn)陣中和自己異名的二基矢所成平面。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ)

47、 第八節(jié) 倒易點(diǎn)陣,倒易基矢和正空間基矢之間的關(guān)系,,,,O(O*),a,b,c,,,,,,,,,,,(010),,(100),,(001),,C*,,a*,,b*,,f,,y,,w,由：a*·b = a*·c = b*·a = b*·c = c*·b = 0 a*·a = b*·b = c*·c

48、= 1,可導(dǎo)出：,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第八節(jié) 倒易點(diǎn)陣,V和V*分別為正空間的體積和倒易空間陣胞的體積。,由,有：,a, b, g分別是兩個(gè)矢量的夾角；a,b,c倒易點(diǎn)陣的方向如前所定義的。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第八節(jié) 倒易點(diǎn)陣,和,有：,因此倒易空間的陣胞體積和正空間的陣胞體積

49、互為倒數(shù)關(guān)系。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第八節(jié) 倒易點(diǎn)陣,因此有：,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第八節(jié) 倒易點(diǎn)陣,面ABC與3個(gè)軸的交點(diǎn)分別為A，B，C，截距為a/h, b/k, c/l, 則：,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ)

50、第八節(jié) 倒易點(diǎn)陣,在倒易點(diǎn)陣中，由原點(diǎn)O*指向任意坐標(biāo)為（hkl）的陣點(diǎn)的矢量度g hkl （倒易矢量）為：ghkl = h a* + k b* + l c*,所以矢量ghkl與(hkl)面垂直，與面法線平行。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第八節(jié) 倒易點(diǎn)陣,式中（h,k,l）為正點(diǎn)陣的晶面指數(shù)，上式表明：　　 倒易矢量ghkl垂直于正點(diǎn)陣中相應(yīng)

51、的（h,k,l）晶面，或平等于它的法向N hkl 。倒易點(diǎn)陣中的一點(diǎn)代表的是正點(diǎn)陣中的一組晶面。倒易點(diǎn)陣就是與正點(diǎn)陣中所有（hkl）面組相對(duì)應(yīng)的倒易矢量的集合。,③倒易矢量的長(zhǎng)度等于正點(diǎn)陣中相應(yīng)晶面間距的倒數(shù)，即,ghkl =　1/ dhkl,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第八節(jié) 倒易點(diǎn)陣,正點(diǎn)陣和倒點(diǎn)陣的幾何對(duì)應(yīng)關(guān)系倒易點(diǎn)陣中的一個(gè)點(diǎn)代表正點(diǎn)陣中的一組晶面,,正點(diǎn)

52、陣,倒點(diǎn)陣,,,,,,,,,,,,,,,,,（111）,,,,,（021）,,,,,,（011）,o,c,b,a,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,100,010,001,011,111,021,101,110,020,120,121,102,002,012,022,112,122,000,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ)

53、 第八節(jié) 倒易點(diǎn)陣,例：在a，b軸組成的平面中畫出單斜晶系晶系的倒易空間與正空間的對(duì)應(yīng)關(guān)系（假設(shè)c軸垂直與紙面，a=0.4nm，b＝0.8nm），并在圖中標(biāo)出(100), (010), (110)三個(gè)晶面在正空間和倒易空間的位置？,,,a (nm),b (nm),,,,0.4,0.4,,,0.8,0.8,,,a* (nm-1),b* (nm-1),,1nm-1,,,,,,,(100),(010),,,,,,,,,a (O*),(1

54、10),第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第八節(jié) 倒易點(diǎn)陣,第九節(jié)、晶帶、晶面間距和晶面夾角,1、晶帶與晶帶定律：在空間點(diǎn)陣中，所有平行于某一直線的一組晶面的組合稱為一個(gè)晶帶?；蛘哒f交線相互平行的一組晶面的組合稱為一個(gè)晶帶。這一直線就稱為晶帶軸，它用晶向指數(shù)來表示。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第九節(jié) 晶帶、晶面間距和晶面夾角,晶帶

55、定律： 已知一個(gè)晶面 (hkl) 和它所屬的晶帶[uvw]，從很容易得到二者之間的關(guān)系：hu+kv+lw=0，通常把這個(gè)關(guān)系式稱為晶帶定律。,晶帶定律給出了晶面與晶向之間的關(guān)系，它如果晶向[uvw]包括在晶面(hkl)中，二者就滿足這個(gè)關(guān)系式。有了這個(gè)關(guān)系，我們就可以根據(jù)已知的晶面或晶帶來求得另外一些晶面或晶帶。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第九節(jié) 晶帶、晶面間距和晶面夾角,晶面（h

56、kl）的法線向量為矢量g，故有：,晶向L可表示為：,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第九節(jié) 晶帶、晶面間距和晶面夾角,晶帶定律的應(yīng)用1)已知兩晶面(h1k1l1)和(h2k2l2)，求交線[uvw]。h1u+k1v+l1w=0h2u+k2v+l2w=0u：v：w=(k1l2-k2l1):(l1h2-l2h1):(h1k2-h2k1),當(dāng)：,因此有：,2)已知兩晶帶[u1v1w1]和[u2v2

57、w2]，求晶面指數(shù)(hkl)。hu1+kv1+lw1=0hu2+kv2+lw2=0h:k:l=(v1w2-v2w1):(w1u2-w2u1):(u1v2-u2v1) 例 已知兩晶帶[010]和[001]，求二者決定的晶面。h0+k1+l0=0h0+k0+l1=0h:k:l=(1×1-0×0):(0×0-1×0):(0×0-0×1)=1:0:0晶面[100],2、

58、晶面間距的計(jì)算　　　　晶面間距(面網(wǎng)間距)指兩個(gè)相鄰晶面間的垂直距離。對(duì)晶面(hkl), 一般用d(hkl)來表示其晶面間距。一般的規(guī)律是，在空間點(diǎn)陣中，晶面的晶面指數(shù)越小，其晶面間距越大，晶面的結(jié)點(diǎn)密度越大，它的X射線衍射強(qiáng)度越大，它的重要性越大。晶面間距在X射線分析中是十分重要的。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第九節(jié) 晶帶、晶面間距和晶面夾角,若已知某個(gè)晶體的晶體常數(shù)a、b、c和α、β、γ，

59、根據(jù)解析幾何原理，很容易推導(dǎo)出計(jì)算晶面間距的公式。,立方晶系,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第九節(jié) 晶帶、晶面間距和晶面夾角,根據(jù)倒易矢量g*與面間距的關(guān)系：,可知：,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第九節(jié) 晶帶、晶面間距和晶面夾角,正方晶系,斜方晶系,所以：,3、晶面夾角的計(jì)算 若已知某晶體上兩個(gè)晶面(h1k1l1)和(h2k2l2)，可以求二者

60、之間的夾角 (晶面法線的夾角 )。立方晶系的公式 ：,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第九節(jié) 晶帶、晶面間距和晶面夾角,第十節(jié)、晶體投影 借助二維圖形表示三維晶體及點(diǎn)陣等圖形中直線、平面的取向及它們之間的相互配置情況，稱晶體投影。 晶體學(xué)中用保角投影。 球面投影： 引入?yún)⒖记?，晶體置于球心，將各直線或平面平移至過球

61、心再投影。 直線：延長(zhǎng)，交球面于一點(diǎn)，跡點(diǎn)。 平面：擴(kuò)展至球面交成一大圓，圓為該平面的跡線。 法線延長(zhǎng)，交球面于一點(diǎn)，點(diǎn)為該平面的極點(diǎn)。,,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第十節(jié) 晶體投影,球面上任一點(diǎn)P′的位置用球坐標(biāo)表示。記為P′（ρ，φ），ρ為極角，φ為輻角。,角度測(cè)量：（經(jīng)緯線網(wǎng)） 以球心為圓心，球直徑為直徑， 經(jīng)

62、線：過N、S的一組大圓； 緯線：平行赤道的平面與球面相交而成的一組小圓，圓心均在N、S軸上。,,,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第十節(jié) 晶體投影,極射赤面投影：為便于使用，球面投影以極射赤面投影的保角變換形式變換成平面投影。以赤道平面為投影平面，上半球S極為投射點(diǎn)，以⊙或?表示，下半球N極為投射點(diǎn)，以?或 － 表示,,,,,,,,,P″點(diǎn)在投影基圓的位

63、置為：,為投影基圓半徑；?為P′的極角,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第十節(jié) 晶體投影,1）與投影面平行的水平小圓投影為基圓的同心圓2）任意傾斜的小圓投影為小圓3）與投影面垂直的小圓為小圓弧。,球面上水平小圓的極射赤平投影,球面上傾斜小圓極射赤平投影,球面上直立小圓的極射赤平投影,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ)

64、 第十節(jié) 晶體投影,4）球面上大圓的投影，水平大圓投影為基圓，與投影面垂直的大圓投影為直線。5）傾斜大圓投影為大圓弧，大圓法線投影點(diǎn)為該大圓的極點(diǎn)。P為大圓BAC的極點(diǎn)，因此大圓極點(diǎn)與大圓弧上任意一點(diǎn)的角距都為90°，,直立大圓的極射赤平投影,傾斜大圓的極射赤平投影,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第十節(jié) 晶體投影,表示極射面投影圖上極點(diǎn)的位置

65、以及測(cè)量極點(diǎn)間的夾角關(guān)系的一種坐標(biāo)網(wǎng)，稱烏氏網(wǎng)。烏氏網(wǎng)就像地球的經(jīng)緯線，由刻劃在參考球上的網(wǎng)絡(luò)投影而來。取參考球一直徑NS為南北極，通過球心O'并垂直于NS的大圓為赤道，平行于赤道大圓的一系列等角距離的平面與參考球相交形成緯線，通過NS軸等距離平面形成經(jīng)線。,吳氏網(wǎng),第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第十節(jié) 晶體投影,極氏網(wǎng),若以赤道平面上一點(diǎn)為投射點(diǎn)，投影面平行

66、于NS軸就得到如圖所示的烏氏網(wǎng)；若以N或S為投射點(diǎn)，而投影面平行于赤道平面，則得到如圖所示的極網(wǎng)。烏氏網(wǎng)和極網(wǎng)的基圓直徑可做成任意尺寸，其網(wǎng)格的角間距多為2° 。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第十節(jié) 晶體投影,二極點(diǎn)間的夾角測(cè)定： 轉(zhuǎn)動(dòng)投影圖，使二極點(diǎn)處于同一經(jīng)線大圓（包括基圓）或赤道上，二點(diǎn)間緯度差或赤道上經(jīng)度差即為極點(diǎn)間夾角，

67、如圖所示。,極點(diǎn)間夾角的測(cè)量,,(b),(c),(a),,,,,,,,,,,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第十節(jié) 晶體投影,求與已知極點(diǎn)成等夾角的軌跡：轉(zhuǎn)動(dòng)投影圖使已知極點(diǎn)P位于烏氏網(wǎng)的赤道線WE上，在P點(diǎn)兩側(cè)求出二等角距點(diǎn)Q、R、PQ=PR=某確定角度（如30°），以QR為直徑作圓（圓心P'），此小圓即為與P點(diǎn)成30°角的點(diǎn)的軌跡。若夾角

68、較大（50°），使Q、R中之一點(diǎn)落于基圓之外，則可過P點(diǎn)作一經(jīng)線大圓，在P點(diǎn)二側(cè)的大圓上求出與其夾角為50°的二點(diǎn)M、T，將其與赤道上的一點(diǎn)共三點(diǎn)求圓P“，此圓即為欲求的軌跡。,求與極點(diǎn)成等夾角點(diǎn)的軌跡a)軌跡在正面時(shí) b)部分軌跡在背面時(shí),第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第十節(jié) 晶體投影,轉(zhuǎn)動(dòng)軸垂直于投影面：軸的投影即為基圓圓心，只需將極點(diǎn)P在

69、它所在的圓周上向指定方向轉(zhuǎn)過預(yù)定的角度ψ到達(dá)P’即可（如圖所示）。轉(zhuǎn)動(dòng)軸平行于投影面：軸的投影為基圓直徑，轉(zhuǎn)動(dòng)投影圖，使轉(zhuǎn)動(dòng)軸與烏氏網(wǎng)的NS軸重合，待轉(zhuǎn)動(dòng)的點(diǎn)沿它所在的緯線向指定方向轉(zhuǎn)動(dòng)預(yù)定的角度（如圖中A1→A2）若需轉(zhuǎn)至投影圖背面，則應(yīng)用不同符號(hào)標(biāo)明（如圖B1→B1’ )。,極點(diǎn)平行于投影面的軸轉(zhuǎn)動(dòng),極點(diǎn)繞垂直于投影面的軸轉(zhuǎn)動(dòng),第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第十節(jié)