幾何直觀教學(xué)視角

1、建立幾何直觀的教學(xué)視角黃玉香 13905964167@126.com2014.11,“小學(xué)數(shù)學(xué)新課標(biāo)理念與實(shí)踐研究”系列活動(dòng) 專題一：數(shù)據(jù)分析觀念培養(yǎng)（龜湖） 專題二：數(shù)學(xué)文化滲透（實(shí)?。?專題三：基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)解讀與實(shí)踐研究（三?。?專題四：幾何直觀能力培養(yǎng)（二?。?

2、 專題五：推理能力培養(yǎng) 專題六：數(shù)學(xué)基本思想滲透 專題七：良好學(xué)習(xí)習(xí)慣培養(yǎng) 專題八：“綜合與實(shí)踐”難點(diǎn)透視 專題九：課程資源有效利用 專題十：學(xué)習(xí)評價(jià)研究,活動(dòng)背景——,核心概念,幾何直觀在教學(xué)上更為深遠(yuǎn)的意義何在？應(yīng)該建立怎樣的幾何直觀教

3、學(xué)視角？,一、幾何直觀的含義 二、幾何直觀的作用 三、幾何直觀的表現(xiàn)形式 四、幾何直觀的兩種層次 五、相關(guān)術(shù)語的辨析 六、深度解讀幾何直觀 七、幾何直觀在教學(xué)中的運(yùn)用,建立幾何直觀的教學(xué)視角,一、幾何直觀的含義 幾何直觀主要指利用圖形描述和分析問題。借助幾

4、何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。（2011版課標(biāo)）,一、幾何直觀的含義直觀：直接的觀察，通過對事物的直接接觸而獲得的感性認(rèn)識；幾何：在幾何直觀的語境下指圖形；幾何直觀：就是借助圖形而獲得的對數(shù)學(xué)研究對象的感性認(rèn)識。,二、幾何直觀的作用 認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，學(xué)習(xí)是人腦內(nèi)部復(fù)雜的信息加工與組織過程。在這

5、個(gè)信息加工與組織過程中，思維的展開更傾向于依據(jù)直觀形象的成分，而不是依據(jù)文字或符號敘述的定義定理。,視角：由物體兩端射出的兩條光線在眼球內(nèi)交叉而成的角。物體越小或距離越遠(yuǎn)，視角越小。,思維的展開更傾向于依據(jù)直觀形象的成分,,思維的展開更傾向于依據(jù)直觀形象的成分,,●,●,●,□,三角形的高,有些時(shí)候，教學(xué)如果不深入到直觀層面，學(xué)習(xí)只能停留在死記硬背層面。,三、幾何直觀的表現(xiàn)形式 1. 實(shí)物直觀（即實(shí)物圖） 2. 替代物直觀（已

6、經(jīng)具備一定的抽象性）3. 圖形直觀,實(shí)物直觀,實(shí)物直觀,替代物直觀——● 小圓片、小三角形● 點(diǎn)子圖● 小棒（單根、一捆、一箱）● 小方塊（單個(gè)、條、面、體）● 計(jì)數(shù)器,替代物直觀,替代物直觀,圖形直觀——●線段圖（直條圖、示意圖）●面積模型圖（乘法分配律、面積公式）●統(tǒng)計(jì)圖（三種）●圖形的變換（平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱）●函數(shù)圖（正反比例、看圖找關(guān)系）,四、幾何直觀的兩種層次1.直觀感知

7、2.直觀洞察（首次接觸）,直觀 洞察,例2：觀察發(fā)現(xiàn)：平移、旋轉(zhuǎn)能夠由軸對稱來實(shí)現(xiàn)。進(jìn)而猜想：是不是所有的平移、旋轉(zhuǎn)都能由軸對稱來替代？,直觀 洞察,一般地，兩次對折，當(dāng)對稱軸互相平行時(shí)，相當(dāng)于一次平移；當(dāng)對稱軸相交時(shí)，相當(dāng)于一次旋轉(zhuǎn) 。,,直觀洞察 （抽象性）,,直觀感知 （直觀性）,五、相關(guān)術(shù)語的辨析 幾何直觀與數(shù)形結(jié)合 幾何直觀與空間觀念,1.幾何直觀與數(shù)形結(jié)合,數(shù)形結(jié)合——主要指借助“形”的直觀來理解

8、抽象的“數(shù)”。（分?jǐn)?shù)、行程問題）“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微?！?華羅庚）,“形少數(shù)時(shí)難入微”,用數(shù)表示變化規(guī)律：1、3、5、7、9。用算式表示變化規(guī)律： 1、1+3、1+3+5、1+3+5+7、1+3+5+7+9 。,“形少數(shù)時(shí)難入微”,規(guī)律表示：25=1+2+3+4+5+4+3+2+1,“形少數(shù)時(shí)難入微”,中心起點(diǎn)：1 ＝1紅線上點(diǎn)數(shù)：1+3 ＝4紅藍(lán)線上點(diǎn)數(shù)：1+

9、3+5 ＝9紅藍(lán)黃線上點(diǎn)數(shù)：1+3+5+（ ）＝（ ）紅藍(lán)黃綠上線點(diǎn)數(shù)： ＝（ ）,1.幾何直觀與數(shù)形結(jié)合,聯(lián)系與區(qū)別——聯(lián)系1：作用相同，旨在直觀地理解數(shù)學(xué)；聯(lián)系2：應(yīng)用語境大致相同，很多語境下這兩個(gè)詞可以替 換使用。區(qū)別1：數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)思想，幾何直觀更指向于課程意識。區(qū)別2：外延不同。,,找不到不是幾何直觀的數(shù)形結(jié)合，卻可以找到不是數(shù)形結(jié)合的幾何直觀

10、。,無須用到“量”的分析,2.幾何直觀與空間觀念,空間觀念——表現(xiàn)為對形體特征、位置關(guān)系、圖形變換的想象與描述。主要指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。,2.幾何直觀與空間觀念,聯(lián)系與區(qū)別——聯(lián)系1：二者有重疊的部分，如“根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體”等。聯(lián)系2：幾何直觀是建立空間觀念的有效手段。區(qū)別1：空

11、間觀念即使脫離了具體情境也能想象出圖形的形狀與位置關(guān)系，而幾何直觀更強(qiáng)調(diào)借助圖形而進(jìn)行。區(qū)別2：空間觀念更多局限在“圖形與幾何”內(nèi)容領(lǐng)域，而發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力需要依托數(shù)學(xué)課程的每個(gè)領(lǐng)域。,六、深度解讀幾何直觀1. 在各領(lǐng)域?qū)W習(xí)中，都要重視幾何直觀能力的培養(yǎng)。從更長遠(yuǎn)看，幾何直觀的作用不局限于數(shù)學(xué)。 2.對“圖形”的理解可以寬泛些，既可以是有形可視的，也可以是無形想象的。,六、深度解讀幾何直觀3.要看到圖形的直觀性，也要看到

12、圖形的抽象性。 4.幾何直觀是一種意識，也是一種能力，更是一種思維方式。5.直觀本身不是目的，而是手段。,七、幾何直觀在教學(xué)中的運(yùn)用1.規(guī)劃幾何直觀能力培養(yǎng)的脈絡(luò)主線2.創(chuàng)新幾何直觀運(yùn)用的教學(xué)設(shè)計(jì),低年級：實(shí)物圖——示意圖——線段圖 中年級：開始有意識引導(dǎo)學(xué)生掌握畫示意圖和線段圖的要點(diǎn)和技巧。,1.規(guī)劃幾何直觀能力培養(yǎng)的脈絡(luò)主線,2.創(chuàng)新幾何直觀運(yùn)用的教學(xué)設(shè)計(jì),（1）巧用幾何直觀理解概念——追問本質(zhì)（2）巧用幾何直觀洞悉

13、規(guī)則——追問源頭（3）巧用幾何直觀明晰算理——追問思想（4）巧用幾何直觀探尋思路——還原本真,（1）巧用幾何直觀理解概念——追問本質(zhì),動(dòng)態(tài)呈現(xiàn),動(dòng)態(tài)呈現(xiàn),（1）巧用幾何直觀理解概念——追問本質(zhì),動(dòng)態(tài)呈現(xiàn),（1）巧用幾何直觀理解概念——追問本質(zhì),反面干擾,（1）巧用幾何直觀理解概念——追問本質(zhì),反面干擾,（1）巧用幾何直觀理解概念,,反面干擾,,,,（1）巧用幾何直觀理解概念——追問本質(zhì),外延拓

14、展,小紅打一份材料用0.5小時(shí),小麗打相同的材料用1/3小時(shí),（1）巧用幾何直觀理解概念——追問本質(zhì),（2）巧用幾何直觀洞悉規(guī)則——追問源頭,（2）巧用幾何直觀洞悉規(guī)則——追問源頭,能被2、3、5整除的數(shù)，為什么2、5的倍數(shù)看個(gè)位？為什么3的倍數(shù)要看各數(shù)位上的數(shù)字之和？,36,236,（2）巧用幾何直觀洞悉規(guī)則——追問源頭,54,（2）巧用幾何直觀洞悉規(guī)則——追問源頭,123,比例的基本性質(zhì) ？

15、 乘法分配律 ？,（2）巧用幾何直觀洞悉規(guī)則——追問源頭,分?jǐn)?shù)除法，為什么除以一個(gè)數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)？,（2）巧用幾何直觀明晰算理——追問思想,例1：小明2/3小時(shí)走2千米，每小時(shí)走幾千米？,,,師追問：假如不能整除的怎么辦，如3÷7/8＝？怎么利用上節(jié)課的方法進(jìn)行算式“變形運(yùn)算”呢？說明：學(xué)生在上節(jié)課“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的

16、學(xué)習(xí)中已經(jīng)掌握如“4/5÷3＝4/5×1/3”、“A÷B＝A×1/B（B≠0）”的計(jì)算方法。結(jié)合學(xué)生的回答板書：2÷2/3＝2÷2×3＝2×1/2×3＝2×3/23÷7/8＝3÷7×8＝3×1/7×8＝3×8/7,幾何直觀 數(shù)的變形運(yùn)算,,例2：課件動(dòng)態(tài)演示“

17、做花”的情境：3/4張紙做了6朵花。,師：你看懂了什么？生1：3/4張紙做了6朵花。生2：一張紙平均分成4份，其中的3份做6朵花，一張紙可以做幾朵花？出示題：3/4張紙做了6朵花，一張紙可以做多少朵花？（生列式）師：6÷3/4，怎么算？生：前面的分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，是乘一個(gè)數(shù)的倒數(shù)。我想這個(gè)也是，我用“以此類推”的方法轉(zhuǎn)化為乘法，6×4/3。（很多學(xué)生點(diǎn)頭贊同）師：你們認(rèn)為這個(gè)方法是正確的？,師：哦，那你們能不

18、能想一些方法，證明這個(gè)結(jié)果是正確的？靜靜地想一會兒，把所有能想到的方法都記錄下來。教師特意準(zhǔn)備了劃成6格的練習(xí)紙，方便學(xué)生記錄不同的思路。學(xué)生自主嘗試，教師巡視搜集各種思路，整體投影呈現(xiàn)學(xué)生的方法：師：這些方法，哪些你也想到了，哪些你現(xiàn)在能看懂？哪些算法之間有相似之處？說給同桌聽。師：哪些算法大家看不懂，需要提出來討論的？（大部分學(xué)生表示第⑥種和第①種比較難理解。）師：有沒有同學(xué)可以看懂呢？生：……,師：明白了，

19、根據(jù)學(xué)過的知識轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過的算式來解決。那剩下的都能看懂嗎？哪些方法是相似的？生1：第①和第⑤種是相似的，一個(gè)分步，一個(gè)綜合。生2：我覺得①③⑤是一樣的，因?yàn)榈冖鄯N是直接把3/4化成小數(shù)，思考方法一樣，都是化成已經(jīng)學(xué)過的來解決。生3：第②種是我的，我還沒寫完整，我想在旁邊寫一句話，如果把一張紙平均分成4份，3/4張紙做6朵，那么每1/4張紙可以做2朵，所以整張紙可以做8朵。,師：太棒了！看來這些方法的確有相似的地方，第①種方

20、法中的6÷3就是第④種方法中的6×1/3?，F(xiàn)在，我們可以證明，剛才嘗試計(jì)算時(shí)得出的結(jié)果“8”確實(shí)是正確的。那么，你能在這些方法中找到“6×4/3”嗎？生1：第④種方法中的“×1/3×4”其實(shí)就是“×4/3”。生2：第②種方法中，6平均分成3份，就是6×1/3×4，也能找到“6×4/3”。生3：那么，第①種也可以轉(zhuǎn)化為6×1/3

21、15;4，也能找到“6×4/3”。生4：第⑤種也是。生5：第⑥種，除數(shù)化成1后，被除數(shù)的部分就是6×4/3。師：看來，我們不僅驗(yàn)證了“8”這個(gè)結(jié)果是正確的，還證明了以此類推的計(jì)算方法“6×4/3”也是正確的。,,比較兩種教法——1. 幾何直觀的作用理解算理——?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，引出算式2. “數(shù)的變形運(yùn)算”成分（化歸思想）僅在小結(jié)時(shí)出現(xiàn)——作為全課重點(diǎn),還 原 本 真,（4）巧用幾何直觀探尋思路,（

22、4）巧用幾何直觀探尋思路——還原本真,例1：小明前三次數(shù)學(xué)考試的平均成績是９３分，第四次的成績比四次平均成績高３分，小明第四次數(shù)學(xué)考試的成績是多少分？,３÷３＝１（分）９３＋１＋３＝９７（分）,例2：一個(gè)正方形的小果園，周長是20米。如果每4平方米種一棵桃樹，這個(gè)果園一共可以種多少棵桃樹？,（4）巧用幾何直觀探尋思路——還原本真,20÷4＝5（米），5×5＝25（米2），25÷4＝6（棵）……1

23、（米2）,例3：在一個(gè)長6分米、寬4分米、高5分米的長方體中，最多能放入（ ）個(gè)棱長為2分米的小正方體。 A.12 B.13 C.14 D.15多數(shù)學(xué)生：6×5×4÷（2×2×2）＝15（個(gè)）,（4）巧用幾何直觀探尋思路——還原本真,還原本真，巧用示意圖 （不局限于教材的直觀圖）,（4）巧用幾何直觀探尋思路——還原本真,加強(qiáng)幾何