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1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),深圳大學(xué)信息工程學(xué)院 康莉2024/3/18,第二章 隨機(jī)變量及其分布關(guān)鍵詞:隨機(jī)變量、分布函數(shù)、概率密度,問題:若能將試驗(yàn)結(jié)果與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來有意義。 結(jié)果 數(shù)字 例1 將一枚硬幣拋擲3次,對(duì)這3次拋擲中,出現(xiàn)正面H的總次數(shù)感興趣,而對(duì)H, T出現(xiàn)的順序不關(guān)心。 X={0,1,2,3}例2 將一枚硬幣拋擲1次,對(duì)出現(xiàn)
2、正面H,反面 T的情況進(jìn)行觀察。 X={0,1} 1----”H” 0-----”T”,,§2.1 隨機(jī)變量,▲ 隨機(jī)變量的定義定義 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S={e}。每個(gè)e對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)X(e); 定義在樣本空間S上的實(shí)值單值函數(shù)X=X(e)稱為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量常用大寫字母X, Y, Z等表示;實(shí)數(shù)值用相應(yīng)的小寫字母x, y, z等表示。隨機(jī)變量是數(shù)值化后的試驗(yàn)結(jié)果。? 樣本
3、點(diǎn)e與實(shí)數(shù)值的對(duì)應(yīng)情況可用圖說明;? 有許多隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果本身就是數(shù)值。,▲ 利用隨機(jī)變量X表示一個(gè)事件:例1,S={HHH,HHT,HTH,HTT,TTT,THH,THT,TTH} 隨機(jī)變量X為出現(xiàn)正面次數(shù),X={0,1,2,3} 事件A=“正面出現(xiàn)2次”={X=2}={HHT,HTH,THH} 事件B=“正面不多于1次”={X≤1}={HTT,THT,TTH,TTT}▲ 一般地,事件
4、可表示為: P{X L}=P{e|X(e) L}, 其中L為某個(gè)實(shí)數(shù)集。 ▲ 隨機(jī)變量通常分成兩類:連續(xù)型和離散型?!?#160; 隨機(jī)變量取值為實(shí)數(shù),便于用“數(shù)學(xué)分析方法”進(jìn)行研究。,§2.2 離散型隨機(jī)變量及其分布▲ 定義:一個(gè)隨機(jī)變量的全部不同取值為有限個(gè)或可列無限多個(gè),該變量稱為離散隨機(jī)變量?!?如何完整的描述離散隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律:離散變量X的可能取值
5、:xk , k=1,2,…, 每一個(gè)可能取值的概率: P{X=xk}=pk, k=1,2,…, P{X=xk}=pk稱為離散隨機(jī)變量X的分布律?!?分布律的性質(zhì):,,▲ 分布律也可利用表格直觀地表示:,例1. 設(shè)汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四組信號(hào)燈,每組信號(hào)燈以1/2的概率允許或禁止汽車通過。以X表示汽車首次停下時(shí),它已通過的信號(hào)燈的組數(shù)(各組信號(hào)燈的工作相互獨(dú)立),求X的分布律。,其分布
6、律的代數(shù)表達(dá)形式: P{X=k}=(1-p)kp, k=0,1,2,3, P{X=4}=(1-p)4若p=1/2, 則:,解:以p表示每組信號(hào)燈禁止汽車通過的概率,得X的分布律:,,▲ 三種重要的離散型分布:(一)(0-1)分布:設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1,且它的分布律為: P{X=k}=pk(1-p)1-k, k=0,1, 0<p<1.則稱X服從(0-1)分布或兩點(diǎn)分布。(0-1)
7、0; 分布可表示為:,二項(xiàng)分布的例子: 1.對(duì)新生嬰兒的性別進(jìn)行登記 2.檢查產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格 3.拋硬幣,(二) 伯努利試驗(yàn)、二項(xiàng)分布 ▲ 試驗(yàn)E只有兩個(gè)結(jié)果: ,稱E為Bernoulli試驗(yàn)。 P(A)=p, P( )=1-p. 將E獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次,稱該串重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)為n重Bernoulli試驗(yàn)。,拋硬幣一次——Bernoulli
8、試驗(yàn)。拋硬幣n次——n重Bernoulli試驗(yàn)。拋硬幣n次,并且要記錄出現(xiàn)正面(反面)的次數(shù)——二項(xiàng)分布,目的: 在n重試驗(yàn)中,計(jì)算A發(fā)生次數(shù)的概率。 隨機(jī)變量X={n次試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)}, X所有可能取值為:X={0,1,2,…,n} 事件{X=k}表示:有k次A發(fā)生,n-k次 發(fā)生,共有 種不同方式。
9、 , k=0,1,2,…,n 稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n, p的二項(xiàng)分布(Binomial Distribution)。,,,解:不放回抽樣時(shí),若抽的數(shù)量占總數(shù)量的份額很小,可看作有放回抽樣。設(shè)X表示抽查20只元件中一級(jí)品的只數(shù),則X是一隨機(jī)變量,且X~b(20, 0.2)。由二項(xiàng)分布的計(jì)算公式,得,例2 按規(guī)定,某種型號(hào)電子元件的使用壽命超過1500小時(shí)
10、為一級(jí)品。已知某一大批產(chǎn)品中一級(jí)品率為0.2,現(xiàn)從中隨機(jī)地抽查20只。問20只元件中恰有k(k=0,1,…,20)只為一級(jí)品的概率為多少?,解:設(shè)X表示在400次射擊中擊中的次數(shù),則該隨機(jī)變量X~b(400, 0.02). 由二項(xiàng)分布的計(jì)算公式,得 因此,至少擊中2次的概率為P{X≥2}=1-P{X=0}-P{X=1} =1
11、-(0.98)400-400*(0.02)*(0.98)399=0.9972.▲ 由小概率原理:幾乎每次都至少擊中2次; 不能輕視小概率事件。,例3 某人進(jìn)行射擊,設(shè)每次射擊的命中率為0.02,獨(dú)立射擊400次,試求至少擊中兩次的概率。,在二項(xiàng)分布中,若相對(duì)而言,n大,p小,而乘積大小適中,則二項(xiàng)分布中,諸概率有一個(gè)很好的近似公式。這個(gè)近似公式,就是泊松定
12、理。,(三) 泊松分布 設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取值為0,1,2,…, 而取各個(gè)值的概率為 其中 為常數(shù),稱X服從參數(shù)為 的泊松分布,▲ 計(jì)算可得,,,,泊松分布的例子 一定時(shí)間內(nèi),電話總站接錯(cuò)電話的次數(shù) 一定時(shí)間內(nèi),超市排隊(duì)等候付款的顧客人數(shù) 一定時(shí)間內(nèi),某操作系統(tǒng)發(fā)生故障的次數(shù) 一個(gè)面包上,葡萄干的個(gè)數(shù),總的來看,
13、泊松分布總與計(jì)數(shù)過程相關(guān),并且計(jì)數(shù)是在一定區(qū)域內(nèi)、一定時(shí)間內(nèi)、或一特定單位內(nèi)的前提下進(jìn)行的。,例:在500人組成的團(tuán)體中,恰有k個(gè)人的生日是在元旦的概率是多少?,解:每個(gè)人生日在元旦的概率為p=1/365. 該團(tuán)體中生日為元旦的人數(shù) X~b(500,1/365),分別計(jì)算k=0,1,2,3。。。的值即可,當(dāng)k的值多,且大時(shí),計(jì)算困難!,泊松定理!,,二項(xiàng)分布與泊松近似的比較,,,定義 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,x是任意實(shí)數(shù),函數(shù)F
14、(x)=P{X≤ x} 稱為X的分布函數(shù)。,§2.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù),對(duì)非離散型的隨機(jī)變量,取值不能一一列舉。考慮其落入一個(gè)區(qū)間的概率。對(duì)任意x1, x2, 得: P{x1< X ≤ x2}= P{ X ≤ x2}- P{ X ≤ x1}=F(x2)-F(x1)分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。 ··,分布函數(shù)實(shí)質(zhì)上是對(duì)分布律的概念擴(kuò)展。,1.F
15、(x)是一個(gè)不減函數(shù);,分布函數(shù)的性質(zhì):,3.右連續(xù)性:,2.有界性:0≤F(x)≤1,且 ,,★ 離散隨機(jī)變量的分布函數(shù),例1 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為,分析:X只在x= -1,2,3三點(diǎn)處概率不為0,而F(x)的值是 X≤x的累積概率值。,P{X≤1/2} = P{X=-1} =1/4P{2≤X≤3} = P{X=2}+ P{X=3} = 3/4,求X的分布函數(shù),并求P{X≤1/2}和P{2≤X≤
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