[學(xué)習(xí)]天津大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)多維隨機(jī)變量連續(xù)

1、(X,Y )是二維連續(xù)型隨機(jī)變量,二維連續(xù)型隨機(jī)變量,X 是(一維)連續(xù)型隨機(jī)變量,類比,· 位于xOy 面上方的曲面.,· 它與xOy 面圍成的空間區(qū)域體積為1.,,· 隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在平面區(qū)域D內(nèi)的概率= 以D為底、曲面f (x,y)為頂?shù)那斨w的體積,,=F(+? , +?),非負(fù)性,規(guī)范性,,,? ? x ?(-?, +?),隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)F(x),f (x) 是 X 的概率密度,

2、二維隨機(jī)變量(X,Y )的分布函數(shù)F(x,y),f (x,y)是X 和Y 的聯(lián)合概率密度,⑶ P(0 < X ? 1, 0 <Y ? 2),例4(P88 例4),試求： ⑴ 常數(shù)C; ⑵分布函數(shù)F(x, y); ⑶ P(0<X?1, 0<Y?2)與P(Y?X).,解 ⑴,由規(guī)范性知：,∴ C=12;,⑵,記為D,,,,G,,G,P(Y ? X),例5 設(shè) r.v.( X ,Y ) 的聯(lián)合

3、d.f. 為,其中k 為常數(shù). 求,常數(shù) k ; P ( X + Y ? 1) , P ( X < 0.5); 聯(lián)合分布函數(shù) F (x,y); 邊緣 d.f. 與邊緣分布函數(shù),例5,解 令,(1),,,(2),,,0.5,,,的分段區(qū)域,,,,,,,,,,當(dāng)0? x< 1, 0? y< x 時(shí)，,(3),,當(dāng)x<0 或 y<0 時(shí), F(x,y) = 0,,,當(dāng)0? x<1, x

4、? y<1時(shí)，,,,,,,,,當(dāng)0 ? x <1, y ? 1時(shí)，,,,,當(dāng)x ? 1, 0 ? y < 1時(shí)，,,,,,,當(dāng) x ? 1, y ? 1 時(shí)，,(4),設(shè) G 是平面上的有界區(qū)域,其面積為S. 若二維隨機(jī)變量 (X,Y)的概率密度為,則稱(X,Y)在G上服從均勻分布.,向平面上有界區(qū)域 G 內(nèi)任投一質(zhì)點(diǎn)，,四、兩個(gè)常見(jiàn)的二維分布,1. 均勻分布,若質(zhì)點(diǎn)落在 G 內(nèi)任一小區(qū)域 B 的概率與小區(qū)域的

5、面積成正比，而與B的形狀及位置無(wú)關(guān).,則質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)(X,Y )在 G 上服從均勻分布.,.,,例6 設(shè)(X ,Y ) ~ G 上的均勻分布,,f ( x, y ); P ( Y > X 2 ); ( X ,Y ) 在平面上的落點(diǎn)到 y 軸距離小于0.3的概率.,例6,求,解 (1),,(2),,(3),,例7 甲乙約定8:00?9:00在某地會(huì)面.假設(shè)兩人都在這期間的任一時(shí)刻隨機(jī)到達(dá)，先到者最多等待15分鐘后

6、就離開(kāi).求兩人能見(jiàn)面的概率.,2024/3/26,17,2024/3/26,18,60,60,若二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度,2. 正態(tài)分布,則稱(X,Y )服從參數(shù)為 的二維正態(tài)分布.,記作(X,Y)～N( ).,,且,二維正態(tài)分布剖面圖,§2 邊緣分布,,聯(lián)合分布F(X,Y),二維聯(lián)合分布F(X,Y)全面地反映了二維隨機(jī)變量(X,Y)

7、的取值及其概率規(guī)律.,問(wèn)題：二者之間有什么關(guān)系嗎?,分別稱為(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù),但作為一維隨機(jī)變量, X, Y 也有自己的分布函數(shù).,,由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布,由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布,反之?,轉(zhuǎn)化為一維時(shí)的情形,,FX ( x ) = F(x, +?),X 和Y 的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y ),,則(X,Y )關(guān)于X 的邊緣分布函數(shù)為,(X,Y) 關(guān)于Y 的邊緣分布函數(shù)為,二、連續(xù)型二維隨機(jī)變量的邊緣概率

8、密度,(X,Y )關(guān)于Y 的邊緣概率密度為,則(X,Y )關(guān)于X 的邊緣概率密度為,,例2 設(shè)(X,Y )的概率密度是,解,求邊緣密度.,分段函數(shù)積分應(yīng)注意其表達(dá)式,,,,y = x,y = x2,,,,在求連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣密度時(shí)，往往要對(duì)聯(lián)合密度在一個(gè)變量取值范圍上進(jìn)行積分.,當(dāng)聯(lián)合密度是分段函數(shù)時(shí)，在計(jì)算積分時(shí)應(yīng)特別注意積分限 .,,例,設(shè)(X,Y )服從橢圓域 上的均勻分布,求,(1) 求(X,Y )的邊

9、緣密度函數(shù),解 (1),由題知(X,Y )的概率密度為,同理可得,(2),(2) ,其中A為區(qū)域:,X 與Y 不服從均勻分布,二維均勻分布的兩個(gè)邊緣密度未必是均勻分布的,二維正態(tài)分布的邊緣密度仍服從正態(tài)分布,A,,x+y =a,,,,,解,例4,求二維正態(tài)分布的邊緣密度.,,,,,～～,二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣密度仍是正態(tài)分布,均與 ? 無(wú)關(guān),逆命題成立嗎 ？,由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合

10、分布,,,請(qǐng)看下例,例5 若二維隨機(jī)變量( X, Y )的概率密度為,,求邊緣密度函數(shù),解,同理,～ ～,但反之不真,二維正態(tài)分布性質(zhì),二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣密度仍是正態(tài)分布的,正態(tài)分布的聯(lián)合分布未必是正態(tài)分布,但反之不真,聯(lián)合分布和邊緣分布的關(guān)系:,我們與一維情形相對(duì)照，采用類比和轉(zhuǎn)化的手段,介紹了二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布、邊緣分布.,由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;,但由邊緣分布一般不能