基于matlab的logistics方程下的混沌現(xiàn)象初步分析

1、<p>　　基于Matlab的Logistics方程下的混沌現(xiàn)象初步分析</p><p>　　[摘 要]在混沌現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)以后，人們通常認(rèn)為測量的微小誤差對天氣預(yù)報的影響將產(chǎn)生巨大的變化而且不可預(yù)測，而本文通過Matlab的Logistic方程模擬混沌現(xiàn)象，并初步得知初值對系統(tǒng)的敏感性、混沌中亦有規(guī)律，即系統(tǒng)混沌初期混亂但后期有收斂，無序中存在有序，而通過這些規(guī)律我們可以準(zhǔn)確地預(yù)測天氣。 </p>

2、;<p>　　[關(guān)鍵詞]混沌現(xiàn)象 初值敏感 無序中的有序 </p><p>　　中圖分類號：P95 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-914X（2015）40-0390-03 </p><p>　　1、Matlab的簡介 </p><p>　　1.1 Matlab主要功能 </p><p><b>　?。ū?） &l

3、t;/b></p><p>　　1.2 Matlab的優(yōu)勢和特點(diǎn) </p><p>　　（1）友好的工作平臺和編程環(huán)境 </p><p>　?。?）簡單易用的程序語言 </p><p>　　（3）強(qiáng)大的科學(xué)計算機(jī)數(shù)據(jù)處理能力 </p><p>　?。?）出色的圖形處理功能 </p><p>

4、;　?。?）應(yīng)用廣泛的模塊集合工具箱 </p><p>　　（6）實(shí)用的程序接口和發(fā)布平臺 </p><p>　?。?）應(yīng)用軟件開發(fā)（包括用戶界面） </p><p>　　2、混沌理論的基本情況 </p><p>　　2.1 什么是混沌理論 </p><p>　　混沌理論是一種兼具質(zhì)性思考與量化分析的方法，用以探討動態(tài)

5、系統(tǒng)中無法用單一的數(shù)據(jù)關(guān)系，而必須用整體，連續(xù)的數(shù)據(jù)關(guān)系才能加以解釋及預(yù)測之行為。 </p><p>　　“一切事物的原始狀態(tài)，都是一堆看似毫不關(guān)聯(lián)的碎片，但是這種混沌狀態(tài)結(jié)束后，這些無機(jī)的碎片會有機(jī)地匯集成一個整體。” </p><p>　　混沌一詞原指宇宙未形成之前的混亂狀態(tài)，古希臘哲學(xué)家對于宇宙之源起即持混沌論，主張宇宙是由混沌之初逐漸形成現(xiàn)今有條不紊的世界。在井然有序的宇宙中，西方

6、自然科學(xué)家經(jīng)過長期的探討，逐一發(fā)現(xiàn)眾多自然界中的規(guī)律，如大家熟知的地心引力，杠桿原理，相對論等。這些自然規(guī)律都能用單一的數(shù)學(xué)公式加以描述，并可以依據(jù)此公式準(zhǔn)確預(yù)測物體的行徑。 </p><p>　　近半世紀(jì)以來，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)許多自然現(xiàn)象即使可以化為單純的數(shù)學(xué)公式，但是其行徑卻無法加以預(yù)測。如氣象學(xué)家Edward Lorenz發(fā)現(xiàn)簡單的熱對流現(xiàn)象居然能引起令人無法想象的氣象變化，產(chǎn)生所謂的“蝴蝶效應(yīng)”. 60年代，美

7、國數(shù)學(xué)家Stephen Smale發(fā)現(xiàn)某些物體的行徑經(jīng)過某種規(guī)則性變化之后，隨后的發(fā)展并無一定的軌跡可循，呈現(xiàn)失序的混沌狀態(tài)。 </p><p>　　2.2 混沌理論的特性 </p><p>　?。?）隨機(jī)性：體系處于混沌狀態(tài)是由體系內(nèi)部動力學(xué)隨機(jī)性產(chǎn)生的不規(guī)則性行為，常稱之為內(nèi)隨機(jī)性.例如，在一維非線性映射中，即使描述系統(tǒng)演化行為的數(shù)學(xué)模型中不包含任何外加的隨機(jī)項(xiàng)，即使控制參數(shù)、初始值都

8、是確定的，而系統(tǒng)在混沌區(qū)的行為仍表現(xiàn)為隨機(jī)性。這種隨機(jī)性自發(fā)地產(chǎn)生于系統(tǒng)內(nèi)部，與外隨機(jī)性有完全不同的來源與機(jī)制，顯然是確定性系統(tǒng)內(nèi)部一種內(nèi)在隨機(jī)性和機(jī)制作用。體系內(nèi)的局部不穩(wěn)定是內(nèi)隨機(jī)性的特點(diǎn)，也是對初值敏感性的原因所在。 </p><p>　?。?）敏感性：系統(tǒng)的混沌運(yùn)動，無論是離散的或連續(xù)的，低維的或高維的，保守的或耗散的。時間演化的還是空間分布的，均具有一個基本特征，即系統(tǒng)的運(yùn)動軌道對初值的極度敏感性。這種

9、敏感性，一方面反映出在非線性動力學(xué)系統(tǒng)內(nèi)，隨機(jī)性系統(tǒng)運(yùn)動趨勢的強(qiáng)烈影響；另一方面也將導(dǎo)致系統(tǒng)長期時間行為的不可預(yù)測性。氣象學(xué)家洛侖茲提出的所謂"蝴蝶效應(yīng)"就是對這種敏感性的突出而形象的說明。 </p><p>　　（3）分維性：混沌具有分維性質(zhì)，是指系統(tǒng)運(yùn)動軌道在相空間的幾何形態(tài)可以用分維來描述。例如Koch雪花曲線的分維數(shù)是1.26；描述大氣混沌的洛倫茲模型的分維數(shù)是2.06體系的混沌運(yùn)動在

10、相空間無窮纏繞、折疊和扭結(jié)，構(gòu)成具有無窮層次的自相似結(jié)構(gòu)。 </p><p>　?。?）普適性：當(dāng)系統(tǒng)趨于混沌時，所表現(xiàn)出來的特征具有普適意義。其特征不因具體系統(tǒng)的不同和系統(tǒng)運(yùn)動方程的差異而變化。這類系統(tǒng)都與費(fèi)根鮑姆常數(shù)相聯(lián)系。這是一個重要的普適常數(shù)δ=4.669201609l0299097… </p><p>　?。?）標(biāo)度律：混沌現(xiàn)象是一種無周期性的有序態(tài)，具有無窮層次的自相似結(jié)構(gòu)，存

11、在無標(biāo)度區(qū)域。只要數(shù)值計算的精度或?qū)嶒?yàn)的分辨率足夠高，則可以從中發(fā)現(xiàn)小尺寸混沌的有序運(yùn)動花樣，所以具有標(biāo)度律性質(zhì)。例如，在倍周期分叉過程中，混沌吸引子的無窮嵌套相似結(jié)構(gòu)，從層次關(guān)系上看，具有結(jié)構(gòu)的自相似，具備標(biāo)度變換下的結(jié)構(gòu)不變性，從而表現(xiàn)出有序性。 </p><p>　　2.3 混沌理論的研究背景 </p><p>　　混沌的發(fā)現(xiàn)揭示了我們對規(guī)律與由此產(chǎn)生的行為之間--即原因與結(jié)果之間-

12、-關(guān)系的一個基本性的錯誤認(rèn)識。我們過去認(rèn) 為，確定性的原因必定產(chǎn)生規(guī)則的結(jié)果，但現(xiàn)在我們知道了，它們 可以產(chǎn)生易被誤解為隨機(jī)性的極不規(guī)則的結(jié)果。我們過去認(rèn)為，簡單的原因必定產(chǎn)生簡單的結(jié)果（這意昧著復(fù)雜的結(jié)果必然有復(fù)雜的原因），但現(xiàn)在我們知道了，簡單的原因可以產(chǎn)生復(fù)雜的結(jié)果。我們認(rèn)識到，知道這些規(guī)律不等于能夠預(yù)言未來的行為。 </p><p>　　這一思想已被一群數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，其中包括威廉?迪托 （Willia

13、m Ditto）、艾倫?加芬科（Alan Garfinkel）和吉姆?約克 （Jim Yorke），變成了一項(xiàng)非常有用的實(shí)用技術(shù)，他們稱之為混沌控制。實(shí)質(zhì)上，這一思想就是使蝴蝶效應(yīng)為你所用。初始條件的小變化產(chǎn)生隨后行為的大變化，這可以是一個優(yōu)點(diǎn)；你必須做的一切，是確保得到你想要的大變化。對混沌動力學(xué)如何運(yùn)作的認(rèn)識，使我們有可能設(shè)計出能完全實(shí)現(xiàn)這一要求的控制方案。這個方法已取得若干成功。混沌控制的最早成就之一，是僅用衛(wèi)星上遺留的 極少量肼

14、使一顆“死”衛(wèi)星改變軌道，而與一顆小行星相碰撞。美國 國家航空與航天管理局操縱這顆衛(wèi)星圍繞月球旋轉(zhuǎn)5圈，每一圈 用射出的少許肼將衛(wèi)星輕推一下，最后實(shí)現(xiàn)碰撞。 </p><p>　　混沌理論的特征在證券市場中也存在。周K線圖看上去與日K線圖、小時K線圖、5分鐘K線圖的形狀十分相似，這就是證券市場價格的分形特征，我們可以應(yīng)用5分鐘K線圖或者小時K線圖來推斷日K線圖或周K線圖的形狀，為投資決策服務(wù)。 　　2.4 幾種

15、典型的混沌系統(tǒng) </p><p>　　（1）拋物線映射： </p><p>　　拋物線映射是一類混沌映射的統(tǒng)稱，通常所說的logistic映射和蟲口模型都屬于拋物線映射。 </p><p>　　3、Logistic方程與混沌 </p><p>　　3.1 Logistic模型 </p><p>　　由荷蘭生物學(xué)數(shù)學(xué)家V

16、erhulst 19世紀(jì)中葉提出的昆蟲數(shù)量阻滯增長模型： </p><p>　　其中：表示第k代昆蟲數(shù)量（1表示最大值），a為資源系數(shù)，0≤a≤4保證了 在區(qū)間上封閉. 式（1） 為一個一階非線性差分方程，反映了下一代對上一代的既依賴又競爭的關(guān)系，當(dāng)上一代很少時，繁殖能力不夠，導(dǎo)致后代很少；當(dāng)上一代很多時，會吃掉很多食物，后代難以存活，也會致使后代很少。 </p><p>　　Logist

17、ic模型又稱蟲口模型，它最初是用來描述昆蟲種群增長數(shù)量的。設(shè)是某種昆蟲第n年內(nèi)的個體數(shù)目，n取整數(shù)值，第n+1年的數(shù)目為，最簡單的蟲口模型是 </p><p>　　Logistic方程，見式（4.1）： </p><p>　　其中a為增長率，考慮到食物等有限因素而引起蟲口飽和。為了處理上的方便，設(shè)，考慮關(guān)系式，見式（4.2） </p><p>　　其中不在是種群數(shù)量

18、，而是當(dāng)前數(shù)量和該地區(qū)能容納最大數(shù)量的比率。 </p><p>　　若蟲口數(shù)量不變，即，意味著，但不都是穩(wěn)定的。對于方程，當(dāng)參數(shù)μ變化時，隨之變化，而只有當(dāng)<1時，才是穩(wěn)定的。隨著μ的取值變化，X的取值范圍由周期逐漸加倍進(jìn)入混沌。 </p><p>　　根據(jù)的不同，有以下幾種情況： </p><p>　　a.當(dāng)0<<1時，由函數(shù)所決定的離散混沌動力

19、系統(tǒng)的行為十分的簡單，除了=0不動點(diǎn)之外，再也沒有其他的周期點(diǎn)，也就是說這些蟲子很可能是要被自然所淘汰。 </p><p>　　b.當(dāng)1<<3時，系統(tǒng)的動力學(xué)特征也比較簡單。0，為僅有的兩個周期點(diǎn)，且為吸引不動點(diǎn)。 </p><p>　　c.當(dāng)3<<4時，系統(tǒng)的動力學(xué)特性十分復(fù)雜，系統(tǒng)由周期狀態(tài)進(jìn)入混沌狀態(tài)。也就是說，在這個狀態(tài)下，X的取值范圍是非常廣的，而且取值是

20、一種貌似無規(guī)律的狀態(tài)，非周期，不收斂，迭代生成的值是以一種偽隨機(jī)分布的狀態(tài)，而且越接近4，x的分布就越接近平均分布整個[0，1]的區(qū)間。 </p><p>　　3.2 Logistic方程與混沌――matlab模擬 </p><p>　　Logistic一維模型是個簡單而能表現(xiàn)出許多典型特征的混沌行為，本文是在matlab基礎(chǔ)上對其混沌現(xiàn)象的若干特性作模擬實(shí)驗(yàn)研究，程序如下 </p&

21、gt;<p>　　clear；clf； axis（[2.7，4，0，1]）；grid </p><p><b>　　hold on </b></p><p>　　for r=2.7：0.002：3.9 </p><p><b>　　x=[0.1]； </b></p><p>　　for

22、 i=2：150 </p><p>　　x（i）=r*x（i-1）*（1-x（i-1））； </p><p><b>　　end </b></p><p>　　pause（0.1） </p><p>　　fprintf（'r=%.3f＼n'，r） </p><p>　　for i=

23、101：150 </p><p>　　plot（r，x（i），'k.'）； </p><p><b>　　end </b></p><p><b>　　end </b></p><p><b>　　結(jié)果如圖1所示： </b></p><p&g

24、t;　　再次加密r 取值進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如圖。 </p><p>　　由1分支變?yōu)?分支，如圖2。由2分支變?yōu)?分支，如圖3。 </p><p>　　由4分支變?yōu)?分支，如圖4。 </p><p>　　由8分支變?yōu)?6分支（2個局部圖），如圖5 </p><p>　　由16分支分為32分支（4個局部圖），如圖6 </p><

25、p>　　由32分支變?yōu)?分支，如圖7 </p><p>　　由8分支變?yōu)?6分支（2個局部圖），如圖8 </p><p>　　回到8分支（1/2圖），如圖9 </p><p>　　回到16分支（2個局部圖），如圖10 </p><p><b>　　結(jié)果分析： </b></p><p>　?。?/p>

26、1）剛開始的分支是由少到多，到32分支以后，就變得較無規(guī)律，有時變多，有時減少，但總是匯聚為8分支或16分支像是有一定的周期； </p><p>　?。?）不同分支匯聚或發(fā)散都是同步的，即r數(shù)一致； </p><p>　?。?）出現(xiàn)分歧的點(diǎn)越來越密集，從圖上坐標(biāo)的對比可得出。 </p><p><b>　　主要結(jié)論： </b></p>

27、;<p>　?。?）混沌是有界的（既不收斂也不發(fā)散），其迭代軌線始終局限于一個確定的區(qū)域，無論內(nèi)部如何不穩(wěn)定，混沌系統(tǒng)是穩(wěn)定的； </p><p>　　（2）混沌的內(nèi)部看似毫無規(guī)律，但是從Logistic方程上看，前部分雖是越來越分散但是后部分卻又匯聚的跡象，那么混沌運(yùn)動在其混沌吸引與內(nèi)是各態(tài)經(jīng)歷卻會在某一時間內(nèi)達(dá)到相同的狀態(tài)，而且是同時的。 </p><p><b&g

28、t;　　參考文獻(xiàn) </b></p><p>　　[1] 艾瑪?A.穆薩，劉君，李紅楓，范占軍，桁林譯. 最新動態(tài)：混沌和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論[J].匯率預(yù)測技術(shù)與應(yīng)用，第九章. </p><p>　　[2] 申維.分形混沌與礦產(chǎn)預(yù)測，69. </p><p>　　[3] 基于互相關(guān)檢測和混沌理論的弱信號檢測方法研究[J].儀器儀表學(xué)報，200122（1）.<