蔡氏電路混沌現(xiàn)象的仿真

1、<p><b>　　目錄</b></p><p>　　引言…………………………………………………………………..1</p><p>　　1 混沌學(xué)概述…………………………………………………………2</p><p>　　1.1混沌與非線性科學(xué)………………………………………………2</p><p>　　1.2 混沌

2、的含義…………………………………………………….3</p><p>　　2 混沌理論…………………………………………………………..4</p><p>　　2.1混沌產(chǎn)生的數(shù)學(xué)模型…………………..……………………..4</p><p>　　2.2奇怪吸引子與分形......................................5</p>&

3、lt;p>　　2.3研究混沌的主要方法....................................7</p><p>　　2.4通向混沌的道路——分岔................................8</p><p>　　3蔡氏電路模型及MALAB仿真.................................9</p><p&g

4、t;　　3.1 電路模型..............................................9</p><p>　　3.2 蔡氏電路數(shù)學(xué)模型及其分析.............................12</p><p>　　3.3蔡氏電路仿真研究......................................13</p><p

5、>　　3.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)論.............................................18</p><p>　　結(jié)束語…………………………………………………………………19</p><p>　　致 謝…………………………………………………………………20</p><p>　　附錄A 英文文獻(xiàn)原文…………………………………………..

6、….21</p><p>　　附錄B 英文文獻(xiàn)翻譯……………………………………………….27</p><p>　　附錄C 仿真源代碼………………………………………………….30</p><p>　　蔡氏電路混沌現(xiàn)象的仿真</p><p>　　[摘要]本文從理論分析與Matlab仿真兩個(gè)角度分別研究非線性電路中的混沌現(xiàn)象。簡(jiǎn)要介紹了混沌及其

7、特征，混沌產(chǎn)生的機(jī)理和條件，以及非線性電路分析仿真的算法。在分析與仿真蔡氏電路的基礎(chǔ)上，構(gòu)造一個(gè)變形蔡氏電路模型，對(duì)其電路的非線性元件利用分段線性化方法處理，用MATLAB編程語言對(duì)該非線性微分方程進(jìn)行分析與仿真該變形蔡氏電路通向混沌的道路。結(jié)果表明該變形蔡氏電路也和蔡氏電路一樣，在不同的參數(shù)下存在有豐富的分岔和混沌現(xiàn)象，并在特定參數(shù)下存在所謂的“雙渦卷”混沌吸引子。混沌理論運(yùn)用于各種學(xué)科，如通信的保密通信；利用分形研究物質(zhì)結(jié)構(gòu)及性能；

8、經(jīng)濟(jì)混沌和經(jīng)濟(jì)波動(dòng)的非線性動(dòng)力學(xué)理論等。</p><p>　　[關(guān)鍵字]：混沌 ； MATLAB仿真分析；蔡氏電路模型；</p><p>　　Simulation of Chaos in Chua’s Curcuit</p><p>　　[Abstract]: The chaos phenomenon in nonlinear circuit is studied

9、by MATLAB simulation and theoretical analysis in the paper. This paper introduces simply chaos and its characteristic, the chaos output mechanism and condition, and the calculable method of analytic simulation of nonline

10、ar circuit. In the foundation of the analysis and simulation of Chua’s circuit, a modified Chua’s circuit model is constructed. Its nonlinear component is processed using the way of the segment lining. Then the lang</

11、p><p><b>　　引言</b></p><p>　　混沌研究最先起源于 Lorenz研究天氣預(yù)報(bào)時(shí)用到的三個(gè)動(dòng)力學(xué)方程．后來的研究表明，無論是復(fù)雜系統(tǒng)，如氣象系統(tǒng)、太陽系，還是簡(jiǎn)單系統(tǒng)，如鐘擺、滴水龍頭等，皆因存在著內(nèi)在隨機(jī)性而出現(xiàn)類似無軌，但實(shí)際是非周期有序運(yùn)動(dòng)，即混沌現(xiàn)象．現(xiàn)在混沌研究涉及的領(lǐng)域包括數(shù)學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)、天文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)及工程技術(shù)的眾多學(xué)科，

12、并對(duì)這些學(xué)科的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響．隨著計(jì)算機(jī)和計(jì)算科學(xué)的快速發(fā)展，混沌現(xiàn)象及其應(yīng)用研究已成為自然科學(xué)技術(shù)和社會(huì)科學(xué)研究領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)。而非線性電路是混沌及混沌同步應(yīng)用研究的重要途徑之一。其中一個(gè)最典型的電路是三階自治蔡氏電路，這個(gè)電路是由加州大學(xué)伯克利分校的蔡少棠首先發(fā)起研究的。在這個(gè)電路中觀察到了混沌吸引子。蔡氏電路是能產(chǎn)生混沌行為最簡(jiǎn)單的自治電路，所有應(yīng)該從三階自治常微分方程描述的系統(tǒng)中得到的分岔和混沌現(xiàn)象都能夠在蔡氏電路中通過計(jì)算

13、機(jī)仿真和示波器觀察到。蔡氏電路雖然簡(jiǎn)單，但其中蘊(yùn)含著豐富和復(fù)雜的非線性現(xiàn)象。不須改變電路系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，只調(diào)整控制參數(shù)R，就能獲得電路系統(tǒng)不同狀態(tài)的響應(yīng)輸出信號(hào)[1]。該文對(duì)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的蔡氏電路進(jìn)行了研究,建立了數(shù)學(xué)模型,分析了產(chǎn)生混沌的原因,并根</p><p><b>　　+</b></p><p><b>　　1 混沌學(xué)概述</b></p

14、><p>　　1.1混沌與非線性科學(xué)</p><p>　　混沌學(xué)于上世紀(jì)六十年代初在美國(guó)興起。它是非線性系統(tǒng)中存在的一種普遍現(xiàn)象，也是非線性系統(tǒng)所特有的一種復(fù)雜狀態(tài)。所以我在論文中研究的蔡氏電路必然是一個(gè)非線性系統(tǒng)，確切地說是一個(gè)非線性動(dòng)力系統(tǒng)。從函數(shù)構(gòu)造的角度來說，非線性系統(tǒng)要比“線性系統(tǒng)”更多、更普遍。“線性系統(tǒng)”與“非線性系統(tǒng)”的不同之處至少有兩個(gè)方面。第一：線性系統(tǒng)可以使用疊加原理，而

15、非線性系統(tǒng)則不能。第二：（也就是最本質(zhì)的）非線性系統(tǒng)對(duì)初值極敏感，而線性系統(tǒng)則不然。</p><p>　　1.2 混沌的含義 </p><p>　　混沌到目前為止，還沒有一個(gè)統(tǒng)一的、有足夠數(shù)學(xué)定理支持的、普遍適用和完美的混沌理論，所以只能通過混沌系統(tǒng)所表現(xiàn)出的一些普遍現(xiàn)象總結(jié)歸納出其所謂的本質(zhì)。綜上所述，可以做出如下的理解：混沌是指確定的宏觀的非線性系統(tǒng)在一定條件下所呈現(xiàn)的不確定的或不可預(yù)

16、測(cè)的隨機(jī)現(xiàn)象；是確定性與不確定性或規(guī)則性與非規(guī)則性或有序性與無序性融為一體的現(xiàn)象；其不可確定性或無序隨機(jī)性不是來源于外部干擾，而是來源于內(nèi)部的“非線性交叉耦合作用機(jī)制”，這種“非線性交叉耦合作用”的數(shù)學(xué)表達(dá)式是動(dòng)力學(xué)方程中的非線性項(xiàng)，正是由于這種“交叉”作用，非線性系統(tǒng)在一定的臨界性條件下才表現(xiàn)出混沌現(xiàn)象，才導(dǎo)致其對(duì)初值的敏感性，才導(dǎo)致內(nèi)在的不穩(wěn)定性的綜合效果。所謂確定性系統(tǒng)是指所考慮的物理系統(tǒng)，它的物理量隨時(shí)間的變化是一個(gè)確定性質(zhì)的常

17、微分方程組或差分方程組所決定的。只要給定了初始條件，它的解（或稱為運(yùn)動(dòng)軌道）就是唯一確定的。在某些情況和給定的控制參數(shù)下，解會(huì)呈現(xiàn)出無序的混亂狀態(tài)，也就是上面所說的混沌狀態(tài)。這種確定性系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象本質(zhì)上不同于不受確定性方程約束的所謂完全隨機(jī)的混亂狀態(tài)。混沌現(xiàn)象是"確定性系統(tǒng)"的一種"內(nèi)在的隨機(jī)性"，它是有別于可能</p><p><b>　　2 混沌理論 <

18、;/b></p><p>　　2.1混沌產(chǎn)生的數(shù)學(xué)模型 </p><p>　　科學(xué)中有一些簡(jiǎn)單而并不平庸的典型問題，圍繞它們可以敘述和掌握相當(dāng)廣泛的科學(xué)內(nèi)容。一個(gè)例子是二體問題，從經(jīng)典力學(xué)中的開普勒問題、相對(duì)論力學(xué)中的水星近日點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，到量子力學(xué)中的氫原子和量子場(chǎng)論中的蘭姆譜線位移，貫穿了經(jīng)典和近代物理學(xué)的全部發(fā)展史。另一個(gè)例子是花粉顆粒在液體中的布朗運(yùn)動(dòng)，從愛因斯坦的直觀處理和朗之萬

19、方程、福克─普朗克方程、到漲落耗散定理的現(xiàn)代表述和隨機(jī)過程的連續(xù)積分表示，引出了整個(gè)物理學(xué)中的概率論描述體系。這兩個(gè)例子，一屬確定論，另一個(gè)則為概率論。恰好對(duì)于確定論系統(tǒng)中的隨機(jī)性，即混沌現(xiàn)象，也存在著這樣的代表性模型，這就是一維迭代過程。</p><p><b>　　2.1.1一維迭代</b></p><p>　　迭代是研究非線性方程演化過程的有力工具。為了研究一個(gè)

20、物理系統(tǒng)，可以把系統(tǒng)的狀態(tài)用一組變量x，y，z…描述，它們都是時(shí)間t的函數(shù)，同一個(gè)系統(tǒng)還受某些可以調(diào)節(jié)的“控制參量”a，b，c…的影響。最簡(jiǎn)單的情景是固定一組參量，把時(shí)間變化限制成等間隔的t，t+1， t+2…，看下一個(gè)時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)如何依賴于當(dāng)前狀態(tài)。在只有一個(gè)狀態(tài)變量x時(shí)，這個(gè)演化過程可以由一個(gè)非線性函數(shù)描述。更一般些，時(shí)間跳躍的間隔（或稱之為對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行觀測(cè)的采樣間隔）Δt可以不是整數(shù)，把各個(gè)時(shí)刻寫成相應(yīng)狀態(tài)，于是演化方程成為迭代過

21、程（即：一階差分方程）。以上操作實(shí)質(zhì)上是在相空間中取一個(gè)截面或者做一種時(shí)序的對(duì)應(yīng)操作，這是一種簡(jiǎn)化非線性演化方程的重要方法，稱之為取龐加萊截面及龐加萊映象[5]。取龐加萊截面或做映象是研究復(fù)雜系統(tǒng)的重要簡(jiǎn)化手段，微分方程的解對(duì)應(yīng)于一定維數(shù)空間中的連續(xù)流，由于D維離散映象至少對(duì)應(yīng)D+1維的流，因此在同樣維數(shù)下，離散系統(tǒng)的內(nèi)容總比連續(xù)系統(tǒng)更豐富。比如：一維流只能表達(dá)從"源"到"漏"，沒有其它花樣，而一

22、維映象（即：一維迭代）則可以表現(xiàn)出分岔與混沌等更復(fù)雜的行為。</p><p>　　2.1.2 二維非線性系統(tǒng) </p><p>　　一維非線性映射都是不可逆的，只對(duì)應(yīng)于耗散系統(tǒng)，而二維映象在許多方面起著從一維到高維的銜接作用。二維系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象，不僅會(huì)出現(xiàn)在耗散系統(tǒng)中，而且它也可能出現(xiàn)在保守系統(tǒng)中。對(duì)于保守系統(tǒng)來說，由于系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)H＝常數(shù)，系統(tǒng)存在一個(gè)能量積分，所以一維保守系統(tǒng)不可能

23、出現(xiàn)混沌。二維哈密頓系統(tǒng)中研究較多的是所謂“標(biāo)準(zhǔn)映象”。它出現(xiàn)在許多自由度為2的非線性振子理論中，是帶電粒子在環(huán)行磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的一種模型。二維耗散系統(tǒng)中研究最多的一例是所謂埃農(nóng)（Hénon）映射，只要b≠0，變換就是可逆的，b＝1時(shí)，它保持相體積不變，是一種保守系統(tǒng)。b<1對(duì)應(yīng)耗散系統(tǒng)，b＝0則回到一維映射。埃農(nóng)等人研究發(fā)現(xiàn)對(duì)于某些控制參數(shù)和初值，迭代結(jié)果迅速收斂到（x，y）平面上接近一維的“吸引子”上。這個(gè)吸引子很像是平

24、滑曲線，但它具有寬度。如果取來吸引子的一小段不斷放大，可以看到越來越小的尺度上重復(fù)出現(xiàn)近似的自相似結(jié)構(gòu)。這是第一個(gè)實(shí)際觀察到的具有非整數(shù)維的“奇怪吸引子”。 二維映象中在某些方面表現(xiàn)出了與一維線段映象不同的性質(zhì)，比如：對(duì)b=1的埃農(nóng)映象的研究給出的結(jié)構(gòu)普適常數(shù)δ＝8．7210和標(biāo)度因子α＝4．018均與一維單鋒映象</p><p>　　2.2奇怪吸引子與分形 </p><p>　　保守系統(tǒng)

25、由于相體積永遠(yuǎn)不變，所以不存在吸引子，而耗散系統(tǒng)則不然，相體積在演化過程中不斷收縮，各種各樣的運(yùn)動(dòng)在演化中逐漸衰亡，最后只剩下少數(shù)自由度決定的長(zhǎng)時(shí)間行為，即：耗散系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)最終趨向維數(shù)比原始相空間低的極限集合，這個(gè)極限集合稱為吸引子。</p><p>　　2.2.1 平庸吸引子 </p><p>　　通過常微分方程解的極限集合，即相空間某一區(qū)域的點(diǎn)都取作初值時(shí)，這些軌道的極限行為。極限集合

26、的一些平庸情況是熟知的：零維不動(dòng)點(diǎn)、一維極限環(huán)和二維環(huán)面等。如果t→∞時(shí)，系統(tǒng)趨向一個(gè)與時(shí)間無關(guān)的定常態(tài)，即相空間中的一個(gè)特定的點(diǎn)，這就是不動(dòng)點(diǎn)。不動(dòng)點(diǎn)是零維的吸引子。一維以上的系統(tǒng)原則上就可能具有不動(dòng)點(diǎn)。如果t→∞時(shí)，系統(tǒng)中剩下一個(gè)周期振動(dòng)，這就是一維的吸引子──極限環(huán)。只有在二維以上的相空間中，才可能出現(xiàn)極限環(huán)。通常極限環(huán)是由不動(dòng)點(diǎn)發(fā)展起來的。當(dāng)某個(gè)不動(dòng)點(diǎn)在參數(shù)變變化過程中由穩(wěn)定而失穩(wěn)，新的穩(wěn)定狀態(tài)往往是圍繞著原有不動(dòng)點(diǎn)的周期運(yùn)動(dòng)，

27、這個(gè)過程稱為霍普夫分岔(hopf)[6]。</p><p>　　2.2.2 奇怪吸引子 </p><p>　　奇怪吸引子是耗散系統(tǒng)混沌現(xiàn)象的另一個(gè)重要的特征。簡(jiǎn)單地說奇怪吸引子就是相空間（對(duì)連續(xù)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，至少是三維；對(duì)離散的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，至少是二維）的一個(gè)有限的區(qū)域內(nèi)，由無窮多個(gè)不穩(wěn)定點(diǎn)集組成的一個(gè)集合體。奇怪吸引子有兩個(gè)最重要的特征：(1) 對(duì)初始條件有敏感的依賴性。在初始時(shí)刻從這個(gè)奇

28、怪吸引子上任何兩個(gè)非常接近的點(diǎn)出發(fā)的兩條運(yùn)動(dòng)軌道，最終必會(huì)以指數(shù)的形式互相分離。由于混沌對(duì)初值極為敏感，它表現(xiàn)為局部不穩(wěn)定。但對(duì)耗散系統(tǒng)而言，則又具有相體積收縮的特性，因而造成軌道無窮多次折迭往返?；煦畿壍涝谙嗫臻g中"添滿"有限的區(qū)域，形成奇怪吸引子。實(shí)際上，它有內(nèi)外兩種趨向，一切吸引子之外的運(yùn)動(dòng)都向它靠攏，這是穩(wěn)定的方向；而一切到達(dá)吸引子內(nèi)的軌道都又相互排斥（指數(shù)式分離），對(duì)應(yīng)為不穩(wěn)定方向。正是這種整體趨向穩(wěn)定而局

29、部又極為不穩(wěn)定的矛盾，導(dǎo)致了奇怪吸引子的另一個(gè)更奇怪的性質(zhì)：(2)它具有非常奇特的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和幾何形式。 奇怪吸引子是具有無窮多層次自相似結(jié)構(gòu)的、幾何維數(shù)為非整數(shù)的一個(gè)集合體。為了描述奇怪吸引子的這種奇特結(jié)構(gòu)，曼德爾布羅特(Mandelbrot)最早（1975年）引進(jìn)了分形（既其維數(shù)是非整數(shù)的對(duì)象）</p><p>　　2.3研究混沌的主要方法 </p><p>　　2.3.1 李雅普諾夫（

30、Lyapunov）指數(shù)</p><p>　　Lyapunov指數(shù)可用來判斷蔡氏電路中是否能產(chǎn)生混沌。</p><p>　　對(duì)于非線性動(dòng)力系統(tǒng)的完善的定性描述，由于可能出現(xiàn)的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)而似乎是一個(gè)不可解決的問題。若附加地應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法，那么情況會(huì)好一些。也就是說，考慮某些平均值的演化，而不是考慮由一個(gè)確定的初始條件出發(fā)的一跟軌跡，目前在表征混沌運(yùn)動(dòng)方面，顯示出重大意義的統(tǒng)計(jì)特征值之一是Lyap

31、unov指數(shù)。它是相空間中相近軌道的平均收斂性或平均發(fā)散性的一種度量。</p><p>　　混沌系統(tǒng)由像空間中的不規(guī)則軌道奇怪吸引子來描述。奇怪吸引子的一個(gè)明顯特征就是吸引子鄰近點(diǎn)的指數(shù)離析。因?yàn)橄嗫臻g中的點(diǎn)表示整個(gè)物理系統(tǒng)，所以鄰近點(diǎn)的指數(shù)離析意味著初始狀態(tài)完全確定的系統(tǒng)，在長(zhǎng)時(shí)間情況下會(huì)不可避免的發(fā)生變化。這種行為就是系統(tǒng)對(duì)初始條件具有敏感依賴性的反映。而引入的Lyapunov指數(shù)恰可定量表示奇怪吸引子的這種

32、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。</p><p>　　對(duì)于n維相空間中的連續(xù)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，考察一個(gè)無窮小n維球面的長(zhǎng)時(shí)間演化。由于流的局部變形特性，球面將變?yōu)閚維橢球面。第i個(gè)Lyaounov指數(shù)按橢球主軸長(zhǎng)度定義為：</p><p><b>　?。?. 1）</b></p><p>　　上式說明，Lyapunov指數(shù)的大小表明相空間中相近軌道的平均收斂或發(fā)散的指數(shù)

33、率。</p><p>　　Lyapunov指數(shù)是很一般的特征數(shù)值，它對(duì)每種類型的吸引子都有定義。N維相空間有n個(gè)實(shí)指數(shù)，故也稱為譜，并按其大小排列，一般令。一般說來，具有正和零Lyapunov指數(shù)的方向，都對(duì)支撐起吸引子起作用，而負(fù)Lyapunov指數(shù)對(duì)應(yīng)著收縮方向，這兩種因素對(duì)抗的結(jié)果就是伸縮與折疊操作，這就形成奇怪吸引子的空間幾何形狀。因此，對(duì)于奇怪吸引子而言，其最大Lyapunov指數(shù)為正的（另外也至少有一

34、個(gè)Lyapunov指數(shù)是負(fù)的），并且Lyapunov指數(shù)越大，系統(tǒng)的混沌性越強(qiáng)；反之亦然[9]。</p><p>　　2.3.2 其它方法 </p><p>　　對(duì)于混沌現(xiàn)象的客觀反映就需要更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)描述以及更直觀的物理現(xiàn)象。在實(shí)驗(yàn)分析方面，對(duì)混沌系統(tǒng)施行功率譜分析已是研究混沌的最有效、最直觀的工具。 </p><p>　　描述混沌程度的方法有很多種，而且各有利弊

35、。其中較主要的還有如確定奇怪吸引子的各種維數(shù)、確定混沌系統(tǒng)的所謂柯爾莫哥洛夫熵、對(duì)周期驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)較易實(shí)現(xiàn)的分頻采樣法以及前面介紹的取龐加萊截面的方法等等。理論分析中則大量使用泛函分析，借用相變理論中的重正化群方法。</p><p>　　2.4通向混沌的道路——分岔 </p><p>　　了解如何通向混沌是很有意義的。有時(shí)候需要人為地制造混沌，如保密通訊，但一些時(shí)候，又不允許系統(tǒng)出現(xiàn)混沌。 目

36、前，公認(rèn)的通向混沌的道路有三條：倍周期分岔，陣發(fā)混沌和準(zhǔn)周期進(jìn)入混沌。與之對(duì)應(yīng)的是非線性方程中三種不同類型的分岔——倍周期分岔、切分岔和霍普夫分岔。</p><p>　　2.4.1 倍周期分岔通向混沌 </p><p>　　第一種是倍周期分岔（又稱Feigenbaum途徑）。這條途徑是一種規(guī)則的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（如某種定態(tài)解或周期解）可以通過周期不斷加倍的倍分岔方式逐步過度到混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。<

37、/p><p>　　Feigenbaum指出Logistic映射分岔點(diǎn)的參數(shù)值 (m=1，2，3…)形成無窮序列，并有一個(gè)極限值。同時(shí)Feinbaum還發(fā)現(xiàn)，Logistic映射系統(tǒng)伴隨倍周期分岔的產(chǎn)生還呈現(xiàn)別的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為。下面簡(jiǎn)要敘述Logistic映射的情形：</p><p>　　1．混沌和奇怪吸引子；</p><p>　　2．逆瀑布（Inverse Cascad

38、e）(逆級(jí)聯(lián))；</p><p>　　3．周期窗口(Periodic Windows)；</p><p><b>　　4．U序列。</b></p><p>　　2.4.2 陣發(fā)性通向混沌</p><p>　　第二種是間隙（陣發(fā)）混沌模型，亦稱Pomeau-Manneville途徑，它是由Pomeau和Manneville

39、于1982年所提出的一種途徑，這條途徑是一種規(guī)則的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)通過有時(shí)規(guī)則有時(shí)混沌的間隙（陣發(fā)）狀態(tài)轉(zhuǎn)變混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的。</p><p>　　陣發(fā)混沌是非平衡非線性系統(tǒng)進(jìn)入混沌的又一條道路。這里的陣發(fā)指陣發(fā)性這一概念。它原指湍流理論中用來描述流暢中在層流背景上湍流隨機(jī)爆發(fā)的現(xiàn)象，表現(xiàn)為層流，湍流相交而使相應(yīng)的空間隨機(jī)地交替。在混沌理論中主要是借助于陣發(fā)性概念來表示時(shí)間域中系統(tǒng)不規(guī)則行為和規(guī)則行為的隨機(jī)交替現(xiàn)象。具體來

40、說，陣發(fā)性混沌是指系統(tǒng)從有序向混沌轉(zhuǎn)化時(shí)，在非平衡非線性條件下，當(dāng)某些參數(shù)的變化達(dá)到某一臨界閾值時(shí)，系統(tǒng)的時(shí)間行為忽而周期（有序），忽而混沌，在兩者之間振蕩。有關(guān)參數(shù)連續(xù)變化時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)會(huì)由陣發(fā)性混沌發(fā)展成為混沌，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和物理實(shí)驗(yàn)中都已證實(shí)了間隙性的存在[10]。</p><p>　　2.4.3 Hopf分岔通向混沌</p><p>　　Hopf分岔途徑，亦稱Ruelle-Taken

41、s-Newhouse方案，也是一條通向混沌的道路。它是由Ruelle和Takens等人為了取代Landau和Hopf關(guān)于湍流的假設(shè)，針對(duì)Landau的 《論湍流問題》，于1971年合寫的《論湍流的本質(zhì)》這篇論文中提出的。1978年，Newhouse又對(duì)他們的結(jié)果做了進(jìn)一步改進(jìn)。</p><p>　　當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)有不同頻率的振蕩互相耦合時(shí)，系統(tǒng)就會(huì)產(chǎn)生一系列新的耦合頻率的運(yùn)動(dòng)。按照Landau和Hopf關(guān)于湍流發(fā)生機(jī)制

42、的假設(shè)：湍流的發(fā)生是經(jīng)過無窮次準(zhǔn)周期分岔。準(zhǔn)周期分岔可以用環(huán)面分岔來描述，將不動(dòng)點(diǎn)，極限環(huán)分別看做0環(huán)面、1環(huán)面，表示為，則上述通往混沌（相應(yīng)于湍流）的轉(zhuǎn)變可以表示為混沌。并且每一次分岔可以看做是一次Hopf分岔，分岔出一個(gè)新的不可公約的頻率?；谶@一猜測(cè)，混沌（湍流）可視為無窮多個(gè)頻率耦合的振蕩現(xiàn)象[11]。</p><p>　　3蔡氏電路模型及MALAB仿真</p><p><b

43、>　　3.1 電路模型</b></p><p>　　蔡氏電路是能產(chǎn)生混沌行為最簡(jiǎn)單的自治電路，所有應(yīng)該從三階自治常微分方程描述的系統(tǒng)中得到的分岔和混沌現(xiàn)象都能夠在蔡氏電路中通過計(jì)算機(jī)仿真和示波器觀察到。蔡氏電路雖然簡(jiǎn)單，但其中蘊(yùn)含著豐富和復(fù)雜的非線性現(xiàn)象。不須改變電路系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，只調(diào)整控制參數(shù)R，就能獲得電路系統(tǒng)不同狀態(tài)的響應(yīng)輸出信號(hào)。</p><p>　　自治動(dòng)力系統(tǒng)產(chǎn)生

44、混沌現(xiàn)象需要以下條件：系統(tǒng)至少有三個(gè)狀態(tài)變量，并且存在一定的非線性環(huán)節(jié)。蔡氏電路使用三個(gè)儲(chǔ)能元件和一個(gè)分段線性電阻，電路如圖1所示。可以把電路分為線性部分和非線性部分。其中線性部分包括：電路R、電感L（含內(nèi)阻r）和兩個(gè)電容和；非線性部分只有一個(gè)分段線性電阻，其伏安特性如圖2所示，非線性電阻采用如圖3所示的電路進(jìn)行線性化處理。</p><p>　　圖5．1 蔡氏電路圖</p><p>　　圖

45、5．2 非線性電阻等效電路</p><p>　　5．3 非線性電阻伏安特性</p><p>　　電路圖中選用的具體參數(shù)為： ，，，，，，，，，運(yùn)放采用，二極管采用1N4148，為了調(diào)節(jié)混沌現(xiàn)象出現(xiàn)的條件，R采用可變電阻，調(diào)節(jié)范圍為0到3k。下面分析圖5．3中非線性電阻的伏安特性：</p><p>　　二極管和都截止時(shí)，A和B點(diǎn)的電壓為：</p><

46、;p><b>　　（3. 1）</b></p><p><b>　?。?. 2）</b></p><p>　　當(dāng)時(shí)，其中為二極管導(dǎo)通電壓，為電容兩端的電壓。截止，導(dǎo)通：</p><p><b>　?。?. 3）</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，截

47、止：</b></p><p><b>　?。?. 4）</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，導(dǎo)通，截止：</b></p><p>　　這樣，電流i對(duì)于電壓的函數(shù)可以表示為：</p><p><b>　?。?．5）</b></p><p&g

48、t;　　式（1）也可以用下式表示：</p><p>　　這樣就可以得到如圖2所示的非線性電阻伏安特性。可以通過調(diào)節(jié)電阻R的阻值來改變的大小，非線性電阻中的運(yùn)放LM741工作在線性放大區(qū)域中，由它及和其相連的電阻組成線性負(fù)阻，運(yùn)放本身并沒有產(chǎn)生非線性。</p><p>　　蔡氏電路（圖3．5）的電路模型為：</p><p><b>　?。?．6）</b

49、></p><p>　　其中為電容兩端的電壓，為通過電感L的電流。</p><p>　　3.2 蔡氏電路數(shù)學(xué)模型及其分析</p><p>　　式（5．2）中，取，，，，，，，，其中，為系統(tǒng)狀態(tài)變量，自變量為時(shí)間，可以得到蔡氏電路的數(shù)學(xué)模型：</p><p><b>　　（3．7）</b></p>&l

50、t;p><b>　　其中 </b></p><p><b>　?。?．8）</b></p><p>　　式中微分都是相對(duì)變量。</p><p>　　將（3．7）式可以化為：</p><p><b>　?。?．9）</b></p><p>　　令 考

51、慮平衡態(tài)，即：</p><p><b>　　（4．0）</b></p><p>　　根據(jù)的不同形式，在的三個(gè)子空間：</p><p>　　式中都有唯一的平衡點(diǎn)，分別是：</p><p>　　其中。在三個(gè)子空間中，式（3．9）為線性方程，令，（3．9）式可以改寫成：</p><p><b>

52、;　?。?．1）</b></p><p><b>　　其中，</b></p><p>　　在子空間中c=a，子空間和中c=b。參數(shù)α，β，a，b可以根據(jù)前面的電路參數(shù)求得，分別為10，15，-1．1，-0．7。當(dāng)c=b時(shí)，即在和 區(qū)域內(nèi)，A具有實(shí)數(shù)特征值及一對(duì)共軛的復(fù)數(shù)特征值(相應(yīng)的特征值實(shí)部變化曲線如圖5-4 所示) ． 當(dāng)R 變化時(shí)， A由負(fù)定矩陣變?yōu)?/p>

53、不定的， 對(duì)應(yīng)的平衡點(diǎn)由穩(wěn)定焦點(diǎn)變?yōu)榘包c(diǎn)。經(jīng)過計(jì)算，子空間和中平衡點(diǎn)處的特征值為-8．46，0．54±j4．21。子空間中平衡點(diǎn)處的特征值為4．08，-1．47±j3．21。</p><p>　?。╝）A的實(shí)特征值 (b)A的負(fù)特征值的實(shí)部</p><p>　　圖5．4 A的特征值曲線</p>

54、<p>　　由此得出三個(gè)子空間中的平衡點(diǎn)都是鞍點(diǎn)。到目前為止，還不知道系統(tǒng)是否出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，還需要進(jìn)一步判斷。Lyapunov指數(shù)是判斷系統(tǒng)混沌現(xiàn)象的最常見方法，它能夠定量地描述動(dòng)力系統(tǒng)在相空間中相鄰軌道的發(fā)散程度。若動(dòng)力系統(tǒng)在一定區(qū)域內(nèi)的第一個(gè)Lyapunov指數(shù)λ1>0，則動(dòng)力系統(tǒng)在這個(gè)區(qū)域上出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，并且對(duì)于初值是敏感的。</p><p>　　在平衡點(diǎn)處的局部區(qū)域內(nèi)計(jì)算以上蔡氏電路的第

55、一個(gè)Lyapunov指數(shù)，可以得到: =0．283，可見>0，蔡氏電路的運(yùn)動(dòng)處于混沌狀態(tài)。</p><p>　　3.3蔡氏電路仿真研究</p><p>　　3.3.1 蔡氏電路仿真算法</p><p>　　方程(3．7)是非線性微分方程組，需要用數(shù)值方法求解。一般地，四階龍格-庫塔算法是求解這類方程的基本算法，其算法思想如下：</p><p

56、>　　基于Taylor級(jí)數(shù)展開的方法，利用f在某些點(diǎn)處函數(shù)值的線性組合構(gòu)造差分方程，從而避免高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。</p><p><b>　　由微分中值定理：</b></p><p><b>　　（4. 1）</b></p><p>　　利用微分方程，得到這里的</p><p>　　稱作區(qū)間上的

57、平均斜率，記作K*，即 。因此只要對(duì)平均斜率提供一種算法，由式（5.8）便可以得到一個(gè)微分方程的數(shù)值計(jì)算公式。如果在上多預(yù)置幾個(gè)點(diǎn)的斜率值，然后將它們的加權(quán)平均作為的近似值，則就可以構(gòu)造出高精度的數(shù)值計(jì)算公式。四階龍格-庫塔算法的計(jì)算公式就是按照這一思路推導(dǎo)出來的，它有多種形式，其標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)描述如下：</p><p><b>　　(4. 2)</b></p><p>

58、;<b>　　(4. 3)</b></p><p>　　(4. 4) (4. 5)</p><p>　　其中h為根據(jù)要求選擇的合適步長(zhǎng)。四階龍格-庫塔算法的公式每一步計(jì)算需四次調(diào)用f的函數(shù)值，計(jì)算量較大，但其局部截?cái)嗾`差可達(dá),精確度較高。</p>

59、;<p>　　根據(jù)上述蔡氏電路的正規(guī)化方程（2）和四階龍格-庫塔算法，用MATLAB語言進(jìn)行仿真。仿真實(shí)現(xiàn)的程序一共要編寫4個(gè)M文件，其中文件chua_map.m用來實(shí)現(xiàn)分段線性化函數(shù)，chua_initial.m和chua.m調(diào)用文件chua_map.m，前者實(shí)現(xiàn)龍格-庫塔算法，后者用龍格-庫塔算法解常微分方程組，chua_demo.m調(diào)用chua_initial.m和chua.m，給定初值并輸出仿真結(jié)果。</p&

60、gt;<p>　　各M文件中函數(shù)的調(diào)用關(guān)系如圖：</p><p>　　仿真中固定以下參數(shù)：</p><p>　　=10nF ， =100nF， L=20mH，</p><p>　　E=1V， = -0．628mS ， = -0．4mS</p><p>　　改變參數(shù)R范圍0～3kΩ。采用MATLAB對(duì)方程(5．3)進(jìn)行求解，積分步

61、長(zhǎng)取h=0.01，采用long型數(shù)據(jù)。</p><p>　　綜合所得的結(jié)果，可歸納出電路的四種狀態(tài)(各態(tài)間存在過渡態(tài))。</p><p><b>　　3.3.2 穩(wěn)定態(tài)</b></p><p>　　當(dāng)R>2016.1Ω時(shí)，M的特征值實(shí)部均為負(fù)，即M是負(fù)定矩陣，方程(5．3)的解趨近于初始值所在的子空間的平衡點(diǎn)。對(duì)應(yīng)于電路中，電路初始經(jīng)歷一

62、段阻尼振蕩，最終停在一個(gè)穩(wěn)定態(tài)。此時(shí)電路等效電容為零。在相圖上，軌線趨近于一穩(wěn)定焦點(diǎn)如圖5．5所示。</p><p><b>　　圖5．5 穩(wěn)定態(tài)</b></p><p><b>　　3.3.3周期態(tài)</b></p><p>　　當(dāng)1933Ω<R<2016．1Ω時(shí)，M的共軛復(fù)特征值的實(shí)部變?yōu)榉秦?fù)的(如圖5所示，

63、當(dāng)R=2016．1Ω此值為零，出現(xiàn)Hopf分岔)。方程(5．3)的解趨近于維數(shù)大于零的吸引子中。對(duì)應(yīng)于電路中，經(jīng)過一段暫態(tài)后，電路進(jìn)行周期和概周期振蕩，R的極小變化就會(huì)使周期發(fā)散為概周期。在相空間中，軌線趨近于一個(gè)穩(wěn)定的空間極限環(huán)或穩(wěn)定環(huán)面(分別對(duì)應(yīng)于周期振蕩和概周期振蕩)，如圖給出了單周期振蕩的相圖。</p><p><b>　　3.3.4 混沌態(tài)</b></p><p

64、>　　當(dāng)1685Ω<R<1930Ω時(shí)，電路進(jìn)入了混沌振蕩態(tài)。在相空間中，軌線趨近于一個(gè)混沌吸引子。這就是蔡氏雙渦卷(如圖5-7a，5-7b)。</p><p>　　圖5．7a 雙渦卷吸引子</p><p><b>　　圖5．7b 混沌態(tài)</b></p><p>　　3.3.5負(fù)阻尼振蕩態(tài)</p><p>

65、;　　當(dāng)R<1685Ω時(shí)，變阻器阻值過小，其能量耗散不足以抵消蔡氏二極管提供的能量。能量在電路中積累起來，使電路的振幅越來越大，最終崩潰。可將電容合并為一個(gè)。在相空間中，原點(diǎn)區(qū)域構(gòu)成一個(gè)不穩(wěn)定焦點(diǎn)，所有軌線由這里出發(fā)走向無窮遠(yuǎn)處。</p><p><b>　　圖5．8 負(fù)阻尼態(tài)</b></p><p>　　由以上四個(gè)狀態(tài)的相圖可以看出，前三個(gè)狀態(tài)是穩(wěn)定的，在原點(diǎn)

66、附近存在一個(gè)穩(wěn)定的吸引子。且狀態(tài)一和狀態(tài)二屬平庸吸引子，狀態(tài)三是混沌吸引子。而狀態(tài)四則是原點(diǎn)不穩(wěn)定的。吸引子由低維到高維，由穩(wěn)定到失穩(wěn)，正是由于R的減小。R決定了能量的耗散，電路系統(tǒng)由蔡氏二極管提供能量并在R上耗散能量，電路系統(tǒng)行為正是這兩種作用統(tǒng)一的結(jié)果。耗散系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為是要穩(wěn)定于相空間的一個(gè)低維點(diǎn)集上， 即吸引子上。而吸引子的維數(shù)隨著R 的減小而增大。</p><p><b>　　3.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)論

67、</b></p><p>　　狀態(tài)四不穩(wěn)定，最終會(huì)將電路擊穿或燒壞。狀態(tài)一雖然穩(wěn)定，但其平衡點(diǎn)的標(biāo)值很大，即穩(wěn)態(tài)的電流電壓值很大，同樣會(huì)損壞電路。因而，所取R 的值應(yīng)在1．690～2．050kΩ之間，這樣才能確保電路不致燒壞。</p><p>　　本文根據(jù)數(shù)值模擬的結(jié)果半定量估計(jì)了變阻器的取值范圍。由于實(shí)際電子元件標(biāo)稱值不連續(xù)，此結(jié)論與硬件實(shí)驗(yàn)會(huì)有差異，實(shí)驗(yàn)時(shí)應(yīng)根據(jù)元件參數(shù)進(jìn)行

68、取舍。</p><p><b>　　結(jié)束語</b></p><p>　　本文在介紹了混沌理論及常用分析方法的基礎(chǔ)上，對(duì)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的最簡(jiǎn)單三階自治電路——蔡氏電路進(jìn)行了研究，建立了數(shù)學(xué)模型,分析了產(chǎn)生混沌的原因，并從理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)兩個(gè)角度分別研究了三階蔡氏電路的不同運(yùn)行狀態(tài)。研究中以變阻器阻值為控制參數(shù)，通過Matlab數(shù)值計(jì)算，模擬電路的運(yùn)行狀態(tài)。</p&

69、gt;<p>　　1.仿真結(jié)果表明，在一定的條件下該電路能夠出現(xiàn)混沌雙渦卷吸引子和穩(wěn)定周期軌道。蔡氏電路的狀態(tài)具體可歸納為：</p><p>　　2.穩(wěn)定態(tài)，對(duì)應(yīng)于電路中，電路初始經(jīng)歷一段阻尼振蕩，最終停在一個(gè)穩(wěn)定態(tài)。此時(shí)電路等效電容為零。</p><p>　　3.周期態(tài)，對(duì)應(yīng)于電路中，經(jīng)過一段暫態(tài)后，電路進(jìn)行周期和概周期振蕩，R的極小變化就會(huì)使周期發(fā)散為概周期。</p

70、><p>　　4.混沌態(tài)，當(dāng)1685Ω<R<1930Ω時(shí)，電路進(jìn)入了混沌振蕩態(tài)。在相空間中，軌線趨近于一個(gè)混沌吸引子。這就是蔡氏雙渦卷。</p><p>　　負(fù)阻尼振蕩態(tài)，變阻器阻值過小，其能量耗散不足以抵消蔡氏二極管提供的能量。能量在電路中積累起來，使電路的振幅越來越大，最終崩潰。可將電容合并為一個(gè)。</p><p>　　根據(jù)數(shù)值計(jì)算結(jié)果得出可變電阻的安全

71、閾值以及電壓的安全閾值,為硬件實(shí)驗(yàn)提供參考。</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　本文是在導(dǎo)師冉啟武指導(dǎo)下完成的，在整個(gè)研究過程中，從課題的選定、方案的設(shè)計(jì)，到軟件設(shè)計(jì)都給了我推導(dǎo)性的意見和建議。在這里我想冉老師致以最誠(chéng)摯的感謝和崇高的敬禮！</p><p>　　在課題的進(jìn)行過程當(dāng)中，我還得到其他老師及同組人侯銳

72、等人的關(guān)心和支持，在兩個(gè)月的論文撰寫期間，在此也對(duì)他們的督促與幫助表示感謝，感謝他們對(duì)我的關(guān)注與栽培！</p><p>　　在課題當(dāng)中，還有同專業(yè)同學(xué)給予的幫助與支持，在此也表示感謝！</p><p>　　還有，對(duì)在百忙中抽出時(shí)間評(píng)閱本論文的老師表示衷心的感謝，并謹(jǐn)請(qǐng)?zhí)岢鰧氋F的意見!</p><p>　　最后，對(duì)四年來在學(xué)習(xí)和生活上幫助過我的老師和同學(xué)致以誠(chéng)摯的謝意

73、！</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]韓利竹．MATLAB電子仿真與應(yīng)用（第2版）．北京：國(guó)防工業(yè)出版社． 2003．8．P25-33</p><p>　　[2]苗東升．混沌學(xué)縱橫論．北京：中國(guó)人民大學(xué)出社．1993．2．P100-102</p><p>　　[3]曹建福．非線性系統(tǒng)

74、理論及應(yīng)用．西安：西安交通大學(xué)出版社．2001．P50-51</p><p>　　[4]王興元．復(fù)雜非線性系統(tǒng)中的混沌．北京：電子工業(yè)出版社．2003．6．P80-82</p><p>　　[5] 陸君安．偏微分方程的MATLAB解法．武漢：武漢大學(xué)出版社．2001．8．P50-52</p><p>　　[6] 高金峰．非線性電路與混沌．北京：科學(xué)出版社．2005．

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76、t;/p><p>　　[10]盛昭瀚．非線性動(dòng)力系統(tǒng)分析引論．北京：科學(xué)出版社．2001．5． P100-102</p><p>　　[11]胡崗．混沌控制．上海：上海科技教育出版社．2000．P50-51 </p><p>　　[12]姜玉憲．控制系統(tǒng)仿真．北京：北京航空航天大學(xué)出版社．2002．7．P45-46</p><p>　　[13]J

77、．C．Sprott．Complex Behavior of Simple System [C] International Conference on complex Systems．2000．8．P5-7</p><p>　　[14]MT.Yassen．Adaptive control and synchronization of a modified Chua’s circuit system[J] ．A

78、ppliedMathematicsanComputation．2001．1</p><p>　　[15] TzuyinWu.Chaos control of modified-Chua’ circuit system[J] Physics． 2002． P1-6</p><p>　　附錄A 英文文獻(xiàn)原文</p><p>　　出處：http://trixie.eec

79、s.berkeley.edu/chaos/chaos.html</p><p>　　Stimulation with hardware of Chua’s circuit</p><p>　　Introduction </p><p>　　Chaos is a fascinating nonlinear phenomenon. Dr. Leon Chua inven

80、ted Chua's circuit (circa 1983), a simple nonlinear circuit capable of producing strange attractors. Before you can get started on Chua's circuit, it would be instructive to understand the basic concept of nonlin

81、ear circuits: the DP (or driving-point) plot. This term was coined in the classic book "Linear and Nonlinear Circuits" by Chua, Leon O., Desoer, Charles A. and Kuh, Ernest S. 1987. McGraw-Hill. ISBN 0070108986.

82、 unfortunely t</p><p>　　Experiment aim:</p><p>　　(1)．To learn some concepts of chaos</p><p>　　(2)．Mearsure V-A charicteristc of nonlinear resistor of source</p><p>　　(3

83、)．To learn about chaos and how it produces throngh a simple nonlinear circuit.2. Working with Chaos: Simulating Chua's Circuit</p><p>　　First we need to simulate Chua's circuit. The simulation tool

84、we use is MultiSim. Two points: First, this version of the circuit uses the LMC6482 which is more robust and easier to obtain than the JFET Dynamics used in Michael Peter Kennedy's paper. A more subtle point is the s

85、eries resistance of the inductor. You have to take this into account while building Chua’s Circuit. </p><p>　　3. Datasheets Here I provide links and datasheets to the two most important items in the circuit

86、: the dual op-amp and inductor. </p><p>　　LMC6482AIN, Datasheet. Cost: $2.29. </p><p>　　T1105 - Toko 8 mH Variable inductor, Datasheet. Cost: $4.74. Note: This part is pretty difficult to get. &

87、lt;/p><p>　　The rest of the components in the circuit are standard: a 2k pot, a 100 nF capacitor, a 4.7 nF capacitor and 22k x 2, 220 ohm x 2, 2.2k and 3.3k resistors. You can find these at a local Radioshack.

88、Hence, the total cost of the circuit is around $10! </p><p>　　4. Working with Chaos: Building the circuit The hardest part in building the circuit is getting the correct value of the inductance（電感）. I used

89、a simple RL filter to tune the inductance. I used a known R and applied a sinusoid at the input. Since I know the frequency and amplitude of the sinusoid, I can use the frequency response of the circuit to obtain the val

90、ue of the inductance I want. In order to measure the series resistance of the inductor, use a simple ohm-meter. I even used an ohm-mete</p><p>　　5. Other possible component values for Chua's circuit <

91、/p><p>　　The list below shows some other possible component values for Chua's circuit. Please note that the nonlinear resistor (Chua Diode) is the same as shown in the schematic from the Simulation section.

92、 You can refer to the schematic shown at the banner on top of the page. </p><p>　　L=8mH, C2=47nF, C1=3nF, R=1.85k </p><p>　　L=18mH, C2=50nF, C1=4.7nF, R=2.1k </p><p>　　6. Applicatio

93、ns of Chaos Believe it or not, there are tons of applications for Chaos. Here are a few: The stock market (finance) ,Power systems (electrical engineering) ,Population Dynamics (biology) ,Communication Systems (electric

94、al engineering) There are also very interesting chaotic processes in the human brain. Here are two excellent papers by French scientists on this topic (pubmed links to both articles): </p><p>　　出處：Control Th

95、eory & Applications Vol.20No.5</p><p>　　Stabilization of unstable equilibria of chaotic systems</p><p>　　and its applications to Chua’s circuit</p><p>　　Abstract: Based on the

96、ergodicity of chaos and the state PI regulator approach, a new method was proposed for stabilizing unstable equilibria and for tracking set point targets for a class of chaotic systems with nonlinearities satisfying a sp

97、ecific condition. A criterion was derived for designing the controller gains, in which control parameters could be selected by solving a Lyapunov matrix inequality. In particular, for piecewise linear chaotic systems, su

98、ch as Chua’s circuit, the control par</p><p>　　Key words: Chua’s circuit; unstable equilibrium point; stabilization; PI regulator</p><p>　　1.Introduction</p><p>　　In the past decade

99、, much attention has been paid to chaos control, and many methods have been proposed for suppressing chaos[1,2]. For instance, the delayed feedback control (DFC) method[3]is based on the difference between the current sy

100、stem output and the time_delayed output signals, which does not require any knowledge of the target points.</p><p>　　However, this approach in general cannot specify the target setting point and is subject t

101、o the so_called odd number eigenvalue limitation[4~6]. On the other hand, the OGY method[7],which is a local control scheme, and the methods[8,9]that are based on precise state feedback control usually fail with system p

102、arameters variation and are inconvenient for practical engineering systems. In this paper, based on the ergodicity of chaos and state PIregulator approach[10], a feedback control design meth</p><p>　　2　Stabi

103、lizing unstable equilibria of a class of chaotic systems </p><p>　　Consider a controlled chaotic system of the form</p><p>　　Ax+g(x)+u (1) </p><p>　　Where is the state vector,

104、is the control input to be designed, A∈×a constant matrix, and g(x) is a continuous nonlinear function satisfying the following condition[11]:</p><p><b>　　,</b></p><p>　　where i

105、s a bounded matrix that depends on both and .</p><p>　　Remark1　Many chaotic systems can be described by (1) and (2), such as the classic Chua’s circuit[12],the modified Chua’s circuit with a sine function,

106、the modified Chua’s circuit with nonlinear quadratic function x | x |[13],and the MLC circuit.</p><p>　　Let be an unstable equilibrium of (1) when u =0,</p><p><b>　　that is,</b><

107、/p><p><b>　　(3)</b></p><p>　　The objective is to design a controller u such that the states of system (1) are stabilized to , which is a constant vector independent of time. Later, the

108、objective will also be extended to tracking a constant set point. According to the state PI regulator theory, a controller is constructed as follows:</p><p><b>　　(4)</b></p><p>　　Whe

109、re B∈is a constant gain matrix, K∈is the proportional state feedback gain vector, k∈R s the integral gain, y = is the output with a constant matrix C∈, is the observation of the target equilibrium ,andWhere denotes the