λ矩陣的應(yīng)用

1、<p>　　學(xué)科分類號(hào) 0701 </p><p>　　本科生畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))</p><p>　　題目（中文）： 矩陣的應(yīng)用 </p><p>　　（英文）： The Application of Matrix </p><p><b>　　學(xué)生姓名

2、： </b></p><p><b>　　學(xué)　　號(hào)： </b></p><p><b>　　系　　別： </b></p><p><b>　　專　　業(yè)： </b></p><p><b>　　指導(dǎo)教師：</b></p&g

3、t;<p>　　起止日期： 2011.11—2012.</p><p>　　2012 年 月 8 日</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘 要I</b></p><p><b>　　關(guān)鍵詞I</b></p>

4、;<p>　　AbstractII</p><p>　　Key wordsII</p><p><b>　　1 前言1</b></p><p><b>　　2 矩陣3</b></p><p>　　2.1 矩陣的概念3</p><p>　　2.2 矩陣的

5、結(jié)論5</p><p><b>　　3 矩陣的應(yīng)用8</b></p><p>　　3.1 矩陣的逆矩陣8</p><p>　　3.2 矩陣的smith標(biāo)準(zhǔn)形10</p><p>　　3.3 矩陣的相似對(duì)角化12</p><p>　　3.4 若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形14</p><

6、p>　　3.5 零化多項(xiàng)式、特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式的關(guān)系20</p><p><b>　　結(jié)論22</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)24</b></p><p><b>　　致 謝25</b></p><p><b>　　摘 要</b&

7、gt;</p><p>　　本文討論矩陣的應(yīng)用.首先給出了矩陣的逆的兩種計(jì)算方法及矩陣的smith標(biāo)準(zhǔn)形的三種計(jì)算方法,然后利用矩陣的性質(zhì)、定理得到了一般矩陣的相似對(duì)角化、若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的兩種求解方法，以及同步求解若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形和過渡矩陣的三種方法，最后利用矩陣的性質(zhì)得到計(jì)算一般矩陣的最小多項(xiàng)式和若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的方法，并由此探討了最小多項(xiàng)式、零化多項(xiàng)式和特征多項(xiàng)式的關(guān)系.</p><p><b&

8、gt;　　關(guān)鍵詞</b></p><p>　　矩陣；若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形；相似對(duì)角化；最小多項(xiàng)式</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　This paper discusses some applications of matrix. Firstly, two calculation methods of

9、 inverse matrix as well as three calculation methods of smith normal form about matrix are given in the paper. Secondly, we use properties and theorems of matrix to discuss similarity diagonalization of general matrix,

10、 and there are two calculation methods of Jordan canonical form as well as three solutions to synchronously calculate Jordan canonical form. Finally, we use properties of matrix to calculate mi</p><p><b

11、>　　Key words</b></p><p>　　matrix; Jordan canonical form; Similarity diagonalization; Minimal matrix</p><p><b>　　1 前言</b></p><p>　　在矩陣論中，我們把矩陣定義為數(shù)的陣列，即它的元素是數(shù)域上的數(shù)

12、，統(tǒng)稱數(shù)字矩陣．現(xiàn)在，把數(shù)字矩陣加以推廣，設(shè)是數(shù)域上的一個(gè)未定元，我們引進(jìn)矩陣．由于的多項(xiàng)式可作加法、減法、乘法三種運(yùn)算，并且它們與數(shù)的運(yùn)算有相同的運(yùn)算規(guī)律；而矩陣的加法、減法、乘法和數(shù)量乘法的定義僅用到其元素的加法、減法、乘法，因此，我們可以同樣定義矩陣的加法、減法、乘法和數(shù)量乘法，并且矩陣的這些運(yùn)算同數(shù)字矩陣的加法、減法、乘法和數(shù)量乘法具有相同的運(yùn)算規(guī)律．矩陣行列式的定義也僅用到其元素的加法和乘法，因此，我們可以同樣定義一個(gè)階矩陣的

13、行列式．一般來說，矩陣的行列式是的多項(xiàng)式，矩陣的行列式與數(shù)字矩陣的行列式有相同的性質(zhì)，有了矩陣行列式的概念，可以同樣定義矩陣的子式、余子式、代數(shù)余子式[1].還有矩陣的其它性質(zhì)和結(jié)論可以參考文獻(xiàn)[2-5]，文獻(xiàn)[6]、[7]研究了矩陣的逆矩陣的求法，文獻(xiàn)[8]研究了矩陣的smith標(biāo)準(zhǔn)形的求法，文獻(xiàn)[9]、[10]利用矩陣研究了一般矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的求法，文獻(xiàn)[11]、[12]利用矩陣研究了如何同步求解矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形和過渡矩陣．<

14、;/p><p>　　矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形問題不僅在矩陣?yán)碚摵途仃囉?jì)算中有著重要地位，而且在力學(xué)、控制理論等學(xué)科中也有著廣泛的應(yīng)用．通常涉及的矩陣標(biāo)準(zhǔn)形有兩種：1.對(duì)角矩陣；2.若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形．一個(gè)階矩陣如果有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則必相似于對(duì)角矩陣，如果的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)小于，則一定不能和對(duì)角矩陣相似．這個(gè)問題就是我們要討論的矩陣在相似條件下的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形問題，一個(gè)階矩陣總可以相似于若當(dāng)矩陣．若當(dāng)矩陣在數(shù)值計(jì)算中經(jīng)常采用，

15、利用它不僅容易求出矩陣的方冪，還在矩陣函數(shù)、矩陣級(jí)數(shù)、微分方程等方面有著廣泛的應(yīng)用．求矩陣到其若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形及過渡矩陣自然成為一個(gè)重要性的研究課題，由于過渡矩陣涉及到復(fù)雜的計(jì)算問題，在眾多的包含矩陣?yán)碚摰闹髦校行┲挥懻摿司仃嚨娜舢?dāng)標(biāo)準(zhǔn)形而未討論過渡矩陣的求法，有些給了算法，但較為繁瑣，由此可見，為了更全面地掌握矩陣的理論，我們有必要對(duì)其進(jìn)行研究．</p><p>　　在本文中，我們側(cè)重的是利用矩陣的性質(zhì)定理研究矩

16、陣的應(yīng)用問題：包括求解矩陣的逆矩陣、矩陣的smith標(biāo)準(zhǔn)形，一般矩陣的相似對(duì)角化問題，矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的求解方法，同步求解一般矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形和過渡矩陣的方法，探討最小多項(xiàng)式、零化多項(xiàng)式及特征多項(xiàng)式的關(guān)系．本文以矩陣的應(yīng)用為中心點(diǎn)，將主體部分分為三部分，第一章論述是第二章的基礎(chǔ)，第三章根據(jù)第二章推導(dǎo)出論文的結(jié)論．</p><p>　　本文從知識(shí)的歸納到一些證明題的證明方法和計(jì)算題的方法技巧，都可以用來借鑒，無論是

17、考研，還是學(xué)習(xí)矩陣．但是，本文也有待完善，需要添加更多的有關(guān)矩陣的應(yīng)用知識(shí)，或者可以將有關(guān)矩陣的延伸知識(shí)加進(jìn)去．</p><p><b>　　2 矩陣</b></p><p>　　本節(jié)由兩部分組成．第一部分介紹了矩陣的概念，第二部分介紹了矩陣的性質(zhì)和定理，重點(diǎn)是了解矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形理論，不變因子、行列式因子及初等因子這三個(gè)重要的概念．</p><p&g

18、t;<b>　　2.1 矩陣的概念</b></p><p>　　定義2.1[1] 設(shè)是一個(gè)數(shù)域,是一個(gè)文字,作多項(xiàng)式環(huán).一個(gè)矩陣,如果它的元素是的多項(xiàng)式,即的元素，就稱為矩陣.</p><p>　　與數(shù)字矩陣類似,對(duì)矩陣也可以引入秩、逆矩陣、初等變換、等價(jià)關(guān)系的定義.</p><p>　　定義2.2 如果矩陣中有一個(gè)級(jí)子式不為零,而所有級(jí)子式(

19、如果有的話)全為零,則稱的秩為.零矩陣的秩規(guī)定為零.</p><p>　　如是階數(shù)字矩陣,則的秩為.</p><p>　　定義2.3 一個(gè)的矩陣稱為可逆的,如果有一個(gè)的矩陣使,這里是級(jí)單位矩陣,其中稱為的逆矩陣,記為.</p><p>　　如果階矩陣可逆,則它的逆矩陣是唯一的,這和數(shù)字矩陣是一樣的.</p><p>　　定義2.4 下面的三種

20、初等變換叫做矩陣的初等變換:⑴矩陣的兩行（列）互換位置;⑵矩陣的某一行(列）乘以非零的常數(shù);⑶矩陣的某一行（列）加另一行（列）的倍,是一個(gè)多項(xiàng)式.</p><p>　　與數(shù)字矩陣一樣,上面三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣:⑴;⑵;⑶,它們都是可逆初等矩陣.</p><p>　　下面介紹矩陣三個(gè)重要的概念,即行列式因子、不變因子、初等因子,它們?yōu)槲覀兒竺嬗懻摼仃嚨南嗨茖?duì)角化條件和矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形理

21、論做準(zhǔn)備.</p><p>　　定義2.5 任意一個(gè)非零的的矩陣都等價(jià)于下列形式的矩陣</p><p><b>　　(2.1)</b></p><p>　　其中,是首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式,且</p><p>　　.最后化成的這個(gè)矩陣就稱為的smith標(biāo)準(zhǔn)形[2],且是唯一的.在上述標(biāo)準(zhǔn)形中,稱為的不變因子.</p&g

22、t;<p>　　定義2.6 設(shè)矩陣的秩為,對(duì)正整數(shù),,中必有非零的階子式.中全部級(jí)子式的首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式稱為的級(jí)行列式因子.</p><p>　　定義2.7[2] 將矩陣的所有不變因子在數(shù)域上分解為標(biāo)準(zhǔn)分解式,則在標(biāo)準(zhǔn)分解式中出現(xiàn)的全部不可約因式的方冪（相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算）稱為的初等因子．</p><p>　　特別地,在復(fù)數(shù)域上,由代數(shù)基本定理，的初等因子都是一次

23、因式的方冪．</p><p>　　矩陣中幾乎涉及高等代數(shù)的各個(gè)部分,如下面介紹的零化多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式．</p><p>　　定義2.8[3] 設(shè)為階矩陣,如果存在多項(xiàng)式使得,則稱為的零化多項(xiàng)式．</p><p>　　顯然，特征多項(xiàng)式是零化多項(xiàng)式．</p><p>　　定義2.9 階矩陣的所有零化多項(xiàng)式中,次數(shù)最低且首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式稱為的

24、最小多項(xiàng)式．</p><p><b>　　2.2 矩陣的結(jié)論</b></p><p>　　這一節(jié)我們主要介紹有關(guān)矩陣的一些性質(zhì)、定理（由于部分是參考文獻(xiàn)中的主要結(jié)論或者推廣，所以沒有全部給出證明）, 在熟悉有關(guān)矩陣的重要性質(zhì)及定理的基礎(chǔ)上，下一章我們將介紹矩陣的一些應(yīng)用.</p><p>　　定理2.1[1] 一個(gè)的矩陣是可逆的充分必要條件為行

25、列式是一個(gè)非零的數(shù).</p><p>　　在數(shù)字矩陣中,級(jí)矩陣可逆的充分必要條件是(或滿秩).當(dāng)矩陣可逆時(shí),必有,即是滿秩的.但滿秩的矩陣不一定是可逆的,因?yàn)闈M秩矩陣的行列式可以是不恒為零的的多項(xiàng)式,只有當(dāng)它的行列式為非零的數(shù)時(shí),才稱為可逆的.</p><p>　　性質(zhì)2.1[2] 行列式因子與不變因子的關(guān)系:設(shè)是秩為的的矩陣,是的行列式因子,而是的不變因子,則</p>&l

26、t;p><b>　　(2.2)</b></p><p>　　由此性質(zhì)可知,行列式因子和不變因子是相互確定的.</p><p>　　下面給出矩陣相似的幾個(gè)條件.</p><p>　　定理2.2[1] 設(shè)是數(shù)域上兩個(gè)矩陣,與相似的充分必要條件是它們的特征矩陣與等價(jià).</p><p>　　推論2.1[1] 矩陣與相似的充

27、分必要條件是它們有相同的不變因子或行列式因子.</p><p>　　特殊的，在復(fù)數(shù)域上，不可約因式只有一次因式,由推論2.1得定理2.3.</p><p>　　定理2.3[1] 兩個(gè)同級(jí)復(fù)數(shù)矩陣相似的充分必要條件是它們有相同的初等因子.</p><p>　　下面給出矩陣相似于對(duì)角矩陣的條件.</p><p>　　定理2.4[1] 階矩陣與對(duì)角

28、矩陣相似的充要條件是A的最小多項(xiàng)式無重根. </p><p>　　定理2.5 復(fù)數(shù)矩陣的最小多項(xiàng)式就是的最后一個(gè)不變因子.</p><p>　　證明　設(shè)的全部初等因子為</p><p>　　其中互不相同,則.另一方面, 由若當(dāng)定理知</p><p><b>　　～=,</b></p><p>&l

29、t;b>　　其中,,而</b></p><p><b>　　.則</b></p><p>　　定理2.6[4] 矩陣相似于對(duì)角矩陣的充分條件為</p><p>　　1)的某一個(gè)零化多項(xiàng)式無重根;</p><p>　　2)特別是的特征多項(xiàng)式無重根.</p><p>　　性質(zhì)2.2

30、級(jí)若當(dāng)矩陣的全部初等因子為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　由性質(zhì)2.2可得定理2.7.</p><p>　　定理2.7 復(fù)數(shù)域上的每個(gè)級(jí)矩陣都與一個(gè)若爾當(dāng)形矩陣相似,這個(gè)若爾當(dāng)形矩陣除去其中若當(dāng)塊的排列次序外是被矩陣惟一確定的,稱為的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.</p><p>　　定理中被矩陣惟一決定就

31、指的是被的初等因子及初等因子的方冪所惟一決定.</p><p><b>　　3 矩陣的應(yīng)用</b></p><p>　　這一章利用2.2中的性質(zhì)、定理討論矩陣的應(yīng)用,考研中出現(xiàn)的很多關(guān)于矩陣的題目都是涉及到這些性質(zhì)、定理.</p><p>　　3.1 矩陣的逆矩陣</p><p>　　本節(jié)重點(diǎn)介紹求可逆矩陣的逆矩陣的一種

32、新方法．</p><p>　　例1 判斷是否可逆，若可逆,求出它的逆矩陣.</p><p>　　解 由定理2.1知是可逆的.由求逆矩陣公式知道，</p><p>　　新方法[6] 設(shè)是的可逆矩陣，構(gòu)造分塊矩陣,</p><p>　　,其中是的單位矩陣,是的矩陣.由得,</p><p><b>　　,即,故.&

33、lt;/b></p><p>　　例2 用新方法求例1中的逆矩陣.</p><p><b>　　解 </b></p><p><b>　　∴ .</b></p><p>　　從例2可見,新方法盡管篇幅大一點(diǎn),但整個(gè)計(jì)算過程簡(jiǎn)潔、自然,因而較之傳統(tǒng)方法而言,它是一個(gè)行之有效的簡(jiǎn)便方法.</

34、p><p>　　3.2 矩陣的smith標(biāo)準(zhǔn)形</p><p>　　矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是矩陣?yán)碚撝幸豁?xiàng)重要而基礎(chǔ)的內(nèi)容,求矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形具有很強(qiáng)的靈活性和技巧性.下面我們介紹兩種基本的方法:初等變換法和不變因子法.</p><p>　　方法一 初等變換法,即對(duì)矩陣進(jìn)行一系列初等行(列)的變換,使得最后化成的矩陣如定義2.6中2.1的形式.</p><p>

35、;<b>　　例3 求的標(biāo)準(zhǔn)形.</b></p><p><b>　　解 對(duì)進(jìn)行初等變換</b></p><p>　　最后一個(gè)矩陣即為所求的標(biāo)準(zhǔn)形.</p><p>　　方法二[8] 不變因子法.我們分以下兩種類型．</p><p>　　類型一 利用性質(zhì)2.1中行列式因子與不變因子的關(guān)系2.2求出矩

36、陣的不變因子即可求出矩陣的smith標(biāo)準(zhǔn)形.</p><p><b>　　例4 求的標(biāo)準(zhǔn)形.</b></p><p>　　解 由于故.的非零的二階子式有三個(gè):</p><p><b>　　故.而.</b></p><p><b>　　于是的不變因子為:</b></p>

37、;<p><b>　　.故的標(biāo)準(zhǔn)形為:.</b></p><p>　　類型二 利用初等因子和不變因子的關(guān)系求smith標(biāo)準(zhǔn)形.</p><p><b>　　例5 求的標(biāo)準(zhǔn)形.</b></p><p><b>　　解 </b></p><p>　　已是對(duì)角形,但還不

38、是標(biāo)準(zhǔn)形.此時(shí)矩陣的秩為3,且全部初等因子為:.于是矩陣的不變因子為.故標(biāo)準(zhǔn)形為:.</p><p>　　3.3 矩陣的相似對(duì)角化</p><p>　　為了研究矩陣的相似對(duì)角化問題，直接處理矩陣的相似關(guān)系是比較困難的,本節(jié)將利用定理2.4、推論2.1、定理2.5、定理2.7、定理2.10來研究矩陣的相似對(duì)角化,使得問題具體化.</p><p><b>　　

39、例6 設(shè)是實(shí)矩陣.</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　證明彼此相似.</b></p><p><b>　　證明　</b></p><p><b>　　. </b></p><p&g

40、t;　　這說明與等價(jià),由定理2.2得:～.</p><p>　　類似可證明～.再由于相似是一種等價(jià)關(guān)系,得:～.從而彼此相似.</p><p><b>　　例7 證明與相似.</b></p><p>　　證明　與對(duì)應(yīng)的級(jí)子式互為轉(zhuǎn)置,因而對(duì)應(yīng)的級(jí)子式相等.這樣與有相同的各級(jí)行列式因子,由推論2.1得:與相似.</p><p&

41、gt;　　例8 判斷下列矩陣中,哪些與相似?其中</p><p><b>　　.</b></p><p>　　解 ,的初等因子為;,的初等因子為，;,的初等因子為;,的初等因子為.</p><p>　　由定理2.3得:僅有～.</p><p>　　例9 設(shè)復(fù)數(shù)矩陣的最小多項(xiàng)式為.證明:與對(duì)角陣相似.</p>

42、<p>　　證明　因?yàn)?即的最小多項(xiàng)式無重根,定理2.4得:相似于對(duì)角陣.</p><p>　　例10 級(jí)矩陣稱為周期矩陣,如果存在正整數(shù),使,其中為單位矩陣.證明:復(fù)數(shù)域上的周期矩陣一定可以對(duì)角化.</p><p>　　證 由已知條件知,有零化多項(xiàng)式:.</p><p>　　而,即的零化多項(xiàng)式無重根.由定理2.6中的1)得可對(duì)角化.</p>

43、<p>　　在實(shí)數(shù)域上的矩陣不一定可對(duì)角化,比如,,則.但無實(shí)特征值.</p><p>　　例11 設(shè),試證明:在復(fù)數(shù)域上可對(duì)角化.</p><p>　　證明計(jì)算可得， , 用輾轉(zhuǎn)相除法可得,即的特征多項(xiàng)式無重根.由定理2.6中的2)得相似于對(duì)角陣.</p><p><b>　　3.4 若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形</b></p>

44、<p>　　矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形理論在數(shù)學(xué)、力學(xué)和計(jì)算方法中有廣泛的應(yīng)用.本節(jié)將介紹兩種方法求解若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形:初等因子法;波爾曼法.并且還給出了同步求解若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形和過渡矩陣的三種方法:一般方法;行列互逆初等變換法;矩陣初等變換法.</p><p>　　首先我們討論求解若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的兩種方法．</p><p>　　方法一[9] 初等因子法.由性質(zhì)2.2和定理2.7,知道了矩陣的初等因

45、子即可求出矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.</p><p>　　例12 設(shè),求出的初等因子,并寫出的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.</p><p><b>　　解 </b></p><p>　　,則的初等因子為:.</p><p>　　由的初等因子知道,的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為.</p><p>　　方法二 波爾曼法.其基本步驟如下:&l

46、t;/p><p>　　第一步，求出的所有特征值.</p><p>　　第二步，對(duì)每個(gè)不同的特征值和每個(gè)求的秩,記為</p><p>　　在計(jì)算秩時(shí),若對(duì)某個(gè),使</p><p><b>　　則對(duì)所有,都有</b></p><p>　　第三步，對(duì)每個(gè)求關(guān)于的若當(dāng)塊的階數(shù)和若當(dāng)塊的個(gè)數(shù).</p>

47、;<p>　　這里需要說明的是,若求出,則說明有個(gè)關(guān)于的階若當(dāng)塊.</p><p>　　第四步，寫出與相似的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,它由的每個(gè)特征值的個(gè)關(guān)于的階若當(dāng)塊的直和組成.</p><p>　　下面以例13來說明波爾曼法.</p><p>　　例13 求矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.</p><p>　　解 第一步，求的特征值</p>

48、<p><b>　　特征值為:.</b></p><p><b>　　第二步，求的秩</b></p><p>　　第三步，求若當(dāng)塊的個(gè)數(shù)和階數(shù)</p><p>　　這說明的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形必有1個(gè)關(guān)于的1階若當(dāng)塊和1個(gè)關(guān)于的2階若當(dāng)塊,它們的直和已是3階,故不必再求了.所以的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為.</p>&

49、lt;p>　　接下來，如何把矩陣到若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的過渡矩陣求出來呢？我們有三種方法．</p><p>　　方法一[11] ：一般方法.</p><p>　　設(shè),的全部根為(互異),其中的重?cái)?shù)為,,對(duì)每個(gè)求齊次線性方程組基礎(chǔ)解系,,若,令,再解方程組　,求出個(gè)解,記為(的廣義特征向量),令,則.</p><p>　　例14 已知,求的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,并求可逆矩陣,使.&

50、lt;/p><p>　　解 ,所以, (二重).</p><p>　　對(duì)特征根,求相應(yīng)的特征向量:解方程組得基礎(chǔ)解系.</p><p>　　對(duì)特征根,求相應(yīng)的特征向量:解方程組,得基礎(chǔ)解系.</p><p>　　因?yàn)?再求廣義特征向量,解方程組,得基礎(chǔ)解系</p><p><b>　　.</b><

51、;/p><p><b>　　令,則.</b></p><p>　　方法二：行列互逆初等變換法.</p><p>　　設(shè)為任意階方陣,先作一個(gè)矩陣,對(duì)的列施以若干次初等變換,記相應(yīng)的初等矩陣依次為,在每次(第次)列變換后立即對(duì)行施以一次與初等矩陣相對(duì)應(yīng)的初等行變換,使的子塊化為若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣,此時(shí)的子塊即變?yōu)檫^渡矩陣.</p><

52、p>　　例15 我們利用方法二解答例14.</p><p><b>　　解 </b></p><p><b>　　所以.</b></p><p>　　方法三：矩陣初等變換法.</p><p>　　設(shè)為任意階方陣,對(duì)進(jìn)行矩陣初等變換,化為對(duì)角矩陣形如,并進(jìn)而化為的形式,求出,于此同時(shí)對(duì)單位矩陣

53、進(jìn)行上述變換中的列變換,當(dāng)變?yōu)闀r(shí),變成了,令,則可逆,且滿足．</p><p>　　例16 我們利用方法三解答例14.</p><p><b>　　解 </b></p><p><b>　　所以.</b></p><p>　　方法二與方法三都可以實(shí)現(xiàn)矩陣若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形及過渡矩陣的同步求解,比方法一要來

54、的簡(jiǎn)單,特別是方法二,當(dāng)?shù)碾A數(shù)不大時(shí),每一步初等變換的選取都不難.這兩種方法最后求得的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,除了若當(dāng)塊的排列次序外是唯一的,但過渡矩陣一般不唯一.</p><p>　　3.5 零化多項(xiàng)式、特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式的關(guān)系</p><p>　　本節(jié)主要應(yīng)用定理2.5求矩陣的最小多項(xiàng)式及若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形(例17、18),還探討了有關(guān)零化多項(xiàng)式、特征多項(xiàng)式及最小多項(xiàng)式的關(guān)系(例19、20).<

55、/p><p>　　例17 求的最小多項(xiàng)式</p><p>　　解 對(duì)矩陣作初等變換,可得</p><p>　　由于,由定理2.5得:的最小多項(xiàng)式為.</p><p>　　例18 設(shè)的特征多項(xiàng)式及最小多項(xiàng)式</p><p>　　,試求出的可能的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.</p><p>　　解 首先由假設(shè)和定理2.

56、5知道是7階方陣,且最后一個(gè)不變因子為．</p><p>　　(1)當(dāng)時(shí),,因此的初等因子為,故的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為</p><p>　　(2)當(dāng)時(shí),,因此的初等因子為,從而的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為</p><p>　　例19 設(shè)矩陣的最小多項(xiàng)式為,是任意多項(xiàng)式.證明.</p><p>　　證明　“”:若,則是矩陣的零化多項(xiàng)式,設(shè),其中或.</p>

57、;<p>　　因,若,而,　,由定義2.9知這與次數(shù)的最小性矛盾,故,.</p><p><b>　　“”:若,則.</b></p><p>　　例20 設(shè)是階矩陣,證明</p><p>　　(1)的特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式的根相同;</p><p>　　(2)若的特征根互異,則.</p>&l

58、t;p>　　證明　(1)因,其中</p><p><b>　　是的不變因子,且.</b></p><p>　　設(shè)是的任一特征根,則,一定存在某一個(gè),而,所以,即的根都是的根.故有相同的根.</p><p>　　(2)由(1)和題設(shè),,所以.</p><p><b>　　4 結(jié)論</b><

59、/p><p>　　矩陣的運(yùn)用比較廣泛，在很多數(shù)學(xué)分支中都有著廣泛的應(yīng)用，尤其是在高等代數(shù)方面的應(yīng)用顯得很重要，雖然矩陣的相關(guān)概念比較簡(jiǎn)單，但是我們?cè)谧鲇嘘P(guān)習(xí)題的時(shí)候發(fā)現(xiàn)很多地方都需要靈活轉(zhuǎn)變，所以有關(guān)矩陣的內(nèi)容一直是一些學(xué)生不容易領(lǐng)會(huì)和掌握的．</p><p>　　本文深入總結(jié)有關(guān)矩陣的一些性質(zhì)定理，并運(yùn)用這些性質(zhì)定理解決了有關(guān)矩陣的問題：1.如何計(jì)算可逆矩陣的逆矩陣．2.怎樣計(jì)算矩陣的smi

60、th標(biāo)準(zhǔn)形．3.矩陣的相似對(duì)角化的判定．4.如何求解矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，有哪些方法？以及如何同步求解矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形和過渡矩陣．5.探討了最小多項(xiàng)式、零化多項(xiàng)式及特征多項(xiàng)式的關(guān)系．我在研究的過程中，加強(qiáng)了我對(duì)矩陣的認(rèn)識(shí)，并且這個(gè)工作有利于今后對(duì)矩陣的進(jìn)一步研究.這個(gè)過程并不能止于此，我們需要更多地應(yīng)用矩陣去解決相關(guān)的問題．</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p>&

61、lt;p>　　[1] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版,2003:328-358.</p><p>　　[2] 徐仲.高等代數(shù)導(dǎo)教.導(dǎo)學(xué).導(dǎo)考[M].西安:西安工業(yè)大學(xué)出版社,2006:451-492.</p><p>　　[3] 戴華.矩陣論[M].北京:科學(xué)出版社,2001:82-110.</p><p>　　[4] 錢吉林.高等代數(shù)題解

62、精粹[M].北京:中央民族大學(xué)出版社,2005:433-446.</p><p>　　[5] 王樹桂.高等代數(shù)選講[M].懷化:懷化學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系,2011:183-199.</p><p>　　[6] 劉紅超.分塊矩陣在兩類矩陣問題中的應(yīng)用[J].株洲師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào),2005,10(5):37-41.</p><p>　　[7] 甄少明.關(guān)于矩陣的逆矩

63、陣的一種新求法[J].重慶工學(xué)院學(xué)報(bào),2003,17(2):140-141.</p><p>　　[8] 戴澤儉,陳侃.矩陣標(biāo)準(zhǔn)形的求法[J].巢湖學(xué)院學(xué)報(bào),2010,12(6):113-115.</p><p>　　[9] 吳昌愨,魏洪增.矩陣?yán)碚撆c方法[M].北京:電子工業(yè)出版社,2006:50-62.</p><p>　　[10] 方保镕,周繼東,李東民.矩陣

64、論[M].北京:清華大學(xué)出版社,2004:119-149.</p><p>　　[11] 黃金偉.矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)形及過渡矩陣的同步求解問題[J].福建商業(yè)高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),2005,8(4):61-63.</p><p>　　[12] 李桃生.若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的理論推導(dǎo)和過渡矩陣的求法[J].華中師范大學(xué)學(xué) 報(bào),1991,25(1):14-16.</p><p>&

65、lt;b>　　致 謝</b></p><p>　　在畢業(yè)論文完成之際，我向所有悉心指導(dǎo)過我和熱情幫助過我的老師、同學(xué)致以最衷心的感謝．</p><p>　　首先要感謝我的指導(dǎo)老師XXX，本論文從選題、構(gòu)思到定稿，傾注了謝老師大量的心血，提出了大量寶貴的意見和建議，在論文的撰寫過程中起到關(guān)鍵作用．深深受益于謝老師的關(guān)心、愛護(hù)和諄諄教導(dǎo)，在此謹(jǐn)向謝老師表示我最誠(chéng)摯的敬意和感謝

66、！</p><p>　　衷心地感謝懷化學(xué)院數(shù)學(xué)系的領(lǐng)導(dǎo)和老師對(duì)我的教育和關(guān)懷，同時(shí)感謝我的同門2008級(jí)的同學(xué)們給我的關(guān)心和幫助！</p><p>　　四年來,我們朝夕相處，共同進(jìn)步，感謝你們給予我的所有關(guān)心和幫助．同窗之誼，我將終生難忘!</p><p>　　最后，我要感謝我的家人對(duì)我四年本科學(xué)習(xí)的理解和支持，正是由于他們的支持和鼓勵(lì)，我才得以順利完成學(xué)業(yè)．<