對(duì)稱矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用【文獻(xiàn)綜述】

1、1畢業(yè)論文文獻(xiàn)綜述畢業(yè)論文文獻(xiàn)綜述數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)對(duì)稱矩陣性質(zhì)及其應(yīng)用對(duì)稱矩陣性質(zhì)及其應(yīng)用1、對(duì)稱矩陣性質(zhì)及其應(yīng)用的研究方向現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，使得古典的線性代數(shù)知識(shí)已不能滿足現(xiàn)代科技的需要，矩陣的理論和方法業(yè)已稱為現(xiàn)代科技領(lǐng)域必不可少的工具。而一系列的分解則可以方便方程的數(shù)值計(jì)算。作為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，矩陣?yán)碚摼哂袠O為豐富的內(nèi)容。矩陣?yán)碚摰膽?yīng)用隨著人們對(duì)科學(xué)研究的深入變得愈來(lái)愈廣。同其他的數(shù)學(xué)形式一樣，矩陣是一種數(shù)量

2、表達(dá)形式，而這一形式一方面可以簡(jiǎn)潔地表達(dá)出我們平時(shí)遇到的如線性方程和協(xié)方差關(guān)系的協(xié)方差矩陣等，另一方面又給進(jìn)一步的研究或者問(wèn)題的簡(jiǎn)化提供了一個(gè)平臺(tái)。如特征值分析、穩(wěn)定性分析就對(duì)應(yīng)著諸如統(tǒng)計(jì)分布和系統(tǒng)穩(wěn)定性等實(shí)際問(wèn)題。而對(duì)稱矩陣作為矩陣中的特殊一分子，在數(shù)學(xué)各個(gè)學(xué)科的研究中有著特殊的地位。若nnPA??且滿足AA?（A是A的轉(zhuǎn)置矩陣），則稱A為數(shù)域P上的對(duì)稱矩陣。對(duì)稱矩陣是矩陣?yán)碚摰闹匾M成部分，它在高等代數(shù)和其他科技領(lǐng)域中占有重要的位置

3、。同時(shí)，它又貫穿了高等代數(shù)的許多重要方面。對(duì)稱矩陣作為一類常用矩陣其在數(shù)學(xué)學(xué)科和其他科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用也非常廣泛。對(duì)稱矩陣是計(jì)算數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)物理、控制論等領(lǐng)域中具有廣泛應(yīng)用的重要矩陣類，其應(yīng)用引起人們極大的研究興趣。對(duì)稱矩陣的研究，主要集中在理論與工程應(yīng)用方面。理論方面主要是研究對(duì)稱矩陣在對(duì)稱矩陣的相關(guān)性質(zhì)，包含實(shí)對(duì)稱矩陣的基本性質(zhì)、二次型矩陣基本性質(zhì)以及K次對(duì)稱矩陣的基本性質(zhì)等，并在研究性質(zhì)的基礎(chǔ)上運(yùn)用這些性質(zhì)解決有關(guān)對(duì)稱矩陣的分解問(wèn)題

4、、對(duì)角化問(wèn)題、特征值問(wèn)題，二次型及其標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題、正定性問(wèn)題、及其合同問(wèn)題等。對(duì)稱矩陣的應(yīng)用很廣泛也很有實(shí)用性。實(shí)對(duì)陣矩陣可應(yīng)用到幾何上化簡(jiǎn)直角坐標(biāo)系下二次曲面的方程，以及討論二次曲面的分類。如：在直角坐標(biāo)系下，二次曲面的一般方程是0222222321231312233222211??????????dzbybxbyzaxzaxyazayaxa令.321332313232212131211?????????????????????????

5、????????bbbBzyxXaaaaaaaaaA則二次曲面方程可表示成。經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)軸，變換公式為.其中為正02???dXBAXX1CXX?C3換化為只含有平方項(xiàng)的形式，以便于對(duì)二次型進(jìn)行分類討論。二次型與歐氏空間內(nèi)積計(jì)算問(wèn)題，二次規(guī)劃的最優(yōu)解問(wèn)題等密切相關(guān)，物理及工程問(wèn)題也可見(jiàn)其身影。因此，對(duì)稱矩陣作為特殊的矩陣，由二次型出發(fā)延伸出一些重要的概念性質(zhì)以及諸多的的應(yīng)用。對(duì)稱矩陣是計(jì)算數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)物理、控制論等領(lǐng)域中具有廣泛應(yīng)用的重要矩陣類。

6、三、對(duì)稱矩陣及其性質(zhì)的國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀及存在問(wèn)題實(shí)對(duì)稱矩陣在實(shí)二次型的研究中起著重要作用。實(shí)對(duì)稱矩陣有著其特殊的性質(zhì)。對(duì)于任一實(shí)對(duì)稱矩陣，其特征值均為實(shí)數(shù)，相應(yīng)于不同特征值的特征向量是正交的。且對(duì)任意的實(shí)對(duì)稱矩陣，均可以正交相似于對(duì)角矩陣。相應(yīng)的任意實(shí)二次型均可以通過(guò)正交替換化為標(biāo)準(zhǔn)型。實(shí)二次型中最為重要的是正定二次型，相應(yīng)的矩陣為正定矩陣。正定矩陣的性質(zhì)及其判定構(gòu)成矩陣研究的重要內(nèi)容。在許多文獻(xiàn)中對(duì)正定矩陣的性質(zhì)，正定矩陣的判定，一些特

7、殊正定矩陣的特征值估計(jì)以及正定矩陣的應(yīng)用做了論述。與實(shí)對(duì)稱矩陣的研究相對(duì)應(yīng)的有復(fù)數(shù)域上的Hemite矩陣。只因?yàn)閷?duì)稱矩陣的特殊性質(zhì)，其應(yīng)用具有廣泛性。正因?yàn)槠鋺?yīng)用的廣泛性，它的研究領(lǐng)域也逐漸拓寬了，對(duì)于廣義正定矩陣的性質(zhì)，復(fù)正定矩陣性質(zhì)，亞正定矩陣性質(zhì)等等這些方面的應(yīng)用的關(guān)注和探究是現(xiàn)在研究的主要內(nèi)容。四、主要參考依據(jù)[1]王萼芳石生明.高等代數(shù).[M].北京:高等教育出版社2003.9:162397.[2]王品超.高等代數(shù)新方法[M]

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9、關(guān)于《高等代數(shù)》中的對(duì)陣矩陣[J].南平師專學(xué)報(bào)，200524(2):46.[8]張厚超李瑞娟.關(guān)于Hermite矩陣正定性性判定的等價(jià)條件及證明[J].河南教育學(xué)院報(bào)200918(1):78.[9]劉玉蔡烏芳鄭禮哲.K—次對(duì)稱矩陣及其性質(zhì)[J].南通大學(xué)學(xué)報(bào)20109(2):8489.[10]張誠(chéng)一.n元二次式極值的矩陣求法[J].南都學(xué)壇199414:4649.[11]彭文華.對(duì)稱矩陣的兩特征值問(wèn)題[J].大學(xué)數(shù)學(xué)200420(3)