關(guān)注思維過(guò)程 提升思維品質(zhì)

1、<p>　　關(guān)注思維過(guò)程 提升思維品質(zhì)</p><p>　　抽屜原理是人教版六年級(jí)下冊(cè)第68頁(yè)的教學(xué)內(nèi)容，又稱鴿巢原理。它是組合數(shù)學(xué)的一個(gè)基本原理，由這個(gè)顯而易見(jiàn)的原理出發(fā)可得到許多驚奇的結(jié)論。這類問(wèn)題在學(xué)生的生活和認(rèn)知中接觸得少之又少，同時(shí)關(guān)于抽屜原理的解釋與證明對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)是很難的。教師在執(zhí)教該課時(shí)總會(huì)遇到很多困難，特別在對(duì)抽屜原理最原始的解釋與證明時(shí)，往往會(huì)造成學(xué)生的一知半解或根本不理解的情況出

2、現(xiàn)。 </p><p>　　筆者認(rèn)為抽屜原理不僅是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，它更像是一張密織著理性思考的網(wǎng)，縱橫交錯(cuò)著一條條細(xì)而密實(shí)的邏輯思維的線。因此，教師應(yīng)善于拾掇學(xué)生已有的那些邏輯思考的“線”，逐步去編織學(xué)生思考的“網(wǎng)”，建立對(duì)抽屜原理最真切的感知，最終提升學(xué)生的推理與思考的能力。 </p><p><b>　　【教學(xué)呈現(xiàn)】 </b></p><p>

3、;<b>　　師出示： </b></p><p>　　師：把5個(gè)無(wú)任何區(qū)別的蘋(píng)果放進(jìn)3個(gè)一樣的盤(pán)子中，可以怎么放？你們能預(yù)測(cè)一下嗎？（生思考，并踴躍舉手） </p><p>　　師： 我們先不急著交流，老師這里正好也有幾個(gè)結(jié)論請(qǐng)大家來(lái)看一下。 </p><p><b>　　師出示： </b></p><

4、p>　?。?）可能有一個(gè)盤(pán)子沒(méi)有蘋(píng)果。 </p><p>　?。?）可能有一個(gè)盤(pán)子有5個(gè)蘋(píng)果。 </p><p>　?。?）每個(gè)盤(pán)子一定都有蘋(píng)果。 </p><p>　?。?）總有一個(gè)盤(pán)子至少有2個(gè)蘋(píng)果。 </p><p>　　學(xué)生齊讀并作判斷。 </p><p>　　生：我認(rèn)為“可能有一個(gè)盤(pán)子沒(méi)有蘋(píng)果”是對(duì)的。

5、 </p><p>　　師：為什么？依據(jù)？ </p><p>　　生：因?yàn)榭梢允堑谝粋€(gè)盤(pán)子不放，第二個(gè)放3個(gè)，第三個(gè)放2個(gè)。 </p><p>　　生：或者是一個(gè)盤(pán)子里不放，另外兩個(gè)盤(pán)子放4個(gè)和1個(gè)。 </p><p>　　師：嗯，一個(gè)盤(pán)子不放蘋(píng)果的情況還真有點(diǎn)多，可以這樣舉例來(lái)說(shuō)明問(wèn)題，很好。 </p><p>　　

6、生：我認(rèn)為“可能有一個(gè)盤(pán)子有5個(gè)蘋(píng)果”也是對(duì)的。因?yàn)榭梢允且粋€(gè)盤(pán)子放5個(gè)，其他的盤(pán)子一個(gè)也不放，如果是我就這么放。 </p><p>　　師：對(duì)。這兩個(gè)結(jié)論有一個(gè)共同點(diǎn)就是―― </p><p><b>　　生：可能。 </b></p><p>　　師：只要有可能發(fā)生就對(duì)，當(dāng)然我們也可以通過(guò)舉例來(lái)驗(yàn)證。 </p><p>

7、;　　生：“每個(gè)盤(pán)子一定都有蘋(píng)果”，我認(rèn)為是錯(cuò)的。因?yàn)槿绻沁@樣放：第一個(gè)盤(pán)子放5個(gè)，其他的盤(pán)子就沒(méi)得放了，所以是錯(cuò)的。 </p><p>　　師：對(duì)，說(shuō)“一定”太絕對(duì)了，當(dāng)然我們可以找到很多反例，來(lái)說(shuō)明它是錯(cuò)的。 </p><p>　　師：還剩下最后一個(gè)結(jié)論！ </p><p>　　生：我認(rèn)為是錯(cuò)的，因?yàn)樗^對(duì)了。 </p><p>　　

8、生：我認(rèn)為是對(duì)的，好像找不到反例。 </p><p>　　師即時(shí)反饋學(xué)生判斷的情況：大部分學(xué)生認(rèn)為是錯(cuò)的，將近三分之一的學(xué)生認(rèn)為是對(duì)的。 </p><p>　　師：意見(jiàn)好像有點(diǎn)不統(tǒng)一?。繉?duì)這句話的意思理解嗎？ </p><p><b>　　生：理解。 </b></p><p>　　師：“至少”是什么意思？ </p&

9、gt;<p><b>　　生：最少。 </b></p><p>　　師：“總有一個(gè)”是什么意思？ </p><p>　　生：三個(gè)盤(pán)子中的其中之一。 </p><p>　　師：整句話表達(dá)的又是什么意思呢？ </p><p>　　生：不管怎么放，三個(gè)盤(pán)子中總能找到一個(gè)盤(pán)子，里面最少放2個(gè)蘋(píng)果。 </p&g

10、t;<p>　　師：對(duì)，當(dāng)然也可以是3個(gè)、4個(gè)或者5個(gè)。那就開(kāi)始驗(yàn)證吧，可以舉例也可以畫(huà)圖，但要說(shuō)明問(wèn)題。（生驗(yàn)證） </p><p>　　生交流方法，師板示： </p><p>　　“總有一個(gè)盤(pán)子至少有2個(gè)蘋(píng)果”，師生逐一驗(yàn)證打鉤。 </p><p>　　師：5個(gè)蘋(píng)果放三個(gè)盤(pán)子，所有出現(xiàn)的不同情況都滿足這個(gè)結(jié)論，所以說(shuō)這個(gè)結(jié)論是（對(duì)的）。 </

11、p><p>　　師：如果說(shuō)“總有一個(gè)盤(pán)子至少有3個(gè)蘋(píng)果”還對(duì)嗎？ </p><p>　　生：不對(duì)，明明最少的情況是2個(gè)嘛。 </p><p>　　師：如果說(shuō)“總有一個(gè)盤(pán)子至少有0個(gè)蘋(píng)果”對(duì)嗎？ </p><p>　　生：也不對(duì)，這樣就沒(méi)意義了。 </p><p>　　生：應(yīng)該看每種擺法中蘋(píng)果最多的那個(gè)。 </p>

12、;<p>　　師：嗯，很好，善于觀察的孩子。 </p><p>　　師：那么，6個(gè)蘋(píng)果放3個(gè)盤(pán)子。你能得出怎樣的結(jié)論，為什么？ </p><p>　　生：總有一個(gè)盤(pán)子至少有2個(gè)蘋(píng)果。 </p><p>　　師：跟剛才的一樣？驗(yàn)證一下吧。（生再次驗(yàn)證） </p><p>　　生：我把每一種放法都寫(xiě)了出來(lái)，每一種放法都是對(duì)的。 &l

13、t;/p><p><b>　　師：好的。 </b></p><p>　　師：那如果10個(gè)蘋(píng)果放到9個(gè)盤(pán)子里，又會(huì)怎樣呢？ </p><p>　　生：總有一個(gè)盤(pán)子至少有2個(gè)蘋(píng)果。 </p><p><b>　　師：為什么？ </b></p><p>　　生：如果每個(gè)盤(pán)子只放進(jìn)一個(gè)蘋(píng)

14、果，剩下的一個(gè)不管放在哪個(gè)盤(pán)子里，總有一個(gè)盤(pán)子至少有2個(gè)蘋(píng)果。 </p><p>　　師：解釋得非常好。如果100個(gè)蘋(píng)果放到99個(gè)盤(pán)子中呢？你能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)規(guī)律嗎？ </p><p>　　生：總有一個(gè)盤(pán)子至少有2個(gè)蘋(píng)果。 </p><p>　　生：只要蘋(píng)果數(shù)比盤(pán)子數(shù)多一個(gè)，就總有一個(gè)盤(pán)子里至少會(huì)有2個(gè)蘋(píng)果。 </p><p>　　生：只要蘋(píng)果數(shù)比盤(pán)

15、子數(shù)多，就總有一個(gè)盤(pán)子里至少會(huì)有2個(gè)蘋(píng)果。 </p><p><b>　　…… </b></p><p>　　師：很好，接下來(lái)老師給你們n個(gè)蘋(píng)果和m個(gè)盤(pán)子，任由你們處理，并把過(guò)程寫(xiě)下來(lái)。 </p><p>　　（ ）個(gè)蘋(píng)果放在（ ）個(gè)盤(pán)子中，總有一個(gè)盤(pán)子至少有（ ）個(gè)蘋(píng)果。想好自己的理由。 </p><p><b&

16、gt;　　師生交流： </b></p><p>　　師：有同學(xué)把8個(gè)蘋(píng)果放進(jìn)3個(gè)盤(pán)子中，得到的結(jié)論是總有一個(gè)盤(pán)子至少會(huì)有4個(gè)蘋(píng)果，先說(shuō)說(shuō)理由。 </p><p>　　生：當(dāng)每個(gè)盤(pán)子放2個(gè)蘋(píng)果之后，剩下的2個(gè)放到一個(gè)盤(pán)子里，這個(gè)盤(pán)子就有4個(gè)蘋(píng)果了。 </p><p>　　生：不對(duì)，如果把2個(gè)蘋(píng)果分別放在兩個(gè)盤(pán)子里，就得到“總有一個(gè)盤(pán)子中至少有3個(gè)蘋(píng)果”這個(gè)

17、結(jié)論了。 </p><p>　　師：有同學(xué)把20個(gè)蘋(píng)果放進(jìn)4個(gè)盤(pán)子中，得到的結(jié)論是總有一個(gè)盤(pán)子至少會(huì)有5個(gè)蘋(píng)果，理由？ </p><p>　　生：因?yàn)槊總€(gè)盤(pán)子中放5個(gè)蘋(píng)果，20個(gè)蘋(píng)果都可放到盤(pán)子中，如果一個(gè)盤(pán)子上蘋(píng)果減少，那么另外盤(pán)子上的蘋(píng)果就會(huì)增加，所以總有一個(gè)盤(pán)子至少會(huì)有5個(gè)蘋(píng)果。 </p><p>　　生：用20÷4=5，不是也可以算出來(lái)嗎？這樣方便

18、。 　　師：不錯(cuò)的提議，那剛才的那種擺法怎么算呢？ </p><p>　　生：8÷3=2……2，2+2=4，哦，不對(duì)，應(yīng)該是2+1=3。 </p><p><b>　　師：為什么改了？ </b></p><p>　　生：因?yàn)槭Ｏ碌?個(gè)還可以放在兩個(gè)盤(pán)子里，所以最少是2+1=3。 </p><p>　　師：恭喜

19、你改對(duì)了。對(duì)于算式中的余數(shù)你們還有什么想法？ </p><p>　　生：我認(rèn)為余數(shù)不管是幾都只能再加1，因?yàn)槭Ｏ碌奶O(píng)果還可以放到其他盤(pán)子中，每個(gè)盤(pán)子最多也只能得到一個(gè)。 </p><p>　　師：看來(lái)我們還可以用除法算式來(lái)說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，這個(gè)方法更加簡(jiǎn)潔明了。接下來(lái)請(qǐng)你用除法算式把自己的結(jié)論表示出來(lái)進(jìn)行檢驗(yàn)。 </p><p><b>　　…… </b

20、></p><p><b>　　【教學(xué)反思】 </b></p><p>　　抽屜原理這個(gè)教學(xué)內(nèi)容盡管很難，但通過(guò)以上的教學(xué)，學(xué)生的思考與表達(dá)都很清晰，對(duì)抽屜原理的理解已相當(dāng)?shù)轿唬虒W(xué)也較順暢，由此看來(lái)教師的教依然起著至關(guān)重要的作用。 </p><p>　　一、不要孤立地來(lái)教抽屜原理 </p><p>　　抽屜原理可

21、能對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)（包括教師）是一個(gè)全新的命題，教師通常也習(xí)慣于順著教材的思路來(lái)教，例如幾支筆放在幾個(gè)鉛筆盒中，怎么放？有幾種方法？最后總結(jié)歸納出一個(gè)結(jié)論來(lái)就是抽屜原理。如此這樣，由教師完全帶著學(xué)生學(xué)的教法，毫無(wú)思考的張力，它無(wú)視學(xué)生已有的認(rèn)知，割裂了學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備與能力儲(chǔ)備。筆者認(rèn)為，學(xué)生已有的邏輯判斷能力與經(jīng)驗(yàn)，是理解抽屜原理的關(guān)鍵。本課中，教師能否把學(xué)生已有的知識(shí)與能力的儲(chǔ)備調(diào)用出來(lái)進(jìn)行推理和判斷，便是教學(xué)的關(guān)鍵。例如，在本課開(kāi)始部

22、分，充分利用“5個(gè)蘋(píng)果放在3個(gè)盤(pán)子中，怎么放”這樣一個(gè)情境，讓學(xué)生對(duì)四個(gè)結(jié)論進(jìn)行對(duì)錯(cuò)判斷，并說(shuō)明原因。在這樣一個(gè)過(guò)程中，進(jìn)一步讓學(xué)生感受關(guān)于用 “可能”與“一定”來(lái)描述一個(gè)事件，這是對(duì)學(xué)生已有關(guān)于結(jié)論對(duì)與錯(cuò)的邏輯判斷的這部分經(jīng)驗(yàn)的喚醒與激活。同時(shí)通過(guò)用舉例的方法來(lái)說(shuō)明問(wèn)題，這是學(xué)生進(jìn)行正確推理的一個(gè)基礎(chǔ)，也是本課解釋抽屜原理的一個(gè)基礎(chǔ)。這樣的一個(gè)教學(xué)開(kāi)端，完全根植于學(xué)生已有的認(rèn)知系統(tǒng)，并進(jìn)行有機(jī)激活，從而能有效解決新問(wèn)題。 </p

23、><p>　　二、要讓學(xué)生逐步經(jīng)歷抽象的過(guò)程 </p><p>　　通過(guò)枚舉擺法來(lái)逐一驗(yàn)證，應(yīng)該是說(shuō)明抽屜原理最為形象也最易讓學(xué)生理解的一個(gè)方法。但這種方法也有一定的局限性，當(dāng)涉及的數(shù)據(jù)偏大時(shí)，通過(guò)列舉就顯得非常煩瑣。所以，這里除了驗(yàn)證之外，還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入的觀察與分析，使學(xué)生能夠理解并掌握抽屜原理，這是學(xué)生數(shù)學(xué)思維的一次提升，通過(guò)進(jìn)一步的教學(xué)，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)用除法算式來(lái)解決抽屜問(wèn)題，應(yīng)該