某些度量切叢上的單位球面【文獻(xiàn)綜述】

1、<p><b>　　畢業(yè)論文文獻(xiàn)綜述</b></p><p><b>　　數(shù)學(xué)與影數(shù)學(xué)</b></p><p>　　某些度量切叢上的單位球面</p><p>　　Finsler幾何就是沒有二次型限制的黎曼幾何，黎曼在1854年的著名就職演講中提出了后來被稱Finsler幾何的概念。他發(fā)現(xiàn)了度量的二次型情況與一般情

2、況的區(qū)別，并選擇二次型為代表進(jìn)行研究。1918年，F(xiàn)insler研究了一般度量情況下的曲線與曲面的幾何。此后，人們習(xí)慣地把一般度量情況的幾何稱為Finsler幾何。Finsler幾何研究的是具有Finsler度量的空間幾何性質(zhì)。實(shí)際上Fimler空間的切空間是Minkoki空間，它是最簡單的Finsler流形，就恰似Euelid空間是最簡單的Riemann流形一樣。</p><p>　　令M為n維微分流行F光滑，

3、非負(fù)實(shí)數(shù)和1-齊次函數(shù)作用在切叢M上，使得的海賽是非負(fù)的。F稱為Finsler流行(M,F)的一個(gè)特征函數(shù)。</p><p>　　對(duì)于一固定點(diǎn)，切向量空間可以看成是F產(chǎn)生的一個(gè)黎曼度量空間。</p><p>　　而且，是帶有規(guī)范的Minkowski空間。向量集</p><p>　　被稱為單位切球，且被認(rèn)為是雙重的，即超曲面和單位球。</p><p

4、>　　作為黎曼超曲面，單位切球是凸的和定向的，它作為纖維含有封閉的切叢。根據(jù)超曲面的定理，可以得出單位切球是全臍的連同單位平均曲率。</p><p>　　在單位切球反映在某些局域架上。共變微分的表示是給定的可積性條件。充分必要條件，對(duì)任意與單切球面相似的超曲面，包含單位平均曲率的形狀特征。一個(gè)單切球的平均曲率可表示為微量的第二特征張量，算術(shù)均數(shù)和主曲率。</p><p>　　在Fin

5、sler幾何的幾十年發(fā)展中，尋找具有特殊性質(zhì)的特殊Finsler度量一直是數(shù)學(xué)家關(guān)注的重要的問題。更多生動(dòng)具體的度量對(duì)研究Finsler幾何的一些基本問題有著重要地作用。-度量這個(gè)概念是日本數(shù)學(xué)家M。Matsumoto于1972年在已被物理學(xué)家關(guān)注的Randers度量（其中表示黎曼度量，表示1階微分形式）的基礎(chǔ)上而提出的。九十年代以前，日本數(shù)學(xué)家主要采用張量分析的方法研究-度量，但幾何的本質(zhì)往往被張量計(jì)算所掩蓋，所以這方面的進(jìn)展緩慢。九

6、十年代以后，Z。Shen引入新的運(yùn)算模式并大量應(yīng)用Maple程序運(yùn)算，為-度量的研究注入了新的活力。到目前為止，Randers度量得到了基本上徹底的研究。</p><p>　　1933年，法國著名數(shù)學(xué)家Elie Cartan(1869-1951)發(fā)表了他的第一篇關(guān)于Finsler幾何的論文，主題是關(guān)于Finsler度量的共性變換的若干注記，同時(shí)預(yù)告了他的確定一個(gè)Finsler空間聯(lián)絡(luò)的公理系統(tǒng)。1934年，Car

7、tan發(fā)表了他關(guān)于Finsler幾何的著名論文，詳細(xì)介紹了他的確定Finsler空間聯(lián)絡(luò)（我們稱之為Cartan聯(lián)絡(luò)）的公理系統(tǒng)。Cartan引入了線性元空間（即射影化切叢PTM)概念，將他的歐氏聯(lián)絡(luò)理論推廣到了Finsler空間。</p><p>　　吳教授在Finsler幾何學(xué)領(lǐng)域的研究已達(dá)到國際領(lǐng)先水平，他在國際上首次提出關(guān)于一般Finsler體積形式的子流形幾何學(xué)，對(duì)已有的Finsler流形的剛性定理做出

8、了統(tǒng)一處理，以體積形式為主線，對(duì)Finsler幾何中的各種比較定理做出了系統(tǒng)研究，得到了它的一些具體應(yīng)用實(shí)例，為進(jìn)一步用比較幾何方法研究Finsler幾何奠定了重要基礎(chǔ)。他的系列研究成果很多發(fā)表在國際著名刊物，其中一篇發(fā)表在國際一流刊物《Math。Ann?！飞?，這在國內(nèi)Finsler幾何學(xué)研究者中是僅有的一例。吳炳燁教授的上述研究工作對(duì)Finsler幾何學(xué)的研究產(chǎn)生了積極而深遠(yuǎn)的影響。</p><p>　　Fin

9、sler子流形幾何對(duì)豐富Finsler幾何理論富有重要價(jià)值。這一領(lǐng)域的研究內(nèi)容是令人向往的。如關(guān)于黎曼流形的切叢與單位切球的幾何及黎曼流形上的極小或調(diào)和單位向量場已被廣泛研究和討論，并且仍是前沿研究的一個(gè)熱點(diǎn)之一。但在Finsler幾何情形，相應(yīng)的內(nèi)容還沒有得到足夠的重視，相關(guān)結(jié)果還很少。因此，F(xiàn)insler幾何學(xué)家將在未來的研究工作中深入研究Finsler流形的切叢與單切球的幾何，并深入研究Finsler流形上的極小或調(diào)和單位向量場，

10、探討極小子流形與調(diào)和映照的聯(lián)系以及它們的幾何變分特征，在一定的曲率條件下討論調(diào)和映照的穩(wěn)定性。這些內(nèi)容都是十分重要和有趣的課題。</p><p>　　切叢是微分流行M上的一種特殊的向量叢，微分幾何中研究切叢上的問題將對(duì)我們研究度量本身有很大的幫助，比如Gauss-Bonnet-Chern公式等。Finsler度量的切叢上那些長度為1的向量構(gòu)成的單位球面是否具有特殊的曲率性質(zhì)是很吸引人的問題。本課題將主要研究2維的

11、Finsler度量切叢上的單位球面。 </p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　沈忠民，詹華稅． 幾何中若干問題之研究(1)[J] 集美大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1999，4(3)：76-83．</p><p>　　伍鴻熙，陳維桓．黎曼幾何選講[M] 北京：北京大學(xué)出版杜，1993</p><

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