課題橢圓的簡單幾何性質（一）

1、<p>　　課題： 橢圓的簡單幾何性質（一）</p><p>　　教材：全日制普通高級中學教科書（必修）數(shù)學第二冊（上）（人民教育出版社中學數(shù)學室 編著）</p><p>　　授課教師：河北正定中學 霍文明</p><p><b>　　課堂設計理念：</b></p><p>　　授人于魚不如授人于漁。通

2、過創(chuàng)設符合學生認知規(guī)律的問題情景，挖掘學生內在的研究問題的巨大潛能，使學生在做中學，學中思，親身體會創(chuàng)造過程，充分展示思維差異，培養(yǎng)學生的自主探究能力，邏輯推理能力，提高學生的思維層次，掌握獲取知識的方法和途徑，真正體現(xiàn)學生學習知識過程中的主體地位。</p><p><b>　　教學目標：</b></p><p>　?。?）知識與技能：掌握橢圓的范圍、對稱性、頂點，掌

3、握幾何意義以及的相互關系，初步學習利用方程研究曲線性質的方法。</p><p>　?。?）過程與方法：利用曲線的方程來研究曲線性質的方法是學習解析幾何以來的第一次，通過初步嘗試，使學生經(jīng)歷知識產(chǎn)生與形成的過程，不僅注意對研究結果的掌握和應用，更重視對研究方法的思想滲透及分析問題和解決問題能力的培養(yǎng)；以自主探究為主，通過體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，培養(yǎng)學生觀察、分析、邏輯推理、理性思維的能力。</p>

4、<p>　?。?）情感、態(tài)度與價值觀：通過自主探究、交流合作使學生親身體驗研究的艱辛，從中體味合作與成功的快樂，由此激發(fā)其更加積極主動的學習精神和探索勇氣；通過多媒體展示，讓學生體會橢圓方程結構的和諧美和橢圓曲線的對稱美，培養(yǎng)學生的審美習慣和良好的思維品質。</p><p><b>　　教學重點、難點：</b></p><p>　　重點：從知識上來講，要掌握

5、如何利用橢圓標準方程的結構特征研究橢圓的幾何性質；從學生的體驗來說，需要關注學生在探究橢圓性質的過程中思維的過程展現(xiàn)，如思維角度和思維方法。</p><p>　　難點：橢圓幾何性質的形成過程，即如何從橢圓標準方程的結構特征中抽象出橢圓的幾何性質。通過本節(jié)課的教學力求使一個平淡的性質陳述過程成為一個生動而有價值的學生主動交流合作、大膽探究的過程應是教學的難點。</p><p>　　教學策略與

6、學法指導：</p><p>　　教學策略：本節(jié)課采用創(chuàng)設問題情景——學生自主探究——師生共同辨析研討——歸納總結組成的“四環(huán)節(jié)”探究式學習方式，并在教學過程中根據(jù)實際情況及時地調整教學方案。學法指導：通過創(chuàng)設問題情景、學生自主探究、展示學生的研究過程來激勵學生的探索勇氣。根據(jù)學生的認知情況和學生的情感發(fā)展來調整整個學習活動的梯度與層次，逐步形成敢于發(fā)現(xiàn)、敢于質疑的科學態(tài)度。</p><p&g

7、t;　　教學媒體選擇與應用：</p><p>　　使用實物投影及多媒體輔助教學。借助實物投影展示學生的解題思維及解題過程，突出學生的思維角度與思維認識，遵循學生的認知規(guī)律，提高學生的思維層次。</p><p><b>　　教學過程：</b></p><p>　　創(chuàng)設問題情景，學生自主探究：</p><p>　　方程表示什

8、么樣的曲線，你能利用以前學過的知識畫出它的圖形嗎？</p><p><b>　　學生活動過程：</b></p><p>　　情形1：列表、描點、連線進行做圖，在取點的過程中想到了橢圓的范圍問題；</p><p>　　情形2：求出橢圓曲線與坐標軸的四個交點，聯(lián)想橢圓曲線的形狀得到圖形；</p><p>　　情形3：方程變形

9、，求出，聯(lián)想橢圓畫法，利用繩子做圖；</p><p>　　情形4：只做第一象限內的圖形，聯(lián)想橢圓形狀，對稱得到其它象限內的圖形；</p><p>　　辨析與研討：實物投影展示學生的畫圖過程，挖掘學生的原有認知，體現(xiàn)同學的思維差異，培養(yǎng)學生的思維習慣。</p><p><b>　　設計意圖：</b></p><p>　?。?/p>

10、1）問題設置來源于課本例題，選題目的有利于學生從多個角度進行思考和探索，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，第一問的解決舊體現(xiàn)了對二元二次方程的研究，為利用方程研究性質打下基礎；</p><p>　?。?）課堂教學體現(xiàn)學生自主探究知識的過程，問題的設置體現(xiàn)了研究問題角度的轉變——用方程研究曲線性質的問題，同時使學生意識到橢圓的幾何特征：范圍、對稱性、關鍵點； （3）實物投影展示學生的研究過程和研究成果，重在發(fā)現(xiàn)學生的思維

11、差異和思維認識層次；</p><p>　?。?）辨析過程中重視學生的思維起點，通過彼此交流，發(fā)現(xiàn)問題，共同探討，得到統(tǒng)一的認識。</p><p><b>　　教師點評：</b></p><p>　?。?）能夠抓住橢圓的幾何特征；范圍、對稱性、關鍵點做圖；（2）研究問題的方向發(fā)生了變化，利用方程研究曲線的幾何性質；</p><

12、;p>　?。?）本節(jié)課我們利用橢圓更一般的方程來研究橢圓的幾何性質，體現(xiàn)特殊到一般的思想方法。</p><p>　　教師板書：橢圓的簡單幾何性質</p><p>　　引導評價，引入課題： </p><p>　　設置問題，學生思考：與直線方程和圓的方程相對比，橢圓標準方程有什么特點？</p><p>　　（1）橢圓方程是關于的二元二次方程

13、；</p><p>　?。?）方程的左邊是平方和的形式；右邊是常數(shù)1；（3）方程中和的系數(shù)不相等；</p><p>　　設計意圖：類比直線方程和圓的方程能夠使學生容易得到橢圓標準方程的特點，體現(xiàn)了新舊知識的聯(lián)系與區(qū)別，符合學生的認知規(guī)律，同時為利用方程研究橢圓曲線的幾何性質做好了準備.</p><p>　　【問題1】自主探究：結合橢圓標準方程的特點，利用方程研究橢

14、圓曲線的范圍；</p><p>　　實物投影展示學生的解題過程，激勵學生開拓思維：學生活動過程：</p><p><b>　　情形1：變形為：</b></p><p>　　這就得到了橢圓在標準方程下的范圍：</p><p>　　同理，我們也可以得到的范圍：</p><p>　　情形2：可以把看成

15、，利用三角函數(shù)的有界性來考慮的范圍；教師點評：太聰明了，你可能沒有意識到，如果將a,b乘過去，就得到了，這是我們以后要學習的橢圓方程的另外一種表達方式，橢圓的參數(shù)方程，有興趣的同學下起可以閱讀有關內容，所以說我們在研究問題的過程中，結果并不重要，重要的要打開研究問題的思路，拓寬我們的思維角度。</p><p><b>　　誰還有其他的方法：</b></p><p>

16、　　情形3：橢圓的標準方程表示兩個非負數(shù)的和為1，那么這兩個數(shù)都不大于1，所以，同理可以得到的范圍</p><p><b>　　設計意圖：</b></p><p>　?。?）傳統(tǒng)的研究橢圓的幾何性質往往是利用圖形直觀得到性質，然后利用方程進行證明，沒有真正體現(xiàn)出利用方程研究曲線幾何性質的路子，因此在這里通過多媒體課件始終展示橢圓標準方程的特點，使學生在把握橢圓方程結構

17、特征（1）和（2）的基礎上來研究橢圓曲線的幾何性質；</p><p>　　（2）通過開頭問題的鋪墊，學生的思維在這里體現(xiàn)的異?；钴S，除了教材中得到范圍的方法外，另外兩種方法很多同學都能想到，使學生真正感受成功的喜悅；</p><p>　　（3）多媒體課件展示橢圓的范圍，體現(xiàn)數(shù)形結合思想。</p><p>　　結論：由橢圓方程中的范圍得到橢圓位于直線和所圍成的矩形里。

18、</p><p>　　【問題2】自主探究：繼續(xù)觀察橢圓標準方程的特點，利用方程研究橢圓曲線的對稱性；實物投影展示學生的解題過程，體現(xiàn)學生的思維認識：</p><p>　　代后方程不變，說明橢圓關于軸對稱；</p><p>　　代后方程不變，說明橢圓曲線關于軸對稱；</p><p>　　、代，后方程不變，說明橢圓曲線關于原點對稱；問題設置：

19、從對稱性的本質上入手，如何探究曲線的對稱性？</p><p>　　辨析與研討：代后方程不變，就是用來代換方程中的，方程不變，和關于軸對稱，兩點坐標都滿足方程，而是曲線上任意一點，因此橢圓曲線關于軸對稱；其它同理。</p><p>　　相關概念：在標準方程下，坐標軸是對稱軸，原點是對稱中心，橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心。</p><p><b>　　設計意圖

20、：</b></p><p>　　抓住橢圓標準方程的特點不放松，引導學生探究如何利用方程研究橢圓的對稱性；</p><p>　　在學生的表述過程中重視學生的思維方式，培養(yǎng)學生正確處理問題的思路，能夠引導學生從對稱性的本質上得到研究對稱性的方法；</p><p>　　多媒體課件展示橢圓的對稱性，使學生體會橢圓的對稱美。</p><p&g

21、t;　　【問題3】自主探究：再次觀察橢圓標準方程的特點，利用方程求出橢圓曲線與對稱軸的交點坐標</p><p>　　實物投影展示學生的解題過程，體現(xiàn)學生的思維認識：</p><p>　　在橢圓的標準方程中，令，得，，得</p><p>　　頂點概念：橢圓與對稱軸的交點叫做橢圓的頂點</p><p><b>　　頂點坐標；，</

22、b></p><p>　　相關概念：線段分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于，和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長,</p><p>　　在橢圓的定義中，表示焦距，這樣，橢圓方程中的就有了明顯的幾何意義。</p><p><b>　　設置問題：</b></p><p>　　在橢圓標準方程的推導過程中令能使方程簡

23、單整齊，其幾何意義是什么？學生探究：</p><p>　　表示半焦距，表示短半軸長，因此，聯(lián)結頂點和焦點，可以構造一個直角三角形，在直角三角形內，，即；</p><p>　　多媒體展示特征三角形.</p><p><b>　　設計意圖：</b></p><p>　?。?）利用方程研究橢圓的頂點坐標學生比較容易接受，相關

24、概念也容易理解，關鍵是的幾何意義，多媒體課件的展示體現(xiàn)的幾何意義，從而得到的本質。</p><p>　　三、課堂練習： 閱讀課本例1，你有什么認識？</p><p>　?。?）利用方程研究橢圓的幾何性質時，若橢圓的方程不是標準方程，首先應將方程畫為標準方程，然后找出相應的。</p><p>　　利用橢圓的幾何性質，可以簡化畫圖過程，保證圖形的準確性</p&

25、gt;<p>　　（2）掌握畫橢圓草圖的基本步驟和注意事項：（1）以橢圓的長軸、短軸為鄰邊畫矩形；</p><p>　?。?）由矩形四邊的中點確定橢圓的四個頂點；</p><p>　?。?）用曲線將四個頂點連成一個橢圓；</p><p>　?。?）畫圖時要注意它們的對稱性及頂點附近的平滑性.</p><p>　　設計意圖：（

26、1）學生閱讀交流提高認識而不是教師講解，能夠使學生感悟知識的應用；</p><p>　?。?）與開頭相呼應，使學生認識到橢圓的簡單幾何性質能夠簡化做圖過程；</p><p><b>　　反思與評價：</b></p><p>　　回顧知識的形成過程，同學交流，談談對本節(jié)課的認識：</p><p>　?。?）知識與技能：橢圓

27、的范圍、對稱性、頂點，初步學習了利用橢圓標準方程研究橢圓曲線性質的方法；</p><p>　　（2）過程與方法：重視對研究方法的思想滲透及分析問題和解決問題能力的培養(yǎng)；以自主探究為主，通過體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，培養(yǎng)了我們觀察、分析、邏輯推理、理性思維的能力；</p><p>　?。?）情感、態(tài)度與價值觀：善于觀察，敢于創(chuàng)新，學會與人合作，感受到探究的樂趣，體會橢圓方程結構的和諧美和橢圓

28、曲線的對稱美，培養(yǎng)學生的審美習慣和良好的思維品質。</p><p>　　設計意圖：不會反思，就不會學習，通過反思，深化知識的形成過程，完善認知結構，掌握研究的方法和思路，拓寬思維角度，提高思維層次。</p><p>　　五、課后作業(yè)：（1）反思知識的形成過程，掌握研究問題的方法；</p><p>　　（2）研究的范圍、對稱性、頂點；</p><

29、p>　?。?）課后延伸：同學們再來觀察橢圓的結構特征“方程中和的系數(shù)不相等”，因此當和的系數(shù)發(fā)生變化時，橢圓的形狀是如何隨之變化的？</p><p>　　設計意圖：課后作業(yè)的設置體現(xiàn)了本節(jié)課研究方法的延伸，作業(yè)（1）強調研究方法的重要性，作業(yè)（2）是對學生學習效果的一種檢驗，作業(yè)（3）引導學生利用橢圓方程的結構特征自主研究橢圓的另一條性質——離心率；</p><p><b>

30、;　　附錄：板書設計</b></p><p>　　8.2 橢圓的簡單幾何性質</p><p><b>　　橢圓的標準方程：</b></p><p>　　1、范圍：橢圓位于直線和所圍成的矩形里。</p><p>　　2、對稱性：橢圓關于軸、軸、原點都對稱</p><p>　　3、頂點

31、：頂點坐標為：，課堂練習：</p><p><b>　　反思與評價：</b></p><p><b>　　課后作業(yè)：</b></p><p><b>　　課堂設計說明：</b></p><p>　　1、對教材的研究認識：</p><p>　　利用已知條

32、件求曲線的方程，利用方程研究曲線的性質和畫圖是解析幾何的兩大任務，利用方程研究橢圓的幾何性質可以說是第一次，傳統(tǒng)的教學過程往往是利用多媒體課件展示橢圓曲線，讓學生觀察、猜想橢圓的幾何性質，然后再利用橢圓的標準方程進行證明，體現(xiàn)從感性到理性符合學生的認知規(guī)律等，也可以說是用方程研究橢圓曲線性質的一種思路，但未能很好的體現(xiàn)“利用方程研究曲線性質”的本質。因此，本人在教學一開始的問題設置就體現(xiàn)了利用方程研究曲線的意識，在三個性質的研究中一直是

33、用方程的結構特征來得到性質，真正培養(yǎng)學生如何利用方程研究曲線性質的能力。同時，根據(jù)橢圓的簡單幾何性質的課時安排，本節(jié)課不研究橢圓的離心率，保證了學生的研究時間；與直線方程和圓方程的類比能夠使得學生掌握橢圓標準方程的特點，學生在自主探究過程中能夠聯(lián)想得到三角換元，說明該種教學方法還是符合學生的認知規(guī)律的，同時體現(xiàn)了教材的本質。</p><p>　　2、 課堂教學模式的設置：</p><p>

34、　　自主探究是傳統(tǒng)教學模式的一種補充，自主探究能夠使學生成為研究問題的主人，能夠培養(yǎng)學生的思維能力。數(shù)學是思維的科學，思維能力是數(shù)學的核心，教學過程的設計要能夠體現(xiàn)教學本質；能夠突出所學數(shù)學內容的本質；組織教學的過程要能觸及學生的靈魂深處。因此，課堂教學中提倡問題教學，抓住學生的認識現(xiàn)實，恰當?shù)貏?chuàng)設問題情境，使學習者能夠在課堂上進行積極有效的學習。</p><p>　　3、 課堂練習題的說明：</p>